Hidden Markov Models 2 de maio de 2006 1 2 K … 1 2 K … 1 2 K … … … … 1 2 K … x1x1 x2x2 x3x3 xKxK 2 1 K 2.

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1 Hidden Markov Models 2 de maio de 2006 1 2 K … 1 2 K … 1 2 K … … … … 1 2 K … x1x1 x2x2 x3x3 xKxK 2 1 K 2

2 Introdução ● Um cassino tem dois dados – Um dado honesto P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)= 1/6 – Um dado viciado P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=1/10 P(6)=1/2

3 Introdução ● O jogo: – Você aposta R$1 – Você joga seu dado (sempre com um dado honesto) – O jogador do cassino joga seu dado (talvez com um dado honesto, talvez com um dado viciado) – O número maior ganha R$2

4 O modelo do cassino desonesto HONESTOVICIADO 0.05 0.95 P(1|H) = 1/6 P(2|H) = 1/6 P(3|H) = 1/6 P(4|H) = 1/6 P(5|H) = 1/6 P(6|H) = 1/6 P(1|V) = 1/10 P(2|V) = 1/10 P(3|V) = 1/10 P(4|V) = 1/10 P(5|V) = 1/10 P(6|V) = 1/2

5 Pergunta #1: Avaliação ● Dada uma seqüência de jogadas de dado do cassino 124552646214614613613666166466163661636616361 6515615115146123562344 ● Quão verossímil é esta seqüência, dado nosso modelo de como a cassino funciona?

6 Pergunta #2: Decodificação ● Dada uma seqüência de jogadas de dado do cassino 124552646214614613613666166466163661636616361 6515615115146123562344 ● Qual parte da seqüência foi gerada com o dado honesto e qual parte foi gerada com o dado viciado?

7 Pergunta #3: Aprendizado ● Dada uma seqüência de jogadas de dado do cassino 124552646214614613613666166466163661636616361 6515615115146123562344 ● Quão honesto é o dado honesto e quão viciado é o dado viciado? Com que freqüência o cassino muda de honesto pra viciado e de viciado para honesto?

8 HMM-Hidden Markov Model ● Para responder a estes tipos de perguntas, criou-se um modelo probabilístico chamado HMM (Hidden Markov Model) ● Surgiu no campo do reconhecimento de voz ● Tem aplicações em várias áreas onde tem- se umas seqüência de símbolos e um padrão a ser achado. – Ex: seqüências de nucleotídeos ou de aminoácidos.

9 HMM-Definição Definição: Um modelo oculto de Markov (HMM) – Alfabeto  = { b 1, b 2, …, b M } – Conjunto de estados Q = { 1,..., K } – Probabilidades de transição entre quaisquer dois estados K 1 … 2

10 HMM-Definição a ij = probabilidade de transição do estado i para o estado j a i1 + … + a iK = 1, para todos os estados i = 1…K Probabilidades de entrada a 0i a 01 + … + a 0K = 1 Probabilidades de emissão dentro de cada estado e i (b) = P( x i = b |  i = k) e i (b 1 ) + … + e i (b M ) = 1, para todos os estados i = 1…K

11 O modelo do cassino desonesto HONESTO (1) VICIADO (2) a 12 =0.05 a 21 =0.05 a 22 =0.95 a 11 =0.9 5 e 1 (1) = 1/6 e 1 (2) = 1/6 e 1 (3) = 1/6 e 1 (4) = 1/6 e 1 (5) = 1/6 e 1 (6) = 1/6 e 2 (1) = 1/10 e 2 (3) = 1/10 e 2 (4) = 1/10 e 2 (5) = 1/10 e 2 (6) = 1/2

12 Um parse de uma seqüência 1 2 K … 1 2 K … 1 2 K … … … … 1 2 K … x1x1 x2x2 x3x3 xKxK 2 1 K 2 ● Dada uma seqüência X e um HMM, o número de possíveis seqüências de estados capazes de produzir X é da ordem de |Q| K ● Um parse de uma seqüência X de K símbolos é uma seqüência de estados  com tamanho K

13 Um parse de uma seqüência ● No modelo do cassino, com uma seqüência X=14126 de 5 jogadas  =(2,1,1,1,2) 1. Poderia haver |Q| k =2 5 =32 parses para esta seqüência 1 2 … 1 2 … 2 … … … … 1 2 … x1x1 x2x2 x3x3 xKxK 2 1 2 2 1 1

14 Um parse de uma seqüência ● Dado uma seqüência e um parse desta seqüência, é possível avaliar sua verossimilhança multiplicando as probabilidades de entrada, transição e emissão. ● X=14126 e  =(2,1,1,1,2) Likelihood= 1/2 x 1/10 x 0.05 x 1/6 x 0.95 x 1/6 x 0.95 x 1/6 x 0.05 x ½ = 2,6E-7 1 2 … 1 2 … 2 … … … … 1 2 … x1x1 x2x2 x3x3 xKxK 2 1 2 2 1 1

15 Um HMM não tem memória! A cada ponto no tempo, a única coisa que afeta os estados futuros é o estado atual  t P(  t+1 =k | “o que quer que tenha acontecido até então”) = P(  t+1 =k |  1,  2, …,  t, x 1, x 2, …, x t )= P(  t+1 =k |  t ) Há variações simples no modelo do HMM para levar em consideração dois ou mais estados anteriores

16 #1-Avaliação Dada uma seqüência x e um HMM M, P: Qual a probabilidade de que X tenha sido gerada pelo modelo? ( P(X) ) R: Soma das probabilidades de todos os parses que possam ter gerado X

17 #1-Avaliação P:Dada uma posição i, qual o estado mais provável que emitiu X i ? R: No exemplo do cassino, escolhemos o maior entre: Soma da probabilidade de todos os parses que possam ter gerado X dado que  i = Honesto e Soma da probabilidade de todos os parses que possam ter gerado X dado que  i = Viciado

18 #2-Decodificação P:Dada uma seqüência X e um HMM M, qual a seqüência de estados mais verossímil que gerou X? x = 12341623162616364616234161221341 R: Avalia-se, dentre todas as possíveis seqüências de estados, qual a mais verossímil.  = HHHHHHHHHVVVVVVVVVVHHHHHHHHHHHH

19 #3-Aprendizado P:Apenas observando X, como estimar os parâmetros de emissão e transição? R: Se temos um conjunto de treinamento, obtemos os parãmetros a partir deste conjunto. Se não temos um conjunto de treinamento, roda-se um algoritmo que: -Dá um chute inicial pra esses parâmetros -Avalia o quão bem os parâmetros predizem X -Refina os parâmetros -….repete o processo…

20 Aplicações em Biologia ● Encontrar ilhas CpG num genoma ● Encontrar domínios em proteínas (Banco PFAM) ● Encontrar genes ● Encontrar promotores

21 Ilhas CpG A+C+G+T+A-C-G-T- Ilha CpG Não ilha CpG

22 Ilhas CpG ● Parâmetros – Extraídos a partir da freqüência observada de dinucleotídeos num conjunto de treinamento +ACGT A.180.274.426.120 C.171.368.274.188 G.161.339.375.125 T.079.355.384.182 -ACGT A.300.205.285.210 C.233.298.078.302 G.248.246.298.208 T.177.239.292

23 Domínios de proteínas ● HMMER – possui ferramentas pra avaliar, decodificar e aprender os parâmetros de um HMM – Ex: O banco de domínios PFAM é gerado a partir de alinhamentos múltiplos de famílias de proteínas conhecidas é um banco de HMM’s

24 FIM