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TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Complexidade Computacional e Jogos.

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1 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Complexidade Computacional e Jogos

2 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Agenda da Apresentação -Preliminares de Teoria da Computação e Complexidade Computacional - Teoria dos Jogos desde o Teorema de Zermelo - Aspectos Computacionais de Jogos

3 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler - O que é a (Teoria da) Computação ? - O que é Lógica ? (Tentativa de) conceituação do Computável (Tentativa de) conceituação do Razoável

4 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Computável Toda tarefa que pode ser realizada por um ser burro com um mínimo de conhecimento/capacidade. burro = Incapaz de Aprender conhecimento = ? Antes de 1900 d.c ====>  Máquina de Raciocinar (Leibniz 1667) Máquina de Calcular de Pascal (Pascal sec.XVII)Pascal Máquina de Babbage (Ch. Babbage sec. XIX)Babbage  ..

5 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Razoável Todo evento que é passível de uma explicação, na forma argumentativa, construída sobre fatos iniciais inquestionáveis. Antes de 1879 ====>  Lógica Aristotélica e Escolástica (a partir de 300 a.c.) Álgebras Booleanas (Boole 1847) Álgebra Relacional (DeMorgan, Schroeder, C.S.Peirce XIX)  

6 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Panorama da Matemática no Século XIX - Problemas da Física Matemática (Sec. XVIII-XIX): - Equação da OndaEquação da Onda - Equação do CalorEquação do Calor - Equação de Poisson - Técnicas de Fourier - Séries Infinitas são usadas na solução de Eq. Dif. ParciaisSéries Infinitas - Problemas de Fundamentação: - Séries divergentes x Séries Convergentes - Conceito de infinito não era preciso - O próprio conceito de número real não era preciso. - Definição de convergência não existia - Conceito de função não era preciso Necessidade de teoria mais abrangente e abstrata

7 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Panorama da Matemática no Século XIX (cont.) Dedekind ( ) Estabelece o princípio de indução e define conceito de número real Cauchy ( ) Bolzano( ) Weierstrass ( ) Riemman( ) Aritmetização da Análise, definição dos conceitos de limite, funções e funções contínuas, convergência de sequências e séries infinitas Definição do conceito de integral e Teorema Fundamental do Cálculo. Geometrias Não-Euclidianas Estabelece critérios para a diferenciação e integração, termo a termo, de séries infinitas Hilbert (em ) Estabelece a fundamentação da geometria Peano (em 1889)Define os axiomas da aritmética

8 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Teoria Ingênua dos Conjuntos Cantor (de 1867 a 1871) define a teoria de conjuntos e prova a existênciaexistência de conjuntos infinitos com cardinalidades diferentes. Conceitos decardinalidades diferentes números cardinais e ordinais transfinitos. Bolzano concebe a noção (abstrata) de conjuntos (finitos e infinitos) Resistência aos principais resultados em função do “receio do infinito” Alguns paradoxos: - Burali-Forti (1897) “Não há o ordinal de todos os ordinais” - Russell (1902) “Não há o conjunto de todos os conjuntos” R = { x / x  x} ==> R  R se e somente se R  R

9 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Evolução da Lógica como assunto matemático Frege (1879) estabele a lógica como um sistema formal que tem sua linguagem particular e distinta da natural. O conceito de prova matemática passa a ser formal. Frege (1884) busca a fundamentação da aritmética em bases puramente lógicas, com a adição do conceito de pertinência (  ) como primitivo. ===> Os paradoxos aparecem novamente !! DeMorgan (1830) Observa que a álgebra não necessita lidar tão somente com conceitos numéricos. Boole (1854) Descreve uma álgebra a partir de operações entre conjuntos e relações lógicas, confirmando DeMorgan. ===> Paradoxos associados ao axioma da escolha

10 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler As 3 Abordagens para a Fundamentação da Matemática Logicismo (Frege) - Toda a Matemática é consequência de princípios puramente lógicos. Formalismo (Hilbert) - A Matemática é fundamentada por sistemas formais cujo único requisito é a consistência Intuicionismo (Brouwer) - A Matemática é uma atividade humana funda- mentada em processos construtivos, sendo assim todo objeto matemático tem sua existência expressa por construção.

11 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler O Programa de Hilbert => Obtenção de uma prova da consistência da matemática, observando-se que: - As teorias mais complexas são extensões das mais simples. - Tais extensões são, na sua maior parte, obtidas por operações básicas (classes de equivalência, completamento por simetria, por compactação, completamento algébrico, etc) Th(N)  Th(Z)  Th(Q)  Th(R)  Th(C) => Prova da consistência da Aritmética ( Th(N)) com o uso de técnicas finitárias. => Provar que não existe prova de 0 = 1 usando

12 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler A Computação do ponto de vista das funções prim. recursivas Gödel define as funções prim. recursivas associando-as a provas em aritmética 1927/ Ackermann define uma função que necessita de recursão simultânea Rózsa Péter - Prova que as funções prim. recursivas formam a classe definida por recursão simples e “nested” a partir de funções iniciais constantes, identidade e a função sucessor. Prova que a função de Ackermann é na realidade definida por recursão em duas variáveis e não é portanto primitivamente recursiva, mas é computável A. Turing - Define uma máquina formal a partir de princípios simples (ler, apagar e escrever símbolos em uma fita) e define o conceito de Máquina Universal. Prova que não existe máquina capaz de verificar se outra máquina pára ou não. Desde o início a sua máquina com versão Não-Determinística A. Church Define o  -Calculus e mostra que este é capaz de definir todas as funções para as quais existe uma Máquina de Turing Kleene Define, aceitando que o computável inclui a parcialidade funcional, as funções parcialmente recursivas e lança a Tese de Church Markov Estabele o conceito de computável com base em identificação de palavras e símbolos (algoritmos de Markov) e justifica o ponto de vista finitista da computação.

13 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Sxyz  (xz)yz Kxy  x Ix  x (I  SKK) Tese de Church: f: N  N é computável se e somente se existe um combinador F  C 1 C 2... C k tal que para todo n  N (F:n:  :m:)  f(n) = m) :0:  I :1:  P0K :2:  P1K..... :n:  P:n-1:K.... P  f é recursiva existe uma máquina de Turing M, tal que M com na fita de entrada M pára com na saída sss f(n) = m m n existe um algoritmo de Markov A, t.q. A lendo pára e produz o string na saída sss f(n) = m m n

14 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler A Tese de Church é um enunciado científico, portanto não possui demonstração matemática. Evidência Forte para a Tese de Church Teorema de Rogers (1958): Sejam duas FAA’s (  i ) i  N e (  i ) i  N então existe f recursiva e bijetiva tal que  i =  f(i) Obs: Uma FAA é um conjunto de funções parciais (  i ) i  N, tal que: 1- As funções parc. recursivas estão todas em (  i ) i  N 2- Existe u  N com  u parc. recursiva tal que para todo i e x  u (i,x) =  i (x) 3- Existe c recursiva tal que  c(i,j) =  i   j

15 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Medindo a eficiência de algoritmos - Escolha do modelo computacional - Recursos: Tempo, Memória - Relacionando os algoritmos e os problemas que estes resolvem - Computação de Funções - Problemas de otimização - Problemas de decisão,, - Linguagens -Classes de complexidade: Classificando problemas pela complexidade do algoritmo mais eficiente que o resolve.

16 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Satisfação na Lógica Proposicional “Dada uma fórmula da lógica proposicional, isto é, formada com os conectivos , ,  e , deseja-se saber se existe uma valoração que a satisfaça” Problema SAT Solução: Gerar todas as valorações e testar uma a uma até encontrar. Se não encontrar ao final do teste de todas as valorações informar que a fórmula não é satisfatível.

17 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler k 2k2k Cálculo total532insignificante seg seg x seg x hora 12 min Supondo que o computador calcule 1 milhão de valorações por segundo. Dada uma fórmula com k variáveis existem 2 k valorações

18 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Por outro lado ……… -Verificar se uma valoração satisfaz uma fórmula é muito rápido (muito menos que 1x10 -7 seg) para fórmulas com até 100 variáveis em um pentium IV 1 GHz. -Dada uma valoração, avaliar o valor da fórmula leva no máximo k operações, onde k é o tamanho da fórmula.

19 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler “Suponha que um caixeiro viajante tenha que visitar k cidades diferentes, iniciando e encerrando esta viagem na primeira cidade. Não importa a ordem com que as cidades são visitadas. Sabe-se que de cada cidade pode-se ir diretamente a qualquer outra. O problema do caixeiro viajante consiste em descobrir a rota que torna mínima a viagem total (em kms)”. O problema do Caixeiro Viajante Obs: Tal rota é dita ser um ciclo hamiltoniano no grafo.

20 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Bsb BH Rio S.P. 1070

21 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler O problema do caixeiro viajante é um problema de otimização combinatória. (a)Podemos transforma-lo num problema de enumeração ? (b)Podemos determinar todas as rotas do caixeiro ? (c)Podemos saber qual delas é a menor ? SOLUÇÃO: São (k-1)! Rotas É um trabalho fácil para a máquina ?

22 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler ( k - 1 )! cresce muito rápido k(k - 1)!Cálculo total524insignificante seg1587 bilhões24 hs e 6 min201.2 x milhões de anos256.2 x x anos Supondo que o computador calcule 1 milhão de rotas por segundo.

23 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Por outro lado Saber se em existe um ciclo hamiltoniano é mais fácil que encontrar o ciclo mínimo ??? -Para qualquer fórmula proposicional  existe um grafo G que possui caminho hamiltoniano, se e somente se,  é SAT. o tamanho de G é polinomial no tamanho de  Ciclo min = vert – 1 ???

24 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler SAT e as Máquinas de Turing não-determinísticasTuring w P(|w|) Si,j t = Símbolo j na posição i no tempo t Ee t = Máquina está no Estado e no tempo t Ci t = Cabeça está no na posição i no tempo t Fórmulas para descrever: -A cabeça em qualquer tempo t está em uma e somente uma posição -Cada pósição da fita tem, em qualquer t, um e somente Um símbolo escrito. - A máquina, em qualquer tempo t, está em um e somente um estado Fórmulas para descrever o a conf. Inicial da fita: Se SAT puder ser resolvido em tempo polinomial por uma M.T. deter então qualquer problema em NP também pode ser resolvido em tempo polinomial Fórmulas para descrever o comportamento da máquina: E e  C i  S i,j  (E g  C i+1  S i,k )  (E h  C i-1  S i,n ) t t t t +1 S 0,3  S 1,7  S 2,1   S |w|,

25 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler (1)Descobrindo como resolver o problema do caixeiro viajante em tempo polinomial, seremos capazes de resolver, também em tempo polinomial, outros problemas importantes (úteis). (2)Se alguém provar que é impossível resolver o problema do caixeiro em tempo polinomial no número de cidades, também se terá que outros de problemas importantes não tem solução prática. (3) Costuma-se resumir essas propriedades do problema do caixeiro dizendo que ele pertence à categoria dos problemas NP - completos.

26 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Problemas de Decisão x  P ? x sim não Prog. |x|   * 1 0 Problemas de Decisão  Linguagens Formais

27 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Problemas, Soluções e Linguagens P = P Comp =   f:Ent  Saída  f  Relação Sol =  f:  Ent   Saída  f computável  f  R SolComp =  ** ** L P = { w ent w sai /  (w ent, w sai )  R   Ent  Saída } **

28 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Complexidade de uma Linguagem L  DTime(f) sss  m  TuringDet t.q. (m reconhece L) e  c,  x   * steps(m,x)  cf(|x|) L  DSpace(f) sss  m  TuringDet t.q. (m reconhece L) e  c,  x   * space(m,x)  cf(|x|)

29 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Uso de Recursos por Máquinas de Turing Determ. L   * M L reconhece L sss w  L então M L (w) = “aceita” w  L então M L (w) = “rejeita” f :  * 1   * 2 M f computa f sss f(w 1 )=w 2 então M L (w 1 ) = w 2 steps(M,w) = números de passos executados pela máquina M sobre o dado w até parar. space(M,w) = números de células (distintas) visitadas pela máquina M sobre o dado w até a parada.

30 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Por que considerar classes assintóticas de funções ?? Teorema: (speedup linear) Se uma linguagem L é decidida em tempo f(n) então para qualquer  > 0 existe uma M. Turing M  que decide L em tempo .f(n) + n + 2. Prova : Modificar o tamanho da “palavra” de memória Consequências do seedup: Se L é decidida em tempo f(n) = 165.n k n então L é decidida em tempo f’(n) = n k Obs: O mesmo teorema ( e técnica de prova) vale para função de medida e uso de espaço (número máximo de células visitadas)

31 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Complexidade Computacional I - Não existência de limite na complexidade de Linguagens DTime(f)  Dtime(f  log(f)) DSpace(f)  DSpace(f  log(f)) - Hierarquia de Linguagens segundo sua Complexidade DTime(n)  Dtime(n 2 ) ...  Dtime(n k ) .... Dtime(2 n ) Dspace(log(n))  Dspace(n) ... ...  DSpace(n k ) .... Dtime(2 n )......

32 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Teorema de Cantor ==> Seja B um conjunto, então |B| < |2 B | S = { x / x  f(x) } Prova: Suponha que |B| = |2 B | então existe f: B  2 B f -1 (S)  S se e somente se f -1 (S)  S Paradoxo do Barbeiro: Em uma cidade existe um barbeiro que faz a barba de todos os homens que não barbeiam a sí próprios e somente estes. {A / A  B}

33 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler O método da diagonal de Cantor a 0 = 0, a oo a o1 a o2 a o3 a o a on a 1 = 0, a 1o a 11 a 12 a 13 a a 1n a n = 0, a no a n1 a n2 a n3 a n a nn suponha que |(0,1)| = |N| b = 0,b 0 b 1 b 2 b 3 b b n bj=bj= 5 se a jj = 9 9 senão |(0,1)|  |N|

34 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Hierarquia própria de funções construtivas Para f = { / T(x) pára no máximo em f(|x|) passos} FatoI : Para f  DTime(f 3 ) FatoII : Para f  DTime(f(x/2)) Prova: Diagonalização Corolário I : DTime(f(n))  DTime(f(2n+1) 3 ) Corolário II : P  EXP

35 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Classes de Complexidade e algumas relações Def. PSpace =  DSpace(n i ) iNiN Def. NP =  NTime(n i ) iNiN Def. NPSpace =  NSpace(n i ) iNiN Def. Log = Space(log(n)) NLog = NSpace(log(n))

36 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler - DSpace(f(n))  NSpace(f(n)) e DTime(f(n))  NTime(f(n)) - NTime(f(n))  DSpace(f(n)) - NSpace(f(n))  DTime(k log n + f(n) ) - Alcançabilidade  Space(log 2 ) NSpace(f)  Space(f 2 ) (obs; Número de conf. + alcançabilidade) - número de nós alcançavel  Space(log) => NSpace(f) = coNSpace(f)

37 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler (parte) do que se sabe atualmente (desde 60’s) Log  NLog  P  NP  PSPACE = NPSPACE  EXP  NEXP Sabe-se que Log  PSPACE se P = NP então EXP = NEXP se Log = P então EXP = PSPACE

38 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler P : Encontra solução em tempo polinomial em MTD NP : Verifica solução em tempo polinomial em MTD CoNP : Verifica que não é solução, em tempo polinomia em MTD Sat  NP Taut  CoNP Obs: Se CoNP  NP então NP  P Verificação de ModelosProva de Teoremas

39 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Como SAT é NP-Completo então Taut é CoNP-Completo ===> Se existe um sistema dedutivo onde todas as provas tem tamanho polinomial em função do tamanho da conclusão, então CoNP = NP. Senão existe tal sistema então CoNP  NP e portanto NP  P. - Já se tentou técnicas de construção de modelos via “forcing” (funcionou com a hipótese generalizada do continum) mas a crença geral é que não funciona. ===> P = NP é um problema genuinamente matemático. ===> P = NP é um problema da ciência da computação. ===> P = NP é um problema genuinamente de fundamentação e lógica. - Técnicas de diagonalização e relativização (tradição lógico-matemática) tem sido extensivamente usadas no estudo de questões relacionadas a NP=P. ? ? ?

40 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler O Maior problema atual em Teoria da Computação é : P = NP ? O que isto tem a ver com jogos ?????? - Jogos e “quebra-cabeças” : PSPACE, EXP e NP-completos -Soluções para jogos (Equilíbrio de Nash p.ex.), estão em P??? (estratégias mistas com soma zero), NP-completos (estratégias puras) e EXP ? (estratégias mistas para jogos em geral)

41 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Sokoban é PSPACE-completo Damas é EXP-completo Em Geral (versões infinitas) Xadrez é EXP-completo Clickomania é NP-completo 15-p é P (existência de solução) e NP-completo (melhor sol.)  A Teoria de Complexidade adequada para o estudo das versões finitas é a Teoria de complexidade estrutural ou de Kolmogorov

42 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler O jogo de Geografia é PSPACE-completo  Lógica Proposicional Intuicionista é PSPACE-completa (Statman 1977) Prova: A sentenças válidas intuicionisticamente podem ser caracterizadas como sendo aquelas que possuem estratégia vencedora para o jogador que começa o seu jogo dialógico. (Haeusler 2004)

43 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Muito Obrigado pela audiência !!!! Conclusão Complexidade Computacional Matemática Fundamentação e Lógica Engenharia Teoria dos Jogos Economia

44 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Um Pouco de História sobre Teoria dos Jogos e Xadrez Zermelo 1913 – Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels 5o Congresso de Matemáticos (Cambridge). König 1927 – Über eine Schulussweise aus dem Endlichen ins Unendliche. Acta Sci. Math. Kalmár 1928 – Zur Theorie der abstrakten Spiele. Acta Sci Math. Von Neumann 1928 – Zur Theorie der Gesellschaftsspiele. Mathematische Annalen Caracterizam o conceito de posição ganhadora Caracteriza a interação entre as estratégias dos jogadores 1 1- Jogo de Informação Perfeita Utiliza indução transfinita

45 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Teorema de Zermelo “Em um jogo de Xadrez, dado que um jogador está em uma posição vencedora quantos movimentos levará para que ele ganhe ??” ==> Não mais que o número de posições do jogo (estados do tabuleiro). O que é uma posição vencedora ?? q q1 q2q3 U r (q) =  r U r (q) =  U r (q) U pode forçar uma vitória em no máximo r movimentos se e somente se U r (q) 

46 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler König estende o teorema de Zermelo Lema: Toda árvore infinita finitamente gerada possui um ramo infinito. => Se não há limite (número de passos) para uma posição vencedora então esta não é vencedora, pois em cada posição só há um número finito de movimentos para o adversário. Kalmár e a determinância de jogos assemelhados ao Xadrez Satz III: Em qualquer jogo J potencialmente infinito assemelhado ao Xadrez, se O jogador A não pode forçar a vitória então o jogador B garante pelo menos o empate Corolário: No Xadrez infinito ou as brancas tem uma estratégia vencedora, ou as pretas tem uma estratégia vencedora ou ambas podem garantir o empate. O jogo tem valor, é determinado.

47 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler Nash 1950, Kuhn 1953 Teorema: Todo jogo finito com informação perfeita, de n jogadores, tem um ponto de equilíbrio. Prova: Por indução todo jogo com menos que m nós possui um ponto de equilíbrio r m nós 11 ii kk Se r é um nó chance, então combine todos pontos de equilíbrio dos subjogos  i ; Senão o ponto de equilíbrio para r é maximizar os pontos de equilíbrio de cada um dos jogadores com relação ao subjogos  i Prog. Din., MinMax

48 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 48 Daniel Bernouli 1753 u(x,t) = F(x+ct)+G(x-ct) D’Alembert Euler 1748 u xt u t (x,0) = g(x) e u(x,0) = f(x) u(x,t) = 2  0  (sin n  y sin n  x cos n  ct )f(y)dy + 2  0 (1/n)  (sin n  y sin n  x sin n  ct )g(y)dy Lagrange 1759 Equação da onda

49 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 49 Equação do calor u(0,t) = u(L,t) = 0 u(x,0) = f(x) u(x,t) =  c n e -n  Kt/L sin(n  x/L) n=1  f(x) =  c n sin(n  x/L) n=1  c n = (2/L)  f(x) sin(n  x/L)dx 0 L Fourier 1811 ==> Toda “função” tem expansão em série de senos ????? L Dirichlet (1829,1837) + Fund. Análise (Bolzano, Cauchy, Weierstrass) + Riemann (def. integral, 1900’s)

50 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler A Máquina de Turing - Modelo determinístico q  q’ ’ - Modelo multi-cabeça (determinístico)  i1  i2  ik q i1 q i2 q ik

51 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler M. Turing modelo multi-fita (determinístico) q i1  i1 q ik q i2 1 2 k ikik i2i2

52 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler A Máquina de Turing (cont.) - Modelo não-determinístico q  q1  q2  q3  q11  q12  q13  

53 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

54 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

55 TECMFJan/2004 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler QSAT é PSPACE-completo  p  p pode ser expresso como  x(x)  x( q  x) expressa  q -Codifica-se os estados globais de M em strings de p(w) bits  EG M (x 1,x 2,...,x P(n) ) descreve um estado global  QSAT está em PSPACE  Codifica-se a execução de um passo da computação de M como Passo M (x,y), onde EG M (x) e EG M (y)  Para qualquer MTD M que decide um problema usando espaço p(|w|)  Codifica-se estado global final (aceitação) Final M (x)  Predicado para computação global. Evolui M (x,y) = Passo M (x,y)   z(Evolui M (x,z)  Evolui M (z,y))  Fórmula associada a aceitação de w por M Aceita M (w) = EG M (w)   z(Evolui M (w,z)  Final M (z)) Descubra como diminiur o tamanho de para não ser Exponencial


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