Confiabilidade Estrutural

Apresentação em tema: "Confiabilidade Estrutural"— Transcrição da apresentação:

1 Confiabilidade Estrutural
Jorge Luiz A. Ferreira Professor

2 Conceituação 1. Hipótese 2. Transformação do espaço X no espaço U
Considerando uma função de estado limite não linear onde, as variáveis Xi são variáveis aleatórias não correlacionadas com valores médios e desvios padrão, respectivamente, iguais a mXi e sXi 2. Transformação do espaço X no espaço U A variável aleatória é transformada em uma variável aleatória padronizada usando a seguinte função de transformação:

3 Conceituação O espaço X é então transformado no espaço U:
A equação de estado limite representada no espaço X é então representada no espaço U usando a seguinte expressão O ponto de projeto (verificação) o espaço X é então transformado no ponto do espaço U.

4 3. Índice de Confiabilidade no Espaço Normalizado U
No espaço U, a equação do plano tangente a superficie de falha, , que passa no ponto de projeto é calculada por (a) Como o ponto de Projeto é um ponto da superficie de falha , então a igualdade se verifica A equação do hiper-plano pode assim, ser expressa como: (a) – Estimativa em Série de Taylor de 1ª ordem da superficie

5 3. Índice de Confiabilidade no Espaço Normalizado U
A distância da origem do Sistema Coordenado do espaço U até o plano tangente é denominada de indice de Confiabilidade real Ponto de Projeto Tangente Superfície de Falha

6 3. Índice de Confiabilidade no Espaço Normalizado U
A partir do significado geométrico do índice de confiabilidade, temos que Se é, na verdade, o cosseno diretor na distância

7 4. Índice de Confiabilidade no Espaço X
O ponto de projeto no espaço X Como Temos Assim, os cossenos diretores no espaço X serão expressos como

8 4. Índice de Confiabilidade no Espaço X

9 Relações Básicas 5. Algoritmo para Estimativa de b … … … … …(1)
… … … … … …(2) … … … … … … … … … …(3) … … … … … … … … … …(4)

10 5. Algoritmo para Estimativa de b
Formular a equação de estado limite Definir de forma adequada as distribuição de probabilidade, bem como seus parâmetros das variáveis aleatórias. Assumir os valores iniciais do ponto de projeto e de Em geral, o valor inicial do ponto de projeto é tomado como a média Então, o valor inicial de é 0. Usando a Eq.(1) calcule os cossenos diretores ai . Usando a Eq.(2) calcule as coordenadas do ponto de projeto. Usando a Eq.(3) calcule o índice de confiabilidade . Usando a Eq.(2) calcule o novo ponto de projeto. Retorne ao passo 3 e repita de forma iterativa a sequência de passos até convergir.

11 5. Fluxograma para Estimativa de b
Início Escolher Calcular Calcular Calcular em Retorar e Não Sim

12 Exemplo Assuma que uma viga de aço esteja submetida a um momento fletor o modulo plastic da seção, , e a resistência ao escoamento da viga, Fy, são variáveis aleatórias, estatisticamente independentes, com parametros Equação de Estado Limite: Calcule o índice de confiabilidade da viga, b HL , bem como o ponto de projeto da viga (W, Fy) usando o método AFOSM h/2 x x t

13 Solução (a)

14 Solução (b) (c) (d) 1a Iteração (1) (2) (3) Se
Calculo de e [usando Equação (a)] (3) Calculo de [usando Equação (d)]

15 2a Iteração (1) (2) (3) Calculo de e [usando Equação (b)]
Calculo de e [usando Equação (a)] (3) Calculo de [usando Equação (d)]

16 3a Iteração (1) (2) (3) Calculo de e [usando Equação (b)]
Calculo de e [usando Equação (a)] (3) Calculo de [usando Equação (d)] Resultado Final:

17 Monte Carlo (estudo de convergência);
TAREFA – VALENDO FORTEMENTE NOTA PARA MÉDIA FINAL 1 - Considerando este exemplo calcule a probabilidade de falha por meio das seguintes técnicas: Monte Carlo (estudo de convergência); Aproximação da média e do desvio padrão usando aproximações em série de Taylor de 1ª ordem; - Aproximação por diferenças finitas; - MVFOSM (Advanced First-Order Second-Moment method) 2 – Implementar o fluxograma apresentado no item 5 na resolução do exemplo (opcional)

18 6. Inclusão de Informações sobre as Características das Variáveis Aleatórias
No método MVFOSM o índice b está relacionado com a probabilidade de falha nos casos em que as variáveis X são normalmente distribuídos e quando g (.) é linear com relação às xi variáveis. Conforme já comentado, a transformação de espaço utilizada do método MVFOSM, utiliza a média aritmética e o desvio-padrão como parâmetros de posição e de escala, respectivamente. Assim, tal transformação só trata de forma adequada variáveis aleatórias normais, ou seja:

19 6. Inclusão de Informações sobre as Características das Variáveis Aleatórias
No domínio normalizado, U, o valor de b é calculado pelo norma do produto interno do vetor P*. Já no espaço não normalizado, a pesquisa do ponto de projeto, P*, é realizada usando a função (u*1 , u*2 )

20 6. Inclusão de Informações sobre as Características das Variáveis Aleatórias
Assim, a fim de estender a aplicação desse procedimento de calculo à variáveis não gaussianas, torna-se necessário a transformação dessas variáveis em gaussianas equivalentes. Entretanto, a média e o desvio padrão não conseguem explicar o comportamento da distribuição de probabilidade, conforme ilustrado na figura ao lado.

21 6. Inclusão de Informações sobre as Características das Variáveis Aleatórias
Para construir essa nova transformação, parte-se da premissa que a cauda da distribuição é geralmente o local de maior relação com a probabilidade de falha. Portanto, parece razoável ajustar a distribuição normal equivalente à cauda da distribuição não-normal - Idéia básica proposta por Rackwitz e Fiessler em 1978. Rackwitz, R., and Fiessler, B. (1978). Structural reliability under combined random load sequences. Computers & Structures, 9:

22 6. Inclusão de Informações sobre as Características das Variáveis Aleatórias
Ao estabelecer que as distribuições cumulativas e as funções de densidade de probabilidade da distribuição real e da distribuição gaussiana sejam iguais no ponto de projeto (verificação), pode-se determinar que a média e o desvio padrão, mx* e sx*, que caracterizam a função gaussiana equivalente garantindo as seguintes condições: Média e Desvio Padrão da à distribuição gaussiana no Ponto de verificação

23 6. Inclusão de Informações sobre as Características das Variáveis Aleatórias
A resolução simultânea dessas duas equações resulta nas seguintes estimativas para Função de Distribuição de probabilidade da v.a. não gaussiana

24 6. Inclusão de Informações sobre as Características das Variáveis Aleatórias
Exemplo: Aplique a transformação de Rackwitz-Fiessler, no ponto x = 40, considerando uma variável aleatória não gaussiana com distribuição de Gumbel com parâmetro de escala, b, igual a 60 e parâmetro de forma, a, igual a 4. Se x ≅ G (a, b), então:

25 6. Inclusão de Informações sobre as Características das Variáveis Aleatórias
Exemplo: Aplique a transformação de Rackwitz-Fiessler, no ponto x = 40, considerando uma variável aleatória não gaussiana com distribuição de Gumbel com parâmetro de escala, b, igual a 60 e parâmetro de forma, a, igual a 4. Se x ≅ G (a, b), então:

26 6. Inclusão de Informações sobre as Características das Variáveis Aleatórias
Exemplo: Aplique a transformação de Rackwitz-Fiessler, no ponto x = 40, considerando uma variável aleatória não gaussiana com distribuição de Gumbel com parâmetro de escala, b, igual a 60 e parâmetro de forma, a, igual a 4. Se x ≅ G (a, b), então:

27 5. Algoritmo para Estimativa de b com Transformação R-F
Formular a equação de estado limite Definir de forma adequada as distribuição de probabilidade, bem como seus parâmetros das variáveis aleatórias. Assumir os valores iniciais do ponto de projeto e de Em geral, o valor inicial do ponto de projeto é tomado como a média Então, o valor inicial de é 0. Para as Xis v.a. com distribuição não-gaussianas , a media mxi e o desvio padrão sxi , devem ser estimados utilizando a tranformação R-F no ponto de verificação dessas v.a. 4. Calcular os cossenos diretores ai .

28 5. Algoritmo para Estimativa de b com Transformação R-F
5. Calcular as coordenadas do ponto de verificação ( projeto). 6. Calcular o índice de confiabilidade b , usando: 7. Calcular o novo ponto de verificação (projeto). 8. Repetir os passo 3 a 7 até b e o ponto de verificação, , convergir.