第二章 控制系统的数学描述 第一节 控制系统的数学模型 第二节 常微分方程的数值解法. 第一节 控制系统的数学模型 控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着 相当重要的地位，要对系统进行仿真处理，首 先应当知道系统的数学模型，然后才可以对系 统进行模拟。同样，如果知道了系统的模型， 才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使.

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1 第二章 控制系统的数学描述 第一节 控制系统的数学模型 第二节 常微分方程的数值解法

2 第一节 控制系统的数学模型 控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着 相当重要的地位，要对系统进行仿真处理，首 先应当知道系统的数学模型，然后才可以对系 统进行模拟。同样，如果知道了系统的模型， 才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使 得系统响应达到预期的效果，从而符合工程实 际的需要。

3 在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式 有：微分方程模型、传递函数模型（系统的外 部模型）、状态方程模型（系统的内部模型）、 零极点增益模型和部分分式模型等。这些模型 之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。 微分方程模型是控制系统模型的基础，一般来 讲，利用机械学、电学、力学等物理规律，便 可以得到控制系统的动态方程，这些方程对于 线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微 分方程。

4 1.1 控制系统数学模型的表示形式 微分方程形式 系统在 MATLAB 中可以方便地由输入和输出系数构成的 两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用 num 和 den 表示。 num=[b 1, b 2,…,b m, b m+1 ] den=[1, a 1, a 2,…, a n ]

5 传递函数形式 系统在 MATLAB 中可以方便地由分子和分母系 数 构成 的两个向量 唯一地确定出来，这两个向量分 别用 num 和 den 表示。 num=[b 1,b 2,…,b m,b m+1 ] den=[1,a 1,…,a n-1,a n ] 注意：它们都是按 s 的降幂进行排列的。 可见，微分方程形式的模型和传递函数模型是一致的

6 举例：传递函数描述 1 ） 》 num=[12,24,0,20];den=[2 4 6 2 2]; 2 ） 借助多项式乘法函数 conv 来处理： 》 num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6])); 》 den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1], [1,3,2,5]))));

7 零极点增益形式 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形 式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进 行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形 式。 在 MATLAB 中零极点增益模型用 [Z,P,K] 矢量组表示。 即： Z=[z 1,z 2,…,z m ] P=[p 1,p 2,...,p n ] K=[k]

8 部分分式形式 在 MATLAB 中部分分式模型用 [R,P,H] 矢量组表示。 即： R=[r 1,r 2,…,r n ] P=[p 1,p 2,...,p n ] H=[h 0,h 1,…,h]

9 状态方程形式 系统状态空间用（ A,B,C,D) 矩阵组表示

10 举例： 系统为一个两输入两输出系统 》 A=[1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14]; 》 B=[4 6; 2 4; 2 2; 1 0]; 》 C=[0 0 2 1; 8 0 2 2]; 》 D=zeros(2,2);

11 1.2 模型的转换与连接 模型转换的函数包括： residue ：传递函数模型与部分分式模型互换 ss2tf ： 状态空间模型转换为传递函数模型 ss2zp ： 状态空间模型转换为零极点增益模型 tf2ss ： 传递函数模型转换为状态空间模型 tf2zp ： 传递函数模型转换为零极点增益模型 zp2ss ： 零极点增益模型转换为状态空间模型 zp2tf ： 零极点增益模型转换为传递函数模型 1.2.1 模型的转换

12 状态空间 SS 传递函数 tf 零极点 ZP 极点留数 ss2tf tf2ss zp2ss ss2zp zp2tf tf2zp residue

13 用法举例： 1 ）部分分式展开： 》 num=[2,0,9,1]; 》 den=[1,1,4,4]; [r,p,k]=residue(num,den) 》 p= 0.0000+2.0000i 0.0000-2.0000i k= 2 r= 0.0000-0.2500i 0.0000+0.2500i -2.0000 结果表达式：

14 2 ）已知系统状态空间模型为： 》 A=[0 1; -1 -2]; B=[0;1]; 》 C=[1,3]; D=[1]; 》 [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu) ％ iu 用来指定第 n 个输入，当只有一个输入时可忽略。 》 num=1 5 2; den=1 2 1; 》 [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu) 》 z= -4.5616 p= -1 k=1 -0.4384 -1

15 3 ）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为： 》 num=[0 0 -2;0 -1 -5;1 2 0];den=[1 6 11 6]; 》 [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) 》 A= -6 -11 -6 B= 1 C= 0 0 -2 D= 0 1 0 0 0 0 -1 -5 0 0 1 0 0 1 2 0 0

16 4 ）系统的零极点增益模型： 》 z=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6; 》 [num,den]=zp2tf(z,p,k) 》 num= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10 》 [a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k) 》 a= -1.0000 0 0 b=1 2.0000 -7.0000 -3.1623 1 0 3.1623 0 0 c= 0 0 1.8974 d=0 注意：零极点的输入可以写出行向量，也可以写出列 向量。

17 5 ）已知部分分式： 》 r=[-0.25i,0.25i,-2]; 》 p=[2i,-2i,-1];h=2; 》 [num,den]=residue(r,p,h) 》 num= 2 0 9 1 》 den= 1 1 4 4

18 1.2.2 模型的连接 (1) 并联： parallel [a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) ％并联连接两个状态空间系统。 [a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,inp2,out1,out2) ％ inp1 和 inp2 分别指定两系统中要连接在一起的输入端编号，从 u1,u2,…,un 依次编号为 1,2,…,n ； out1 和 out2 分别指定要作 相加的输出端编号，编号方式与输入类似。 inp1 和 inp2 既可 以是标量也可以是向量。 out1 和 out2 用法与之相同。如 inp1=1,inp2=3 表示系统 1 的第一个输入端与系统 2 的第三个输 入端相连接。 若 inp1=[1 3],inp2=[2 1] 则表示系统 1 的第一个输入与系统 2 的 第二个输入连接，以及系统 1 的第三个输入与系统 2 的第一个 输入连接。 [num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2) ％将并联连接的传递函数进行相加。

19 (2) 串联： series [a,b,c,d]=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) ％串联连接两个状态空间系统。 [a,b,c,d]=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,out1,in2) ％ out1 和 in2 分别指定系统 1 的部分输出和系统 2 的部分输 入进行连接。 [num,den]=series(num1,den1,num2,den2) ％将串联连接的传递函数进行相乘。

20 (3) 反馈： feedback [a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) ％将两个系统按反馈方式连接，一般而言，系统 1 为对象，系 统 2 为反馈控制器。 [a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,sign) ％系统 1 的所有输出连接到系统 2 的输入，系统 2 的所有输出 连接到系统 1 的输入， sign 用来指示系统 2 输出到系统 1 输入 的连接符号， sign 缺省时，默认为负，即 sign= -1 。总系统 的输入 / 输出数等同于系统 1 。 [a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,out1) ％部分反馈连接，将系统 1 的指定输出 out1 连接到系统 2 的输 入，系统 2 的输出连接到系统 1 的指定输入 inp1 ，以此构成 闭环系统。 [num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign) ％可以得到类似的连接，只是子系统和闭环系统均以传递函 数的形式表示。 sign 的含义与前述相同。

21 (4) 闭环： cloop （单位反馈） [ac,bc,cc,dc]=cloop(a,b,c,d,sign) ％通过将所有的输出反馈到输入，从而产生闭环系统的状 态空间模型。当 sign=1 时采用正反馈；当 sign= -1 时采 用负反馈； sign 缺省时，默认为负反馈。 [ac,bc,cc,dc]=cloop(a,b,c,d,outputs,inputs) ％表示将指定的输出 outputs 反馈到指定的输入 inputs ，以 此构成闭环系统的状态空间模型。一般为正反馈，形 成负反馈时应在 inputs 中采用负值。 [numc,denc]=cloop(num,den,sign) ％表示由传递函数表示的开环系统构成闭环系统， sign 意 义与上述相同。

22 第二节 常微分方程的数值解法 数字仿真就是对系统的数学模型即微分 方程求数值解的过程，常用的方法： 常微分方程数值解； 连续系统离散相似法

23 2.1 常微分方程数值解 设常微分方程： 求解微分方程满足初始条件的特解问题，即常微分方程的 初值问题。

24 使用数值解法求常微分方程的初值问题的方法： 离散点 t k (k=1,2,…n) ，为计算方便，通常假设 t 1 <t 2 <…<t n-1 <t n ；相邻两点的距离为步长，即 h=t k-1 -t k 求近似解是一步一步进行的，依据给定的 (t 0,y 0 ) 求 y 1 ，再由 (t 1,y 1 ) 求 y 2 ，然后求 y 3 ，称为步进法。 寻求数值解的方法，就是寻求由 y k 计算出 y k+1 （ K=0,1,…,n) 的递推公式，称为计算格式。

25 2.2 数值积分法 2.2.1 欧拉法 设 从微分的定义出发：取增量；求比值；取极限 当 足够小时，由差商代替微商：

26 整理得到： 将初始条件代入：

27 例：

28 t 00.10.20.31.0 精确解 10.90909090.83333330.76923070.5 数值解 10.90.8190.75190.4627810

29 欧拉法迭代公式 如何提高精度？

30 2.2.2 预估 - 校正法 先用欧拉法预估： 再用梯形公式校正： 将 简写 : 平均斜率

31 2.2.3 龙格 - 库塔法 四阶龙格库塔法迭代公式：

32 2.2.4 关于数值积分法的几点说明 单步法和多步法 显式和隐式 稳定性

33 2.2.5 数值算法的应用 保证计算稳定 计算精度 关键：如何选择步长 如 RK-4: 如 RK-4 ，保证精度为 0.5%: 变步长积分 + 允许误差 误差估计 计算结果