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Luiz Gonzaga da Silveira Jr Algoritmos e Estrutura de Dados: Uma pequena motivação.

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1 Luiz Gonzaga da Silveira Jr Algoritmos e Estrutura de Dados: Uma pequena motivação

2 Cenário visionário Suponha que os computadores fossem infinitamente rápidos, com memória infinita. Você precisaria estudar algoritmos?! Me dê 2 razões... Demonstrar que o método de sua solução termina, e, o faz com a resposta correta! Se todos os métodos estivessem corretos, você escolheria o método mais fácil de implementar... Mas o mundo perfeito não existe: velocidade infinita e memória grátis...

3 Eficiência: Caso Computador A: 1 bilhão de instruções/sec Computador B: 10 milhões de instruções/sec Conclusão: CompA é 100x mais rápido do que CompB Programador mais ansioso do mundo: Ordenação (inserção) 2n 2 instruções para ordenar n números no CompA Programador mais relaxado do mundo: Ordenação (intercalação) 50 n log n instruções para ordenar n números no CompB Para ordenar 01 milhão de números: CompA: ~2000 segundos CompB: ~100 segundos CompB executou 20x mais rápido do que o CompA

4 Alguns problemas Ordenação Busca Armazenamento Compressão Transmissão Descompressão Parâmetros de qualidade Corretude (depuração) Desempenho (perfilação)

5 Ordenação Ordenar buscar! Exercício 1: Uma função que verifique se um vetor v[0..n- 1] está em ordem crescente. Exercício 2: Uma função que busque a ocorrência de um valor em um vetor v[0..n-1] Exercício 3: Uma função que ordene um vetor com N elementos. Comparação

6 Qual a complexidade destas funções para as soluções encontradas?! Melhor caso? Pior caso? Caso médio?

7 Um pouco de noção de complexidade Ao ver uma expressão como n+10 ou n 2 +1, a maioria das pessoas pensa automaticamente em valores pequenos de n, valores próximos de zero. Testar: para n=2, n=3,n=4, n=10, n=100 A análise de algoritmos faz exatamente o contrário: ignora os valores pequenos e concentra-se nos valores enormes de n.

8 Algumas funções Observemos as seguintes funções: n 2, (3/2)n 2,9999n 2, n 2 /1000, n n Quem cresce mais rápido?! (claro, para valores enormes de n): vamos experimentar! Resposta: Todas têm crescimentos equivalentes Crescimento assintótico! Nessa matemática, as funções são classificadas em ORDENS. Funções de mesma ordem são ditas equivalentes. As funções acima pertencem a mesma ordem

9 Ordem O (Big-Oh) Segundo Knuth, O trata-se do ômicron grego maiúsculo. Definição: Dadas funções assintoticamente não-negativas f e g, dizemos que f está na ordem O de g, e escrevemos f = O(g), se f(n) c · g(n) para algum c positivo e para todo n suficientemente grande. Em outras palavras, existe um número positivo c e um número N tais que f(n) c · g(n) para todo n maior que N. Exemplo: Se f(n) 9999 g(n) para todo n 1000 então f = O(g). (Mas cuidado: a recíproca não é verdadeira!)

10 Exemplo Dadas as funções: f(n) = (3/2)n 2 + (7/2)n – 4 e que g(n) = n 2. n f(n) g(n) 0 – A tabela sugere que f(n) 2g(n) para n 6 e portanto parece que f(n) = O(g(n)).

11 Bubblesort: intuitivo, porém...! bubbleSort( A : lista ) do swapped := false for each i in 0 to length( A ) - 2 do: if A[ i ] > A[ i + 1 ] then swap( A[ i ], A[ i + 1 ] ) swapped := true end if end for while swapped end

12 Implementação Alternativa bubbleSort( A : lista ) n := length( A ) - 1 do swapped := false n := n - 1 for each i in 0 to n do: if A[ i ] > A[ i + 1 ] then swap( A[ i ], A[ i + 1 ] ) swapped := true end if end for while swapped end Qual a diferença entre as duas implementações?

13 Análise de complexidade Para uma lista de n elementos Pior caso: O(n 2 ) Melhor caso: O(n) Posição dos elementos na lista define eficiência do algoritmo Para grande quantidade de dados: ineficiente! Na prática: Simples (entender e implementar) Aceitável para n pequeno!

14 Inserção Analogia: cartas do baralho! Funcionamento: mão esquerda vazia...cartas pra baixo, retira carta da mesa e vai inserindo Complexidade Melhor caso:O(n)! Pior caso:O(n 2 )

15 Implementação void insercao (int n, int v[]) { int j, i, x; for (j = 1; j < n; j++) { x = v[j]; for (i = j-1; i >= 0 && v[i] > x; --i) v[i+1] = v[i]; v[i+1] = x; }

16 Exercício 1.Que acontece se trocarmos "for (j = 1" por "for (j = 0" no código da função inserção? 2.Que acontece se trocarmos "v[i+1] = x" por "v[i] = x" no código da função inserção?

18 Algoritmo de seleção void selecao (int n, int v[ ]) { int i, j, min, x; for (i = 0; i < n-1; ++i) { min = i; for (j = i+1; j < n; ++j) if (v[j] < v[min]) min = j; x = v[i]; v[i] = v[min]; v[min] = x; } Ele seleciona o menor elemento do vetor, depois o segundo menor, e assim por diante Complexidade: O(n 2 )

19 Quicksort Inventado por C.A.R. Hoare, em Estratégia: dividir e conquistar! Idéia: Dividir a lista em 2 sublistas Atividade: Pesquisar o funcionamento do algoritmo! Implementar para um conjunto de valores inteiros contidos no site Medir tempo!

20 Complexidade na prática Considerações: Tamanho do conjunto Considerar usar algoritmos mais eficientes para grandes conjuntos Natureza dos dados (repetidos, já ordenados ou praticamente ordenados,…) Se 2 algoritmos tem mesma complexidade, qual utilizar?!

21 Busca

22 Problema Determinar se um dado número está ou não está em um dado vetor ordenado. Mais precisamente, dado um número x e um vetor crescente v[0..n-1], encontrar um índice m tal que v[m] == x. É claro que o problema pode não ter solução. Este é o caso, por exemplo, se o vetor é vazio, ou seja, se n vale 0. Ex:

23 Solução 1: óbvia e lenta Comecemos com um algoritmo simples e óbvio: A função abaixo recebe um número x e um vetor // crescente v[0..n-1]. Ela devolve um índice m // em 0..n-1 tal que v[m] == x. Se tal m não existe, // a função devolve -1. int buscaSequencial (int x, int n, int v[]) { int m = 0; while (m < n && v[m] < x) ++m; if (m < n && v[m] == x) return m; else return -1; }

24 Busca seqüencial Comecemos com um algoritmo simples e óbvio: // A função recebe um número x e um vetor // crescente v[0..n-1]. Ela devolve um índice m tal que v[m] == x. Se tal m não existe, a função devolve -1. int buscaSequencial (int x, int n, int v[]) { int m = 0; while (m < n && v[m] < x) ++m; if (m < n && v[m] == x) return m; else return -1; }

25 Busca binária int buscaBinaria (int x, int n, int v[]) { int e, m, d; e = 0; d = n-1; while (e <= d) { m = (e + d)/2; if (v[m] == x) return m; if (v[m] < x) e = m + 1; else d = m - 1; } return -1; } int buscaBinaria (int x, int n, int v[]) { int e, m, d; e = 0; d = n-1; while (e <= d) { m = (e + d)/2; if (v[m] == x) return m; if (v[m] < x) e = m + 1; else d = m - 1; } return -1; } Condição: Vetor ordenado! Info importante Diminuição o espaço de busca!

26 Outros Pesquisar e mostrar! Ver página do curso! Vou colocar um algoritmo para cada aluno estudar e explicar na próxima aula!

27 Falamos sobre estruturas… Listas, vetores…indistintamente Qual o papel destas estruturas nos processos de ordenação e busca?! Java: Vector, ArrayList, LinkedList,…


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