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Fractais II José Garcia Vivas Miranda. 2º Dia  Perfis Fractais;  Simulação;  Caracterização.  Superfícies Fractais;  Isotropia;  Homogeneidade.

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1 Fractais II José Garcia Vivas Miranda

2 2º Dia  Perfis Fractais;  Simulação;  Caracterização.  Superfícies Fractais;  Isotropia;  Homogeneidade.  Sistemas dinâmicos;  Autômatas;  Jogo da Vida.

3 Perfis fractais  Autosimilaridade  Autoafinidade Conceitos

4 Perfis fractais  BM  FBM  Weirstrass  Modelos de crescimento SIMULAÇÃO

5 Perfis fractais SIMULAÇÃO BM - Movimento Browniano (Brownian Motion)  Origem do pólen  Exemplo do bêbado

6 Autoafinidade O movimento Browniano (modelo de Wiener )

7 Autoafinidade O movimento Browniano

8 Autoafinidade O movimento Browniano

9 Perfis fractais SIMULAÇÃO BM - Movimento Browniano (Brownian Motion)  Probabilidade e o MB 36 possibilidades A probabilidade de obtermos uma face de um dado (ou seja um evento) é de 1/6. Se considerarmos a possibilidade de duas faces serem possíveis (ex. 5 ou 6) a probabilidade será de 2 x (1/6) = 1/3. Em duas jogadas consecutivas, sendo cada jogada um evento independente as possibilidades serão: 1ª Jogada 2ª Jogada Para que o evento (1,4) ocorra, a probabilidade será de 1/36, ou seja, o produto das probabilidades de cada evento independente 1/6 x 1/6 = 1/36. Qual a probabilidade de obtermos a face 4 na primeira jogada e a face 5 ou 6 na segunda? R.: 1/6 x 2 x 1/6 = 2/36

10 Perfis fractais SIMULAÇÃO BM - Movimento Browniano (Brownian Motion)  Probabilidade e o MB f(m) m 1º caminho2º caminho3º caminho o número de caminhos possíveis após N passos sendo N1 para esquerda e N2 para direita será a probabilidade de uma seqüência de N passos, com N1 à esquerda e N2 à direita será a probabilidade associada a um grupo de passos N1, N2 será dada por

11 Perfis fractais SIMULAÇÃO BM - Movimento Browniano (Brownian Motion)  Probabilidade e o MB a probabilidade associada a um grupo de passos N1, N2 será dada por

12 Perfis fractais SIMULAÇÃO BM - Movimento Browniano (Brownian Motion)  Programa para simulação #include void help(); void main(int argc, char **argv) { int i,fim,eve,t; double brw=0.0,passo,mmax; if(argc!=3) { help(); exit(0); } fim=atoi(argv[1]); eve=atoi(argv[2]); mmax= ; for(i=1;i<=fim;i++){ passo=0.0; for(t=1;t<=eve;t++)passo+=((double)rand()/mmax); printf("%d %f \n",i,brw+=(passo/eve-0.5)); } void help() { fprintf(stderr,"usage: wngA {No.de linhas} {No.de eventos}\n");}

13 Perfis fractais SIMULAÇÃO FBM Movimento Browniano Fracionário (Fractional Brownian Motion)  D = 2-H  Conceito de persistência.

14 Perfis fractais SIMULAÇÃO FBM Algoritmo “ midpoint displacement”

15 A função de Weirstrass Perfis fractais SIMULAÇÃO

16 /* melhor resultados com um SH=0.60 */ #include double b,h,soma,f,arg; double x,i,SH,passo; unsigned long np; int n; double mincx,mincy,maxt; void help(void); void main(int argc, char **argv) { if(argc!=4){ help(); exit(0);} np=(unsigned long) atoi(argv[1]); SH=(double) atof(argv[3]); passo=0.01/(double)(np); b=2.1; h=atof(argv[2]); for (x=SH;x<=(SH+((np+1)*passo));x+=passo){ soma=0.0; for (n=-30;n<=30;n++){ arg=(pow(b,n)*x)* ; f=(1.00-cos(arg))/pow(b,(double)(n)*h); soma=soma+f;} printf("%le %le\n",x,soma);} } void help() { fprintf(stderr,"usage: wei {No.Points} { H } {Shift}\n");} Weirstrass:código Perfis fractais SIMULAÇÃO

17 SOS SOS com difusão DLA Modelos de Crescimento Perfis fractais SIMULAÇÃO

18 TÓPICOS  Perfis Fractais;  Simulação;  Caracterização.  Superfícies Fractais;  Isotropia;  Homogeneidade.  Sistemas dinâmicos;  Autômatas;  Jogo da Vida.

19 Perfis fractais CARACTERIZAÇÃO Alguns métodos de cálculo dos índices fractais (para perfis) • Variação • Semivariograma • RMS • DFA •R/S • Tortuosidade • FFT Métodos variacionais

20 r max-min Altura Z i (mm) Distanciai (mm) Método da variação máximo-mínimo Dubuc et al (1989) Perfis fractais

21 Método RMS Moreira at al (1993) Perfis fractais

22 Método DFA Moreira at al (1994) r f(x) Altura Z i (mm) Distanciai (mm) Perfis fractais

23 Método do Semivariograma. Armstrong (1986) Onde l  Crossover Length

24 Perfis fractais Semivariogramas típicos H  Persistência

25 De forma que: H  Relação entre escalas l  Escala característica. (  sem l é como um mapa sem a legenda de escala) Perfis fractais

26 Prática Perfis fractais Cálculo de D para um perfil fractal simulado via Weirstrass - RMS - Semivariograma

27 TÓPICOS  Perfis Fractais;  Simulação;  Caracterização.  Superfícies Fractais;  Isotropia;  Homogeneidade.  Sistemas dinâmicos;  Autômatas;  Jogo da Vida.

28  Superfícies:  FBM.  Modelos de crescimento Superfícies fractais

29  Isotropia: Rosa de Hurst

30 Exemplo para uma superfície simulada Superfícies fractais  Homogeneidade:

31 TÓPICOS  Perfis Fractais;  Simulação;  Caracterização.  Superfícies Fractais;  Isotropia;  Homogeneidade.  Sistemas dinâmicos;  Autômatas;  Jogo da Vida.

32 Valores atuais : Valores futuros: Sistemas Dinâmicos Autômatas

33 Sistemas Dinâmicos Jogo da Vida  1 vizinho morre de solidão;  4, ou mais, vizinhos morre de superlotação;  3 vizinhos nasce;  Qualquer outra configuração se mantém. Raio de vizinhança.

34 Dever de casa Sistemas Dinâmicos Buscar uma série temporal e calcular D para ela!


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