Física 1 Prof. Alessandre Sampaio Universidade do Estado do Pará – UEPA Centro de Ciências Sociais e Educação Curso de Licenciatura Plena em Ciências Naturais

Professor: Alessandre Física I Capítulo 5 – Força e Movimento I Aula 5 Professor: Alessandre

5.1 – Introdução: Isaac Newton (1642 – 1727) A obra prima de Newton: “Princípios Matemáticos de Filosofia Natural” ou simplesmente “Principia” (1687).

Sobre Isaac Newton foi dito.... 5.1 – Introdução: Sobre Isaac Newton foi dito.... “A Natureza e suas leis escondiam-se na escuridão da noite. Deus disse ‘Faça-se Newton!’ E tudo se iluminou” Alexander Pope (1688 – 1744)

5.1 – Introdução: Túmulo de Newton “Aqui jaz Sir Isaac Newton, Cavaleiro, aquele que com uma força mental quase divina, explorou o movimento dos planetas, a trajetória dos cometas, as marés do oceano, as diferentes refrações dos raios de luz e as propriedades das cores assim produzidas. (...) Que os mortais se regozijem por ter existido tamanho exemplar da raça humana! Nascido em 25 de dezembro de 1642 e morto em 20 de março de 1727.”

5.2 – Conceito de força: - Força: ¹ “Toda ação capaz de provocar variação na velocidade (aceleração) de um corpo” - “Ação capaz de deformar um corpo” ¹ Dicionário Aurélio Obs: Forças nem sempre causam movimento. Ex: A força gravitacional atuando em livro em cima de uma mesa... Exemplo de forças: Um corpo impulsionado que entra em movimento Uma corda que é deformada Um corpo que é atraído por outro mesmo a distância...

5.2 – Conceito de força: - Tipos de Força: Existem dois tipos de forças: Forças de contato e Forças de campo. Corpos dentro dos triângulos tracejados estão sujeitos a forças externas. a (c) – Forças de contato. (d) a (f) – Forças de campo.

- Força é uma grandeza vetorial: 5.2 – Conceito de força: - Força é uma grandeza vetorial: O efeito da aplicação da força F é equivalente ao efeito da aplicação de suas componentes F1 e F2 simultaneamente. O efeito da aplicação das forças F1 e F2 simultaneamente equivalem ao efeito de F1 somado ao efeito de F2 quando aplicadas em separado.

- Força é uma grandeza vetorial: 5.2 – Conceito de força: - Força é uma grandeza vetorial: Considerando sua componentes cartesianas. O efeito da aplicação da força F é equivalente ao efeito da aplicação de suas componentes Fx e Fy simultaneamente. Aplicação de F ao bloco. Aplicação de FX e FY ao bloco.

- Texto original da 1ª e 2ª Leis de Newton (1687): 5.3 – 1ª Lei de Newton: Princípio da Inércia - Texto original da 1ª e 2ª Leis de Newton (1687): Lex I: Corpos omno perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare. Lex II: Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

5.3 – 1ª Lei de Newton: Princípio da Inércia - 1ª Lei de Newton ou princípio da inércia: “Um corpo sobre o qual não atua nenhuma força resultante não pode ter sua condição de movimento alterada”. Se o corpo estiver em repouso, ele permanecerá em repouso. Se o corpo estiver em movimento com velocidade constante , ele permanecerá nesse estado de movimento. ∑F = 0

5.3 – 1ª Lei de Newton: - Acidente em Montparnasse (1895): Princípio da Inércia - Acidente em Montparnasse (1895): Estação de Montparnasse, Paris, 22 de outubro de 1895 – Um trem vindo Granville no canal da mancha, não consegue parar na estação, atravessa uma parede de 60 cm de espessura, e cai de uma altura de 10 m, na Praça de Rennes. A falha em um dos sistemas de freios fez com que a inércia do trem prevalecesse. A lei da inércia em ação

5.3 – 1ª Lei de Newton: Reprodução do acidente em Montparnasse: Princípio da Inércia Reprodução do acidente em Montparnasse: Original Mundo a Vapor, Canela – RS.

5.3 – 1ª Lei de Newton: Efeito dramático da Inércia: Engavetamento Princípio da Inércia Efeito dramático da Inércia: Engavetamento http://www.youtube.com/watch?v=_iHfgAPnjUc

5.3 – 1ª Lei de Newton: Efeito dramático da Inércia: Parada brusca Princípio da Inércia Efeito dramático da Inércia: Parada brusca http://www.youtube.com/watch?v=x4TI3v5Hs&feature=&p=C66E7977B8453E4B&index=0&playnext=1

5.3 – 1ª Lei de Newton: - Sistema de referencial inercial: Princípio da Inércia - Sistema de referencial inercial: A primeira lei de Newton não se aplica a todos os referenciais, mas podemos sempre encontrar referenciais nos quais essa lei é verdadeira. Esses referenciais são chamados de referenciais inerciais. Referencial inercial é um referencial para o qual as leis de newton são válidas, podemos dizer também que um referencial inercial é um referencial não acelerado. Obs: Qualquer referencial que se move com velocidade constante em relação a um referencial inercial também é um referencial inercial. Obs2: As leis da Mecânica de Newton somente são validas para sistemas observados por referenciais inerciais.

5.4 – 2ª Lei de Newton: Princípio fundamental da dinâmica - Construção da 2ª lei: A aceleração é proporcional a força resultante: Uma força F provoca uma aceleração a quando aplicada a um certo corpo. Dobrando-se a força, a aceleração será multiplicada por dois. Dividindo-se a força por dois, a aceleração também será reduzida à metade.

5.4 – 2ª Lei de Newton: Princípio fundamental da dinâmica - Construção da 2ª lei: A aceleração é inversamente proporcional a massa. Uma certa força provoca uma aceleração a1 num corpo de massa m1. A mesma força provoca uma aceleração a2 < a1 num corpo de massa m2 > m1 A mesma força provoca uma aceleração a3 < a2 < a1 num corpo de massa m3 (= m1 + m2) > m2 > m1.

FR 5.4 – 2ª Lei de Newton: - Enunciado da 2ª lei: Princípio fundamental da dinâmica - Enunciado da 2ª lei: O vetor força resultante é igual ao produto da massa do corpo pelo vetor aceleração do corpo. Obs: Quando se fala força resultante, estamos falando da somatória das forças que atuam em um determinado corpo (soma vetorial). F4 F3 Obs: Quando uma força resultante externa atua sobre um corpo, ele acelera. F2 𝑭𝑹 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 + 𝑭𝟑 + 𝑭𝟒 Obs2: A aceleração possui a mesma direção e o mesmo sentido da força resultante. FR F1 𝑭𝑹 = 𝑭 =𝒎. 𝒂

5.4 – 2ª Lei de Newton: Princípio fundamental da dinâmica A segunda lei de Newton é uma equação vetorial, portanto, podemos usar três equações equivalentes a ela, sendo equações de cada componente ortogonal. X Z Y Unidade de Força SI F N 1 N = 1 kg.m/s2 ≈ ¼ lb

5.4 – 2ª Lei de Newton: - Exemplo 1: Princípio fundamental da dinâmica - Exemplo 1: Um disco de Hockey tem massa de 0,30 kg e desliza em uma superfície de gelo horizontal e sem atrito. Duas forças atuam no disco, como mostra a figura. A força F1 tem magnitude de 5 N e a força F2 tem magnitude de 8 N. Determine a magnitude e a direção da aceleração do disco.

5.4 – 2ª Lei de Newton: - Solução: Princípio fundamental da dinâmica - Solução: Vamos primeiramente calcular a força resultante nas direções x e y para podermos achar a aceleração em x e y, afinal a aceleração tem mesma direção e sentido da força resultante. A força resultante na direção x: A força resultante na direção y:

5.4 – 2ª Lei de Newton: - Solução: Princípio fundamental da dinâmica - Solução: Agora nós usaremos a 2ª lei de Newton na forma das componentes, para encontrar as componentes da aceleração em x e y. A aceleração tem magnitude: E a direção em relação ao eixo x é:

5.4 – 2ª Lei de Newton: - Exemplo 2: Princípio fundamental da dinâmica - Exemplo 2: Um corpo de massa m sofre a ação de duas forças F1 e F2, como mostra a figura. Se m = 5,2 kg, F1 = 3,7 N e F2 = 4,3 N, ache o vetor aceleração do corpo.

5.4 – 2ª Lei de Newton: Princípio fundamental da dinâmica - Solução:

5.4 – 2ª Lei de Newton: - Força Gravitacional e Peso: Princípio fundamental da dinâmica - Força Gravitacional e Peso: O Peso ou Força gravitacional corresponde a força de atração exercida pela Terra sobre um determinado corpo. Um corpo que cai livremente experimenta uma aceleração g que age na direção do centro da Terra. Aplicando a segunda lei de Newton para o corpo de massa m caindo livremente com aceleração g, sendo ∑ F = P, temos: Obs: A massa de um corpo corresponde a quantidade de matéria que o mesmo possui e caracteriza a propriedade de inércia do corpo.

5.4 – 2ª Lei de Newton: - Variação de g com o local: Princípio fundamental da dinâmica - Variação de g com o local: A aceleração da gravidade na Terra e na Lua. Um corpo de massa 1 kg na Terra pesa 9,8 N, na Lua pesa 1,6 N.

5.4 – 2ª Lei de Newton: Princípio fundamental da dinâmica

5.4 – 2ª Lei de Newton: Princípio fundamental da dinâmica

F12 = - F21 5.5 – 3ª Lei de Newton: - Enunciado da 3ª lei: Princípio da ação e reação - Enunciado da 3ª lei: Quando um corpo 1 exerce uma força sobre um corpo 2 (ação), então o corpo 2 exerce uma força sobre o corpo 1 (reação), de mesma intensidade, mesma direção, porém sentidos contrários. F12 = - F21 Obs: As forças de ação e reação atuam em corpos diferentes.

5.5 – 3ª Lei de Newton: - Forças de ação e reação: F12 = - F21 Princípio da ação e reação - Forças de ação e reação: Fhn = - Fnh F12 = - F21

5.5 – 3ª Lei de Newton: - Forças de ação e reação: FB/A = - FA/B Princípio da ação e reação - Forças de ação e reação: FB/A = - FA/B

5.6 – Forças especiais: - Forças Peso e Força Normal: Imaginemos uma TV em cima de uma mesa, ela está sujeita a Força gravitacional Fg, que é direcionada, como sabemos, para o centro da Terra. Então porque a TV não acelerada na direção de Fg?, a tv não acelera porque a mesa a mantém. Na verdade a mesa exerce sobre a TV uma força FN (ou simplesmente n) chamada Força Normal. A Força Normal é uma força de contato que impede que a TV caia da mesa e pode ter qualquer magnitude necessária para balancear a força gravitacional Fg direcionada para baixo, até ao ponto de quebrar a mesa.

5.6 – Forças especiais: - Forças Peso e Força Normal: Sabemos que um par de forças ação e reação sempre atuam em corpos diferentes. Portanto, para a TV na figura, a Força Gravitacional Fg e a Força Normal FN não formam um par ação e reação, pois atuam no mesmo corpo. Nesse caso, as reações a FN e Fg são F’N e F’g, exercida pela TV na mesa e pela TV no planeta, respectivamente.

5.6 – Forças especiais: - Forças de tração em fios: Quando uma corda (ou um fio, cabo ou outro objeto do mesmo tipo) é presa a um corpo e esticada aplica ao corpo um força T orientada ao longo da corda, essa força é chamada de força de tração, onde a tensão da corda é o módulo de T. Consideraremos as cordas sem massa e inextensíveis.

5.6 – Forças especiais: - Forças de atrito: Quando empurramos ou tentamos empurrar um corpo sobre uma superfície, a interação dos átomos do corpo com os átomos da superfície faz com que haja uma resistência ao movimento. A resistência é considerada como uma única força 𝑓 , que recebe o nome de força de atrito. Discutiremos as propriedades das forças de atrito no próximo capítulo.

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: - Diagrama do corpo livre (Forças externas): Agora nós aplicaremos as leis de Newton para corpos que estejam em equilíbrio (a = 0) ou acelerando ao longo da linha de ação de uma força externa constante. Assumiremos que os corpos se comportarão como partículas, assim não precisaremos trabalhar com problemas de rotação. Negligenciaremos os efeitos de atrito nos problemas envolvendo movimentos, e finalmente nós desprezaremos as massas de qualquer fios e cabos envolvidos, assim como, forças internas em todos os pontos dos fios. Neste momento, na aplicação das leis de Newton em corpos, estaremos interessados somente em forças externas que atuam em objetos (diagrama do corpo livre). *Diagrama do corpo livre é o esboço que mostra todas as forças externas que agem num corpo.

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: - Diagrama do corpo livre (Forças externas): Passos para solução de problemas: 1 – Análise da configuração espacial do problema (se a superfície de apoio é plana ou inclinada, com atrito ou sem atrito; ou se existe de fato superfície de apoio). 2 – Identificação das forças externas que atuam no sistema ou corpo (considerando sempre os contatos com a superfície e os contatos pela 3ª lei de Newton). 3 – Esboço das forças externas e suas respectivas componentes ortogonais (diagrama do corpo livre). 4 – Aplicação da 2ª lei de Newton para explicitar a variável desejada. 𝐹𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 +…+ 𝐹𝑛 =𝑚. 𝑎 𝐹𝑥=𝑚.𝑎𝑥 ; 𝐹𝑦=𝑚.𝑎𝑦 ; 𝐹𝑧=𝑚.𝑎𝑧

Fazendo o diagrama do corpo livre 5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: - Diagrama do corpo livre (Forças externas): Caso 1 – Força de Tração (gerando aceleração no sistema): Quando uma corda (fio, cabo...) está presa em um objeto, e está puxando o objeto. A corda exerce uma força T no objeto, e a magnitude da força é chamada de Tensão na corda. Fazendo o diagrama do corpo livre A construção correta do diagrama do corpo livre é um passo importante para aplicação das leis de Newton.

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: Como a força normal tende a equilibrar a força peso, a somatória das forças ∑FY na vertical é nula. Assim podemos aplicar a segunda lei de Newton na forma das componentes para a caixa somente na direção x (∑FX=maX). Como a única força que tua na direção x é T, temos: Se T é constante, a aceleração a também será constante. Assim podemos aplicar as equações da cinemática (para a constante) para obter o deslocamento e a velocidade da caixa como função do tempo.

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: Para 1D as equações podem ser escritas: Onde: Constante Obs: É importante ressaltar que as forças são vetores, portanto, temos que considerar as orientações dos eixos x e y, o que vai caracterizar o sinal da grandeza quando aplicarmos a segunda lei de Newton.

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: Exemplo 3 – Uma caixa de 200 kg em repouso é puxada por uma corda com uma força de 10 N. Calcule a aceleração adquirida pela caixa, a velocidade e o deslocamento após 5 s. Solução: Como a única força que tua na direção x é T, temos: Dados: T = 10 N m = 200 kg t = 5 s

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: - Diagrama do corpo livre: Caso 2 – Força de Tração (Sem gerar aceleração – Equilíbrio): Consideremos uma luminária suspensa por um fio, sujeita a força gravitacional para baixo e a tensão para cima equilibrando. Construindo o diagrama do corpo livre, é fácil ver que não existem forças na direção x e que a luminária está em equilíbrio, ou seja, aplicando a 2ª lei de Newton ∑FY = maY = 0, temos: Note que T e Fg não formam um par ação e reação, pois atuam no mesmo corpo.

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: Exemplo 4 (Problema 91) – A figura mostra um móbile pendurado no teto; ele é composto por duas peças de metal (m1 = 3,5 kg, m2 = 4,5 kg), ligadas por cordas de massa desprezível. Qual a tensão: (a) na corda de baixo; (b) na corda de cima? Solução: É fácil ver que não existem forças na direção x e que o móbile está em equilíbrio, ou seja, aplicando a 2ª lei de Newton ∑FY1 = maY1 = 0 ; ∑FY2 = maY2 = 0, temos: Dados: m1 = 3,5 kg m2 = 4,5 kg g = 9,8 m/s2.

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: Dados: m1 = 3,5 kg m2 = 4,5 kg g = 9,8 m/s2. 5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: Solução: Calculando os pesos:

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: - Exemplo 2: Um sinal de trânsito de peso 125 N preso por um cabo fixado a dois outros cabos a um suporte. Os cabos superiores formam um ângulos com a horizontal de 37° e 53° respectivamente, como mostra a figura. Encontre a tensão nos três cabos.

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: - Solução: Sabendo que o sistema está em equilíbrio, ou seja, a resultante das forças no sinal é nula. Fazendo o diagrama do corpo livre, tanto para o sinal, quanto para o sistema de cabos no nó, temos: É fácil ver que a tensão T3 suporta na vertical o sinal e consequentemente equilibra o peso do mesmo, logo, T3 = Fg = 125 N. Como queremos as tensões nos três cabos, temos que decompor as tensões no nó em relação aos eixos. Força Componente x Componente y

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: - Solução: Fazendo as resultantes para ∑FX e ∑FY , temos: Resolvendo o sistema, podemos isolar T1 ou T2. Substituindo o valor de T2 em função de T1 na equação parcial em y.

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: Caso 3 – Força de Tração (Máquina de Atwood): Quando dois objetos de massas diferentes estão pendurados verticalmente através de fios ideais (despreza-se o atrito com a polia e a massa do fio). Chamamos essa configuração de máquina de Atwood. Neste exemplo estamos interessados em encontrar a magnitude da aceleração adquirida pelos corpos e a tensão na corda. Construindo o diagrama do corpo livre, é fácil ver que não existem forças na direção x e que os corpos terão acelerações de sentidos contrários, ou seja, a1 = -a2, (a1 = ayj e a2 = -ayj) Aplicando a 2ª lei de Newton ∑FY = maY , para cada corpo, temos: Corpo 1 Corpo 2

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: Isolando a tensão T para ambos os corpos, teremos: Igualamos as duas equações e resolvendo para a, temos o módulo: Obs.: Quando as massas são iguais (m1 = m2) as acelerações serão nulas para ambos os corpos, ou seja, a1 = a2 = 0.

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: Exemplo 5 (Problema 55) – A figura mostra um bloco ligados por uma corda (de massa desprezível) que passa por uma polia sem atrito (também de massa desprezível). Sendo m1 = 1,3 kg e m2 = 2,8 kg. Quais são (a) O módulo da aceleração dos blocos e (b) a tensão na corda? Solução: Fazendo a resultante das forças em x e y, para o corpo 1 e o corpo 2: Dados: m1 = 3,5 kg m2 = 4,5 kg g = 9,8 m/s2.

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: Solução: Substituindo os valores na expressão da aceleração: Dados: m1 = 3,5 kg m2 = 4,5 kg g = 9,8 m/s2.

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: Caso 4 – Força de Tração (Meia Máquina de Atwood): Agora um dos objetos está pendurado verticalmente através de um fio ideal e o outro apoiado na superfície. Neste exemplo estamos interessados em encontrar a magnitude da aceleração adquirida pelos corpos e a tensão na corda. Construindo o diagrama do corpo livre, observamos que para o bloco 1 as forças normal e peso se cancelam, então levaremos em consideração somente as forças na direção x. Enquanto que para o bloco 2 temos forças somente na vertical. Aplicando a 2ª lei de Newton para cada corpo, temos: Obs: Os módulos das acelerações para cada corpo são iguais. Assim temos os vetores: a1 = axi e a2= -ayj Corpo 1 Corpo 2

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: Isolando a tensão T para ambos os corpos, teremos: Igualamos as duas equações e resolvendo para a, temos o módulo:

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: Exemplo 6 (Problema 54) – Na figura três caixas são conectadas por cordas, uma das quais passa por uma polia de atrito e massa desprezíveis. As massas são mA = 30 kg, mB = 40 kg e mC = 10 kg. Quando o conjunto é liberado a partir do repouso, (a) Qual é a tensão da corda que liga B a C; (b) que distância A percorre nos primeiros 0,25 s? Solução: Fazendo a resultante das forças em x e y, para o corpo A, B e C: Dados: mA = 30 kg mB = 40 kg mC = 10 kg t = 0,25 s

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: Eliminando as tensões, ficando em função somente de a, g e as massas: Dados: mA = 30 kg mB = 40 kg mC = 10 kg t = 0,25 s

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: Isolando a tensão T2: Dados: mA = 30 kg mB = 40 kg mC = 10 kg t = 0,25 s b) Calculando o deslocamento horizontal de mA:

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: Caso 5 – Plano inclinado: O exemplo consiste num bloco m, sobre uma plano inclinado a um ângulo Ө, sem atrito. Neste exemplo estamos interessados em encontrar a magnitude da aceleração adquirida pelo bloco. Construindo o diagrama do corpo livre, considerando o eixo x coincidente com a superfície, observamos que a força normal e a componente vertical do peso se cancelam, sendo o movimento somente no eixo x. Aplicando a 2ª lei de Newton para o bloco, temos:

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: Isolando a aceleração, teremos: Observe que a aceleração é independente da massa do bloco, dependendo somente do ângulo de inclinação e da gravidade. Podemos usar as equações da cinemática para calcular o módulo do deslocamento (d) percorrido pelo bloco e a velocidade final adquirida. Sabendo que x – x0 = d e que a velocidade inicial é zero temos:

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: Podemos também isolar o tempo: Usando a equação de Torricelli encontramos a velocidade final independente do tempo:

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: Exemplo 7 (Problema 19) – Na figura, a massa do bloco é 8,5 kg e o ângulo e Ɵ = 30°. Determine (a) a tensão na corda; (b) a força normal que age sobre o bloco e (c) determine o módulo da aceleração do bloco se a corda for cortada. Solução: Fazendo a resultante das forças em x e y, para o corpo de massa m: Dados: m = 8,5 kg

5.6 – algumas aplicações das Leis de Newton: Solução: Fazendo a resultante das forças em x e y, para o corpo de massa m: Dados: m = 8,5 kg Quando a corda é cortada a T = 0, assim: