ALGEBRA LINEAR AUTOVALORES E AUTOVETORES Prof. Ademilson

Apresentação em tema: "ALGEBRA LINEAR AUTOVALORES E AUTOVETORES Prof. Ademilson"— Transcrição da apresentação:

1 ALGEBRA LINEAR AUTOVALORES E AUTOVETORES Prof. Ademilson

2 Autovalores e autovetores
Autovalores e autovetores são conceitos importantes de matemática, com aplicações práticas em áreas diversificadas como mecânica quântica, processamento de imagens, análise de vibrações, mecânica dos sólidos, estatística, estudo de vibrações, dinâmica populacional, estudos referentes à Genética, Mecânica Quântica, Economia e Geometria etc.

3 Genética: a quantidade de genótipos AA, Aa, aa resultante das combinações, conforme forem passando as gerações é calculada como sendo os autovalores e os autovetores de certa matriz. Sistema massa x mola: dada uma mola e colando-se nessa mola uma massa a estabilidade desse sistema pode ser obtida calculando-se os autovalores e os autovetores de certa matriz.

4 Pedaço de viga de uma ponte: ao analisarmos um pedaço de viga, observamos que ele está sujeito a diversas tensões. A maior e a menor tensão que este objeto sofre é calculada encontrando os autovalores de certa matriz. Pesquisa de algum tema na Internet: ao digitar uma palavra no Google aparece no buscador os sites que podemos consultar. O Google sabe quais são os sites “mais importantes”, devido a certa matriz, que faz a relação entre os diversos sites, procurando autovetores e autovalores e aplicando um algoritmo de busca desenvolvido por eles (PageRank), eles estabelecem o critério de qual site é mais importantes que outros.

5 Autovalores e autovetores
Os autovalores de uma matriz também são chamados de valor próprio ou valor característico. Para entendermos sua definição, consideremos uma matriz A quadrada: Ao multiplicarmos essa matriz A por um vetor não nulo, obtemos um outro vetor também de dimensão n×1. Por outro lado, se multiplicarmos o mesmo vetor v por uma constante , também obteremos como resultado um vetor de dimensão n×1: A·v = vetor de dimensão n×1 λ·v = vetor de dimensão n×1

6 Autovalores e autovetores
Será que existe algum valor para ¸ que torne esses dois resultados iguais? A.v = λ.v ? A resposta é sim. Esses valores são chamados de autovalores. Portanto, autovalor é um número, real ou complexo, que de certa forma pode substituir uma matriz quadrada, ou seja, ou autovalores podem representar essa matriz. Observações : - Só é possível obter autovalores e autovetores de matrizes quadradas. - O número de autovalores é definido pela ordem da matriz.

7 Autovalores e autovetores
Quando partimos da definição A.v =λ.v encontramos os autovalores da matriz A, porém quando substituímos o valor de λ, a equação não é satisfeita para qualquer vetor v, apenas para alguns vetores que são chamados de autovetores da matriz A. Portanto, autovetor é o conjunto de vetores solução, não triviais, da equação A.v = λ.v ou (λ.I–A)v=0, para cada valor de λ. Graficamente a ideia básica pode ser vista de uma forma bastante simples. Seja uma imagem formada por um retângulo com 2 vetores segundo (a) da Figura 01. Essa imagem sofre uma ampliação (transformação) apenas na horizontal, resultando no retângulo (b).

8 Autovalores e autovetores
Nessa condição, o vetor v2 passou a v2', que não tem a mesma direção do original v2. Portanto, o vetor v2' não pode ser representado por v2 multiplicado por um escalar. Mas o vetor v1' tem a mesma direção de v1 e, por isso, pode ser representado por v1 multiplicado por um escalar. Diz-se então que v1 é um autovetor da transformação e que esse escalar é um autovalor .

9 Autovalores e autovetores
Na definição matemática, consideram-se transformações lineares: Seja T: V → V um operador linear, onde V é um espaço vetorial qualquer. Um vetor não nulo v em V é dito um autovetor de T se existe um número real λ tal que T(v) = λ v O escalar λ é denominado um autovalor de T associado a v. Obs.: λ pode ser o número zero (0), mas v não pode ser o vetor nulo.

10 Autovalores e autovetores
Seja uma transformação que faz uma reflexão em relação ao eixo horizontal em um espaço bidimensional real. Em termos de coordenadas essa transformação é escrita na forma: T(x, y) = (x, −y) No exemplo da Figura 01, são indicados os vetores:

11 Autovalores e autovetores
Então a é um autovetor de autovalor porque T(a) = (2, 0) = a Também b é um autovetor de autovalor −1 porque T(b) = (0, −1) = − b. Mas c não é autovetor porque T(c) = (−2, −1) não é paralelo a c.

12 Autovalores e autovetores
Podemos usar o conceito de transformação linear: onde A é uma matriz , temos interesse em assim: Se e λ são respectivamente autovetor e autovalor do operador T temos: Tendo em vista que pode ser escrito como I. (onde I é a matriz identidade), podemos escrever a equação acima como: Equação para achar o autovetor.

13 Como: = (𝑥,𝑦,𝑧) ≠ (0,0,0) e no caso das matrizes:
Deve-se ter então: Equação para achar o autovalor.

14 A equação det (A - λ I) = 0 é denominada equação característica do operador T ou da matriz A, e suas raízes são os autovalores do operador T ou da matriz A. O determinante det (A - λ I) é um polinômio em λ, denominado polinômio característico.

15 PROPRIEDADES DOS AUTOVALORES E AUTOVETORES
Se é autovetor associado ao autovalor α de um operador linear T, o vetor , para qualquer real λ ≠ 0, é também autovetor de T associado ao mesmo λ. ii) Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico e, portanto, os mesmos autovalores. Definição: Duas matrizes quadradas A e B são semelhantes se existe uma matriz inversível P, tal que B = P-1 AP. Um conjunto de autovetores obtidos quando λ1 ≠ λ2 constitui uma base. P é a matriz formada por essa base.

16 Teorema: Duas matrizes quadradas A e B são semelhantes se, e somente se, possuem o mesmo determinante. Matrizes semelhantes têm os mesmos autovalores.

17 Autovalores e autovetores
Determinar os autovetores e autovalores de A. Autovalores

18 Autovalores e autovetores
Determinar os autovetores e autovalores de A. Logo os autovetores terão essa característica: Para

19 Autovalores e autovetores
Determinar os autovetores e autovalores de A. Logo os autovetores terão essa característica: Para

20 Autovalores e autovetores
Determinar os autovetores e autovalores do operador linear: Autovalores

21 Autovalores e autovetores
Determinar os autovetores e autovalores do operador linear: Logo os autovetores terão essa característica: Para

22 Autovalores e autovetores
Determinar os autovetores e autovalores do operador linear: Para Logo os autovetores terão essa característica:

23 Autovalores e autovetores
Calcule o polinômio característico e os valores próprios da matriz: A equação característica de A é: det (A - λ I) = 0. λ² – 3λ + 2 = 0 é o polinômio característico e os valores próprios são: λ’ = e λ” = 1.