Introdução aos Métodos em Simulação Computacional

Apresentação em tema: "Introdução aos Métodos em Simulação Computacional"— Transcrição da apresentação:

1 Introdução aos Métodos em Simulação Computacional
Adriana Racco CSC - Coordenação de Sistemas e Controle Laboratório Nacional de Computação Científica

2 Introduzir algumas das técnicas utilizadas em simulação computacional, apresentando exemplos de modelagem de sistemas relacionados à Física e à Biologia.

3 Objetivos Familiarização com métodos de simulação computacional e as terminologias mais comuns. Permitir a escolha da técnica computacional mais adequada à modelagem de cada problema.

4 1. Gerador de números aleatórios
distribuição, recorrência e correlação 2. Monte Carlo integral, área e volume 3. Caminho aleatório e polímeros 4. Autômato celular 5. Fractais 6. Algoritmos genéticos

5 Operações Binárias Números binários (inteiros positivos) => = = 5 Fortran [ , ] bit 32 referente ao sinal C [ , ] unsigned long int (sem sinal)

6 Soma Operações Binárias 0 1 0 1 => 22 + 20 = 4+1 = 5
=> = = 5 => = 4 => = = 9 => = = 9 => = 8 => = 1 1 Overflow 9+8=1 ???

7 Operações Binárias Multiplicação por 2n Shift n x << n Deslocar os bits n vezes para a esquerda => = = 5 => = = 10 => 22 = 4 1 Overflow

8 rn+1= (arn+c) mod m a mod b= resto de a/b
Gerador de Números Aleatórios RNG - Random Number Generators Geradores LCG – congruenciais lineares (1950) Semente -> r0 rn+1= (arn+c) mod m a mod b= resto de a/b Simplificando -> c=0 e m = 231 – 1 (intervalo) rn+1= a rn

9 r = a * r Semente -> r ( ímpar )
O multiplicador ”a” é um número especial (mágico), previamente testado. 16 e 32 bits – (Park e Muller), (IBM RANDU), 69621, 64 bits – 1313,

10 Semente -> r ( ímpar )
r = * r ou r = * r

11 Processo r = 16807 * r Semente = 1 00000000000000000000000000000001

12 Utilizando o gerador de números aleatórios
Números reais entre 0 e 1  Nmax=232 – C  Nmax=231 –1 Fortran -231-1 232-1 1.0 0.0 r R 231-1

13 Utilizando o gerador de números aleatórios
Números inteiros entre 0 e (N-1) [0, N-1] r 232-1 N-1 R r 231-1 N-1 R Se N=2n

14 Utilizando o gerador de números aleatórios
Números inteiros entre 0 e (2n-1) [0, 2n -1] Exemplo: [0, 255] n = 8  (32-n) =24 r R

15 Geradores de Números Aleatórios
RNG - Random Number Generators A resposta de cada gerador depende do problema abordado. São necessários testes para verificar a sua eficácia. - distribuição uniforme - aleatoriedade - correlação

16 Distribuição uniforme
Todos os números são igualmente prováveis. Precisa de um grande número de eventos

17 Distribuição uniforme
Todos os números são igualmente prováveis.

18 Distribuição uniforme
Todos os números são igualmente prováveis.

19 Distribuição uniforme
Todos os números são igualmente prováveis.

20 Distribuição uniforme
Todos os números são igualmente prováveis.

21 Distribuição uniforme
Todos os números são igualmente prováveis.

22 Distribuição uniforme
Todos os números são igualmente prováveis.

23 ? Distribuição uniforme Poucos sorteios.
A B C A C B B A C B C A A B C C A B C B A Com apenas cinco sorteios seria coerente ter escolhido qual das seis combinações existentes descartar.

24 Distribuição uniforme
r =( r + 1)mod 256 Distribuição UNIFORME Distribuição não ALEATÓRIA r(t+1) r(t)

25 Mapa de Retorno

26 Correlação Outro teste importante é o teste de correlação, que representa a relação entre os números sorteados. Menor correlação (mais descorrelacionados). Não pode haver correlação de curto alcance.

27 Função de correlação entre dois pontos s1 e s2

28 Distribuição não uniforme
Os números aleatórios possuem probabilidades diferentes. Precisa de um grande número de eventos

29 Distribuição não uniforme
P(n) 100

30 Ruídos Numa analogia com o espectro óptico os ruídos recebem nomes de cores: Branco – (dist. uniforme) possui energia igual em todo o espectro. Azul – freqüências altas. Vermelho e rosa – mais energia nas baixas freqüências.

31 Distribuição não uniforme
método da transformação e método da rejeição

32 Método da transformação
Gera uma distribuição P(n) partindo de uma distribuição uniforme. P(n) - biunívoca

33 Método da transformação
Distribuição acumulada de probabilidades Obtém a relação entre n e y.

34 Método da transformação
Para cada valor de y sorteado (dist. uniforme), aplica-se a transformação f(y) para obter o número aleatório n equivalente.

35 Método da rejeição von Neumann
O número aleatório sorteado será aceito com uma probabilidade p.

36 ? Método da rejeição P(n) normalizada P(n) máximo = 1.0 P(n,) n,
P(n) normalizada máximo = 1.0 n, P(n,) 100 Passo 1 - sorteia n, no intervalo desejado Passo 2 - aceita n, com probabilidade P(n,) ?

37 Método da rejeição Aceita n, com probabilidade P(n,) 232-1 0.0 1.0
232-1 0.0 1.0 aceita rP P rejeita r >P Monte Carlo

38 Método da rejeição O método é mais eficiente quando a àrea da função de distribuição se aproxima da distribuição uniforme utilizada. O método da transformação inversa aproveita todos os sorteios, no entanto existem casos onde a função não é biunívoca.

39 Método de Monte Carlo Caminho aleatório