Complexidade Computacional e Jogos

Apresentação em tema: "Complexidade Computacional e Jogos"— Transcrição da apresentação:

1 Complexidade Computacional e Jogos
Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

2 Agenda da Apresentação
Preliminares de Teoria da Computação e Complexidade Computacional - Aspectos Computacionais de Jogos - Teoria dos Jogos desde o Teorema de Zermelo Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

3 (Tentativa de) conceituação do Computável
- O que é a (Teoria da) Computação ? (Tentativa de) conceituação do Computável - O que é Lógica ? (Tentativa de) conceituação do Razoável Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

4 Computável Toda tarefa que pode ser realizada
por um ser burro com um mínimo de conhecimento/capacidade. burro = Incapaz de Aprender conhecimento = ? Antes de 1900 d.c ====>  Máquina de Raciocinar (Leibniz 1667) Máquina de Calcular de Pascal (Pascal sec.XVII) Máquina de Babbage (Ch. Babbage sec. XIX)   . . Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

5 Razoável Todo evento que é passível de uma
explicação, na forma argumentativa, construída sobre fatos iniciais inquestionáveis. Antes de ====>  Lógica Aristotélica e Escolástica (a partir de 300 a.c.) Álgebras Booleanas (Boole 1847) Álgebra Relacional (DeMorgan, Schroeder, C.S.Peirce XIX)   Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

6 Panorama da Matemática no Século XIX
- Problemas da Física Matemática (Sec. XVIII-XIX): - Equação da Onda - Equação do Calor - Equação de Poisson - Técnicas de Fourier - Séries Infinitas são usadas na solução de Eq. Dif. Parciais - Problemas de Fundamentação: - Séries divergentes x Séries Convergentes - Conceito de infinito não era preciso - Conceito de função não era preciso - O próprio conceito de número real não era preciso. - Definição de convergência não existia Necessidade de teoria mais abrangente e abstrata Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

7 Panorama da Matemática no Século XIX (cont.)
Dedekind ( ) Estabelece o princípio de indução e define conceito de número real Aritmetização da Análise, definição dos conceitos de limite, funções e funções contínuas, convergência de sequências e séries infinitas Cauchy ( ) Bolzano( ) Definição do conceito de integral e Teorema Fundamental do Cálculo. Geometrias Não-Euclidianas Riemman( ) Peano (em 1889) Define os axiomas da aritmética Weierstrass ( ) Estabelece critérios para a diferenciação e integração, termo a termo, de séries infinitas Hilbert (em ) Estabelece a fundamentação da geometria Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

8 Teoria Ingênua dos Conjuntos
Bolzano concebe a noção (abstrata) de conjuntos (finitos e infinitos) Cantor (de 1867 a 1871) define a teoria de conjuntos e prova a existência de conjuntos infinitos com cardinalidades diferentes. Conceitos de números cardinais e ordinais transfinitos. Resistência aos principais resultados em função do “receio do infinito” Alguns paradoxos: - Burali-Forti (1897) “Não há o ordinal de todos os ordinais” - Russell (1902) “Não há o conjunto de todos os conjuntos” R = { x / x  x} ==> R  R se e somente se R  R Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

9 Evolução da Lógica como assunto matemático
DeMorgan (1830) Observa que a álgebra não necessita lidar tão somente com conceitos numéricos. Boole (1854) Descreve uma álgebra a partir de operações entre conjuntos e relações lógicas, confirmando DeMorgan. Frege (1879) estabele a lógica como um sistema formal que tem sua linguagem particular e distinta da natural. O conceito de prova matemática passa a ser formal. Frege (1884) busca a fundamentação da aritmética em bases puramente lógicas , com a adição do conceito de pertinência () como primitivo. ===> Os paradoxos aparecem novamente !! ===> Paradoxos associados ao axioma da escolha Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

10 As 3 Abordagens para a Fundamentação da Matemática
Logicismo (Frege) - Toda a Matemática é consequência de princípios puramente lógicos. Formalismo (Hilbert) - A Matemática é fundamentada por sistemas formais cujo único requisito é a consistência Intuicionismo (Brouwer) - A Matemática é uma atividade humana funda- mentada em processos construtivos, sendo assim todo objeto matemático tem sua existência expressa por construção. Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

11 O Programa de Hilbert => Obtenção de uma prova da consistência da matemática, observando-se que: - As teorias mais complexas são extensões das mais simples. Th(N)  Th(Z)  Th(Q)  Th(R)  Th(C) - Tais extensões são, na sua maior parte, obtidas por operações básicas (classes de equivalência, completamento por simetria, por compactação, completamento algébrico, etc) => Prova da consistência da Aritmética ( Th(N)) com o uso de técnicas finitárias. => Provar que não existe prova de 0 = 1 usando Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

12 Prog. Lógica, Prolog Máq. Programável LISP e Funcionais
A Computação do ponto de vista das funções prim. recursivas Prog. Lógica, Prolog Gödel define as funções prim. recursivas associando-as a provas em aritmética 1927/ Ackermann define uma função que necessita de recursão simultânea Rózsa Péter - Prova que as funções prim. recursivas formam a classe definida por recursão simples e “nested” a partir de funções iniciais constantes, identidade e a função sucessor. Prova que a função de Ackermann é na realidade definida por recursão em duas variáveis e não é portanto primitivamente recursiva, mas é computável. A. Turing - Define uma máquina formal a partir de princípios simples (ler , apagar e escrever símbolos em uma fita) e define o conceito de Máquina Universal. Prova que não existe máquina capaz de verificar se outra máquina pára ou não. Desde o início a sua máquina com versão Não-Determinística Máq. Programável A. Church Define o -Calculus e mostra que este é capaz de definir todas as funções para as quais existe uma Máquina de Turing. LISP e Funcionais Kleene Define, aceitando que o computável inclui a parcialidade funcional, as funções parcialmente recursivas e lança a Tese de Church. Markov Estabele o conceito de computável com base em identificação de palavras e símbolos (algoritmos de Markov) e justifica o ponto de vista finitista da computação. SNOBOL, Ling. Transf. Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

13 Sxyz  (xz)yz Kxy  x Ix  x (I SKK)
:0:  I :1:  P0K :2:  P1K :n:  P:n-1:K .... P  Tese de Church: f: N  N é computável se e somente se existe um combinador FC1 C2... Ck tal que para todo nN (F:n:  :m:)  f(n) = m) f é recursiva existe uma máquina de Turing M , tal que M com na fita de entrada M pára com na saída sss f(n) = m m n existe um algoritmo de Markov A , t.q. A lendo pára e produz o string na saída sss f(n) = m m n Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

14 A Tese de Church é um enunciado científico, portanto
não possui demonstração matemática. Evidência Forte para a Tese de Church Teorema de Rogers (1958): Sejam duas FAA’s (i)iN e (i)iN então existe f recursiva e bijetiva tal que i = f(i) Obs: Uma FAA é um conjunto de funções parciais (i)iN, tal que: 1- As funções parc. recursivas estão todas em (i)iN 2- Existe u N com u parc. recursiva tal que para todo i e x u(i,x) = i(x) 3- Existe c recursiva tal que c(i,j) = i  j Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

15 Medindo a eficiência de algoritmos
- Escolha do modelo computacional - Recursos: Tempo , Memória - Relacionando os algoritmos e os problemas que estes resolvem - Computação de Funções - Problemas de otimização - Problemas de decisão, - Linguagens Classes de complexidade: Classificando problemas pela complexidade do algoritmo mais eficiente que o resolve. Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

16 Satisfação na Lógica Proposicional
“Dada uma fórmula da lógica proposicional, isto é, formada com os conectivos , ,  e , deseja-se saber se existe uma valoração que a satisfaça” Problema SAT Solução: Gerar todas as valorações e testar uma a uma até encontrar. Se não encontrar ao final do teste de todas as valorações informar que a fórmula não é satisfatível. Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

17 Dada uma fórmula com k variáveis existem 2k valorações
Cálculo total 5 32 insignificante 10 1024 0.001 seg 16 65536 0.06 seg 20 1048 x 103 1 seg 32 4.29 x 109 1 hora 12 min Supondo que o computador calcule 1 milhão de valorações por segundo. Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

18 Verificar se uma valoração satisfaz uma fórmula é muito
Por outro lado ……… Verificar se uma valoração satisfaz uma fórmula é muito rápido (muito menos que 1x10-7 seg) para fórmulas com até 100 variáveis em um pentium IV 1 GHz. Dada uma valoração, avaliar o valor da fórmula leva no máximo k operações, onde k é o tamanho da fórmula. Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

19 O problema do Caixeiro Viajante
“Suponha que um caixeiro viajante tenha que visitar k cidades diferentes, iniciando e encerrando esta viagem na primeira cidade. Não importa a ordem com que as cidades são visitadas. Sabe-se que de cada cidade pode-se ir diretamente a qualquer outra. O problema do caixeiro viajante consiste em descobrir a rota que torna mínima a viagem total (em kms)”. Obs: Tal rota é dita ser um ciclo hamiltoniano no grafo. Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

20 Bsb 967 1060 1070 BH 458 789 S.P. Rio 400 Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

21 Podemos transforma-lo num problema de enumeração ?
O problema do caixeiro viajante é um problema de otimização combinatória. Podemos transforma-lo num problema de enumeração ? Podemos determinar todas as rotas do caixeiro ? Podemos saber qual delas é a menor ? SOLUÇÃO: São (k-1)! Rotas É um trabalho fácil para a máquina ? Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

22 ( k - 1 )! cresce muito rápido
Cálculo total 5 24 insignificante 10 0.3 seg 15 87 bilhões 24 hs e 6 min 20 1.2 x 1017 3 milhões de anos 25 6.2 x 1023 0.19 x anos Supondo que o computador calcule 1 milhão de rotas por segundo. Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

23 Saber se em existe um ciclo hamiltoniano é mais fácil que
Por outro lado Saber se em existe um ciclo hamiltoniano é mais fácil que encontrar o ciclo mínimo ??? 1 Ciclo min = vert – 1 ??? Para qualquer fórmula proposicional  existe um grafo G que possui caminho hamiltoniano, se e somente se,  é SAT. o tamanho de G é polinomial no tamanho de . Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

24 SAT e as Máquinas de Turing não-determinísticas
Se SAT puder ser resolvido em tempo polinomial por uma M.T. deter então qualquer problema em NP também pode ser resolvido em tempo polinomial Si,j t = Símbolo j na posição i no tempo t Ee = Máquina está no Estado e no tempo t Ci = Cabeça está no na posição i no tempo t w Fórmulas para descrever: -A cabeça em qualquer tempo t está em uma e somente uma posição Cada pósição da fita tem, em qualquer t, um e somente Um símbolo escrito. A máquina, em qualquer tempo t, está em um e somente um estado P(|w|) Fórmulas para descrever o comportamento da máquina: Ee  Ci  Si,j  (Eg  Ci+1  Si,k)  (Eh  Ci-1  Si,n ) t t+1 Fórmulas para descrever o a conf. Inicial da fita: S0,3  S1,7  S2,1   S|w|,8 Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

25 Descobrindo como resolver o problema do caixeiro viajante em tempo polinomial, seremos capazes de resolver, também em tempo polinomial, outros problemas importantes (úteis). Se alguém provar que é impossível resolver o problema do caixeiro em tempo polinomial no número de cidades, também se terá que outros de problemas importantes não tem solução prática. Costuma-se resumir essas propriedades do problema do caixeiro dizendo que ele pertence à categoria dos problemas NP - completos. Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

26 Problemas de Decisão sim x  P ? x não 1 |x|  * Prog.
Problemas de Decisão  Linguagens Formais Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

27 Problemas, Soluções e Linguagens
f:Ent  Saída f  Relação Sol = P = < Ent, Saída, Relação> * * f:Ent  Saída f computável f  R * * PComp = <Ent, Saída, R > SolComp = * * LP = { went<sep>wsai /  (went, wsai)  R  Ent Saída } Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

28 Complexidade de uma Linguagem
L  DTime(f) sss  m  TuringDet t.q. (m reconhece L) e c, x  * steps(m,x)  cf(|x|) L  DSpace(f) sss  m  TuringDet t.q. (m reconhece L) e c, x  * space(m,x)  cf(|x|) Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

29 Uso de Recursos por Máquinas de Turing Determ.
L  * f : *1  *2 ML reconhece L sss w  L então ML(w) = “aceita” w  L então ML(w) = “rejeita” Mf computa f sss f(w1)=w2 então ML(w1) = w2 steps(M,w) = números de passos executados pela máquina M sobre o dado w até parar. space(M,w) = números de células (distintas) visitadas pela máquina M sobre o dado w até a parada. Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

30 Por que considerar classes assintóticas de funções ??
Teorema: (speedup linear) Se uma linguagem L é decidida em tempo f(n) então para qualquer  > 0 existe uma M. Turing M que decide L em tempo .f(n) + n + 2. Prova : Modificar o tamanho da “palavra” de memória Consequências do seedup: Se L é decidida em tempo f(n) = 165.nk n + 657 então L é decidida em tempo f’(n) = nk Obs: O mesmo teorema ( e técnica de prova) vale para função de medida e uso de espaço (número máximo de células visitadas) Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

31 Complexidade Computacional I
- Não existência de limite na complexidade de Linguagens DTime(f)  Dtime(f  log(f)) DSpace(f)  DSpace(f  log(f)) - Hierarquia de Linguagens segundo sua Complexidade DTime(n)  Dtime(n2)  ...  Dtime(nk)  .... Dtime(2n) Dspace(log(n)) Dspace(n)  ... DSpace(nk) .... Dtime(2n) Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

32 Teorema de Cantor {A / A  B}
==> Seja B um conjunto, então |B| < |2B| Prova: Suponha que |B| = |2B| então existe f: B  2B S = { x / x  f(x) } f-1(S)  S se e somente se f-1(S)  S Paradoxo do Barbeiro: Em uma cidade existe um barbeiro que faz a barba de todos os homens que não barbeiam a sí próprios e somente estes. Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

33 O método da diagonal de Cantor
suponha que |(0,1)| = |N| a0= 0, aoo ao1 ao2 ao3 ao aon a1= 0, a1o a11 a12 a13 a a1n an= 0, ano an1 an2 an3 an ann bj= 5 se ajj = 9 9 senão b = 0,b0 b1 b2 b3 b bn |(0,1)|  |N| Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

34 Hierarquia própria de funções construtivas
Paraf = { <T,x> / T(x) pára no máximo em f(|x|) passos} FatoI : Paraf  DTime(f3) FatoII : Paraf  DTime(f(x/2)) Prova: Diagonalização Corolário I : DTime(f(n))  DTime(f(2n+1)3) Corolário II : P  EXP Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

35 Classes de Complexidade e algumas relações
Def. PSpace =  DSpace(ni) Def. NPSpace =  NSpace(ni) iN iN Def. NP =  NTime(ni ) iN Def. Log = Space(log(n)) NLog = NSpace(log(n)) Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

36 - DSpace(f(n))  NSpace(f(n)) e DTime(f(n))  NTime(f(n))
- NTime(f(n))  DSpace(f(n)) - NSpace(f(n))  DTime(klog n + f(n)) (obs; Número de conf. + alcançabilidade) - Alcançabilidade  Space(log2) NSpace(f)  Space(f2) - número de nós alcançavel  Space(log) => NSpace(f) = coNSpace(f) Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

37 (parte) do que se sabe atualmente (desde 60’s)
Log  NLog  P  NP  PSPACE = NPSPACE  EXP  NEXP Sabe-se que Log  PSPACE se P = NP então EXP = NEXP se Log = P então EXP = PSPACE Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

38 P : Encontra solução em tempo polinomial em MTD
NP : Verifica solução em tempo polinomial em MTD CoNP : Verifica que não é solução, em tempo polinomia em MTD Sat  NP Taut  CoNP Verificação de Modelos Prova de Teoremas Obs: Se CoNP  NP então NP  P Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

39 Como SAT é NP-Completo então Taut é CoNP-Completo
===> Se existe um sistema dedutivo onde todas as provas tem tamanho polinomial em função do tamanho da conclusão, então CoNP = NP. Senão existe tal sistema então CoNP  NP e portanto NP  P. ? ===> P = NP é um problema genuinamente matemático. ? ===> P = NP é um problema da ciência da computação. ? ===> P = NP é um problema genuinamente de fundamentação e lógica. - Já se tentou técnicas de construção de modelos via “forcing” (funcionou com a hipótese generalizada do continum) mas a crença geral é que não funciona. - Técnicas de diagonalização e relativização (tradição lógico-matemática) tem sido extensivamente usadas no estudo de questões relacionadas a NP=P. Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

40 O Maior problema atual em Teoria da Computação é :
? P = NP O que isto tem a ver com jogos ?????? - Jogos e “quebra-cabeças” : PSPACE, EXP e NP-completos Soluções para jogos (Equilíbrio de Nash p.ex.), estão em P??? (estratégias mistas com soma zero), NP-completos (estratégias puras) e EXP ? (estratégias mistas para jogos em geral) Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

41 Em Geral (versões infinitas)
Damas é EXP-completo Xadrez é EXP-completo Sokoban é PSPACE-completo Clickomania é NP-completo 15-p é P (existência de solução) e NP-completo (melhor sol.) A Teoria de Complexidade adequada para o estudo das versões finitas é a Teoria de complexidade estrutural ou de Kolmogorov Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

42 O jogo de Geografia é PSPACE-completo
Lógica Proposicional Intuicionista é PSPACE-completa (Statman 1977) Prova: A sentenças válidas intuicionisticamente podem ser caracterizadas como sendo aquelas que possuem estratégia vencedora para o jogador que começa o seu jogo dialógico. (Haeusler 2004) Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

43 Complexidade Computacional Engenharia
Conclusão Teoria dos Jogos Matemática Economia Complexidade Computacional Engenharia Fundamentação e Lógica Muito Obrigado pela audiência !!!! Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

44 Caracterizam o conceito de posição ganhadora
Um Pouco de História sobre Teoria dos Jogos e Xadrez 1 Zermelo 1913 – Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels 5o Congresso de Matemáticos (Cambridge). König – Über eine Schulussweise aus dem Endlichen ins Unendliche. Acta Sci. Math. Kalmár – Zur Theorie der abstrakten Spiele. Acta Sci Math. Utiliza indução transfinita Caracterizam o conceito de posição ganhadora Von Neumann – Zur Theorie der Gesellschaftsspiele. Mathematische Annalen Caracteriza a interação entre as estratégias dos jogadores 1- Jogo de Informação Perfeita Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

45 Teorema de Zermelo Ur(q) =  Ur(q) Ur(q) =
“Em um jogo de Xadrez, dado que um jogador está em uma posição vencedora quantos movimentos levará para que ele ganhe ??” ==> Não mais que o número de posições do jogo (estados do tabuleiro). O que é uma posição vencedora ?? Ur(q) =  Ur(q) q Ur(q) = q1 q2 q3  r U pode forçar uma vitória em no máximo r movimentos se e somente se Ur(q) Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

46 König estende o teorema de Zermelo
Lema: Toda árvore infinita finitamente gerada possui um ramo infinito. => Se não há limite (número de passos) para uma posição vencedora então esta não é vencedora, pois em cada posição só há um número finito de movimentos para o adversário. Kalmár e a determinância de jogos assemelhados ao Xadrez Satz III: Em qualquer jogo J potencialmente infinito assemelhado ao Xadrez, se O jogador A não pode forçar a vitória então o jogador B garante pelo menos o empate Corolário: No Xadrez infinito ou as brancas tem uma estratégia vencedora, ou as pretas tem uma estratégia vencedora ou ambas podem garantir o empate. O jogo tem valor, é determinado. Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

47 Nash 1950, Kuhn 1953 Teorema: Todo jogo finito com informação perfeita, de n jogadores, tem um ponto de equilíbrio. Prova: Por indução todo jogo com menos que m nós possui um ponto de equilíbrio Se r é um nó chance, então combine todos pontos de equilíbrio dos subjogos i; Senão o ponto de equilíbrio para r é maximizar os pontos de equilíbrio de cada um dos jogadores com relação ao subjogos i r m nós 1 i k Prog. Din. , MinMax Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

48 ut(x,0) = g(x) e u(x,0) = f(x)
Equação da onda u ut(x,0) = g(x) e u(x,0) = f(x) u(x,t) = F(x+ct)+G(x-ct) D’Alembert Euler 1748 x t Daniel Bernouli 1753 u(x,t) = 2 0  (sinnysinnxcosnct)f(y)dy + 2 0 (1/n)  (sinnysinnxsinnct)g(y)dy Lagrange 1759

49 u(x,t) =  cne-n  Kt/L sin(nx/L) ==> Toda “função” tem expansão
Equação do calor u(0,t) = u(L,t) = 0 u(x,0) = f(x) L Fourier  u(x,t) =  cne-n  Kt/L sin(nx/L) 2 2 2 ==> Toda “função” tem expansão em série de senos ????? n=1  f(x) =  cnsin(nx/L) n=1 Dirichlet (1829,1837) + Fund. Análise (Bolzano, Cauchy, Weierstrass) + Riemann (def. integral, 1900’s) L cn= (2/L)  f(x) sin(nx/L)dx

50 - Modelo determinístico
A Máquina de Turing - Modelo determinístico  q’ ’ q - Modelo multi-cabeça (determinístico) i1 i2 ik qi1 qi2 qik Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

51 M. Turing modelo multi-fita (determinístico)
1 i1 qi1 2 i2 qi2 k ik qik Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

52 A Máquina de Turing (cont.)
- Modelo não-determinístico q  q1  q2  q3  q11  q12  q13   Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

53 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler
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54 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler
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55 QSAT é PSPACE-completo
x( q  x) expressa q p  p pode ser expresso como x(x) QSAT está em PSPACE  Para qualquer MTD M que decide um problema usando espaço p(|w|) Codifica-se os estados globais de M em strings de p(w) bits  EGM(x1,x2,...,xP(n)) descreve um estado global Descubra como diminiur o tamanho de para não ser Exponencial Codifica-se a execução de um passo da computação de M como PassoM(x,y) , onde EGM(x) e EGM(y)  Codifica-se estado global final (aceitação) FinalM(x)  Predicado para computação global. EvoluiM(x,y) = PassoM(x,y)  z(EvoluiM(x,z)  EvoluiM(z,y)) Fórmula associada a aceitação de w por M AceitaM(w) = EGM(w)  z(EvoluiM(w,z)  FinalM(z)) Jan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler