Física da Computação e da Informação Ivan S. Oliveira & Roberto S. Sarthour Grupo de Computação Quântica por RMN

Bibliografia Quantum Computation and Quantum Information, M.A. Nielsen e I.L. Chuang (Cambridge Press 2002) The Physics of Quantum Information, D. Bouwmeester, A. Ekert e A. Zeilinger (Springer 2001) Explorations in Quantum Computing, C.P. Williams e S.H. Clearwater (Springer & Telos 1998) Feynman Lectures on Computation

Breve Histórico 1854 – George Boole - “An investigation into the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities”. 1938 – Claude Shannon – “A symbolic analysis of relay and switching circuits”. 1936 – Alan Turing – “On computable numbers, with an application to the entscheidungsproblem”. 1948 – Claude Shannon – “A mathematical theory of communication”

Tecnologia Revolucionária

Computação “Matemática” 1928 – David Hilbert – “Existe algum procedimento puramente “mecânico” capaz de resolver qualquer problema matemático?” 1936 – Turing – “Sim, existe. Uma Máquina de Turing!” Um computador moderno é uma realização física de uma máquina de Turing. Não há nenhum problema conhecido que seja solucionável em um computador real, e que não possa ser resolvido em uma máquina de Turing! Máquinas de Turing Uma fita infinita, dividida em células; Uma cabeça de leitura e gravação; Um conjunto de símbolos que formam um alfabeto; Um conjunto de instruções que especificam as ações e os estados da máquina. 1

Quanto é 3 + 5? Estados da máquina Ação para leitura = * Alfabeto: {*, <espaço>} Representação: 3 = ***, 5 = ***** Entrada: *** ***** Resultado = ******** = 8 Estados da máquina Ação para leitura = * Ação para leitura = esp. 1 MOVER PARA A DIREITA. PERMANECER EM 1 ESCREVA * E VÁ PARA 2 2 MOVER PARA A DIREITA. PERMANECER EM 2 VOLTAR UMA CÉLULA E IR PARA 3. 3 APAGAR E PARAR

Chaves (ou portas) Lógicas RESULTADO IMPORTANTE: QUALQUER AÇÃO COMPUTACIONAL PODE SER CONSTRUÍDA A PARTIR DE UM CONJUNTO UNIVERSAL DE CHAVES LÓGICAS! CONTROLE ALVO SAÍDA 1 AND, OR e NOT formam um conjunto universal de chaves lógicas. NAND (sozinha) forma outro conjunto. CONTROLE SAÍDA ALVO

Chaves lógicas - 2 MEIO-SOMADOR SOMADOR INTEIRO

Termodinâmica, Estatística e Conhecimento “Durante muito tempo a computação foi considerada uma área da matemática pura. Porém, computadores são objetos físicos e consequentemente estão sujeitos às leis da Física. São as leis da Física que dizem o que computadores podem ou não fazer, e não regras matemáticas.” David Deutsch

Estatística de 4 Moedas 4/16 = 1/4 4/16 = 1/4 6/16 = 3/8 1/16 1/16

Informação e Entropia Entropia é a grandeza física ligada à informação. Definição de Shannon: Para o caso das moedas: Este número é a quantificação da ignorância!

Se a moeda for tendenciosa: Exemplo... Entropia associada a um jogo de cara-ou-coroa com uma moeda não-viciada: Se a moeda for tendenciosa:

Entropias e mais Entropias Sejam X e Y variáveis aleatórias com distribuição de probabilidades p(x,y). Define-se a entropia conjunta de X e Y como: A entropia conjunta mede a incerteza sobre o par (X,Y). Se S(Y) é a entropia relacio- nada somente à Y, define-se a entropia condicional S(X|Y) como: Medida da informação sobre X, condicio- nada à informação sobre Y. E a informação mútua S(X:Y) : Medida da informação comum a X e Y.

Propriedades e mais Propriedades A informação comum a X e Y não pode ser maior do que a informação sobre Y (ou X). A incerteza sobre X não pode superar a incerteza sobre X e Y. A desinformação sobre o par não pode superar a soma das desinformações individuais. Consequentemente:

Termodinâmica e Entropia Entropia é a grandeza física ligada à desordem. Entropia alta Entropia baixa

Reversibilidade e Entropia Entropia é a grandeza física ligada à reversibilidade e fluxo de calor. TA DQ TB

O aumento de entropia corresponde à perda de informação. Informação e Entropia 2 O aumento de entropia corresponde à perda de informação. Entropia alta Entropia baixa “2 + 2” tem mais informação do que “4”!! Entropia alta Entropia baixa

Estatística, Entropia e Termodinâmica pk = probabilidade de que um nível “k” esteja ocupado. En En-1 Maximização Termodinâmica E2 E1 BOA TARDE, ATÉ AMANHÃ! E0

Resumo Computadores são realizações físicas de máquinas de Turing. Não existe problema que possa ser resolvido em um computador, que não possa também o ser em uma máquina de Turing; 2. Portas lógicas são operações sobre bits. Qualquer operação lógica pode ser decomposta na ação de um conjunto de portas lógicas universais; 3. A representação física de bits e circuitos lógicos torna os computadores sujeitos às leis da Física. 4. A entropia é a quantidade física ligada à informação e também à ordem dos sistemas termodinâmicos. Entropia alta significa desordem e falta de informação. 5.A Física Estatística dá uma fundamentação microscópica para a termodinâmica. A partir do princípio da maximização da entropia (para sistemas em equilíbrio) deriva-se as funções termodinâmicas a partir de considerações microscópicas sobre o sistema.

Computação, Reversibilidade e Entropia Perda de bits = perda de informação => aumento de entropia => irreversibilidade. No. de bits se conserva informação se conserva reversibilidade. A computação clássica é IRREVERSÍVEL!

1973...um ano importante para a computação Naquele ano, um físico da IBM (Charles Bennett) demonstrou ser possível implementar a computação clássica com operações inteiramente reversíveis. A conseqüência mais importante deste resultado foi o surgimento da Computação Quântica! A porta NAND é uma porta clássica universal a b c a’ b’ c’ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 Porta de Toffoli TRANSFORMAÇÕES UNITÁRIAS EM MQ SÃO OPERAÇÕES REVERSÍVEIS. AQUI APARECE A NOÇÃO DE COMPUTAÇÃO QUÂNTICA! a a’ b b’ É possível fazer computação clássica reversível! c c’

1871 - O Demônio de Maxwell viola Segunda Lei da Termodinâmica?! Entropia diminui sem realização de trabalho!? TA = TB TA < TB ENTROPIA MÁXIMA ENTROPIA MENOR

1961 – O Princípio de Landauer Até aquele ano, acreditava-se que qualquer ação computacional exigia gasto de energia. Rolph Landauer, também da IBM, mostrou que não! O que gasta energia é o ato de apagar informação! Energia mínima para apagar 1 bit. Aumento mínimo na entropia ao se apagar 1 bit. Charles Bennett usou o Princípio de Landauer para, em 1987, resolver o problema do demônio de Maxwell, pondo fim a mais de 100 anos de discussão! O demônio precisa apagar informação na sua memória sobre a energia das Moléculas, e isso aumenta a entropia!

Fenômenos Naturais como processos Computacionais Computação Física computador sistema computação experimento entrada estado inicial programa leis da física saída estado final processamento saída entrada

Mecânica Quântica para pedestres... Mecânica clássica: Mecânica Quântica:

Limites físicos da computação - 1 1. Qual o tempo mínimo para inverter 1 bit de informação? m Aqui vamos nós... B Equação clássica de movimento Autoenergias:

Limites físicos da computação – 2 A cozinha quântica Evolução Tempo mínimo para inverter 1 bit: O tempo mínimo para inverter 1 bit é aquele dado pelo Princípio de Incerteza

Limites físicos da computação – 3 Energia: grandeza física associada à velocidade de processamento. Entropia: grandeza física associada à capacidade de memória. Laptop “supremo”: 1 kg de massa confinada em um volume de 1 litro. 1) Limite de velocidade: 2) Limite de memória: O laptop supremo opera com Uma velocidade de 1050 operações lógicas por segundo, em 1031 bits.

Computador-Buraco Negro (socorro!)

A Lei de Moore - 1 Ano da publicação!

Modelo do processador Ano do lançamento Número de transistores 4004 1971 2 250 8008 1972 2 500 8080 1974 5 000 8086 1978 29 000 Intel 286 1982 120 000 Intel 386 1985 275 000 Intel 486 1989 1 180 000 Pentium 1993 3 100 000 Pentium II 1997 7 500 000 Pentium III 1999 24 000 000 Pentium 4 2000 42 000 000 Lei de Moore - 2

Lei de Moore - 3 CLÁSSICO QUÂNTICO!

H 1973 – Charles Bennett: computação (clássica) reversível; 1982 – Paul Benioff: computador quântico; 1984 – Protocolo BB84; 1985 - David Deutsch: uso do paralelismo quântico para resolver problemas matemáticos rapidamente; 1994 - Peter Shor: fatoração de números grandes em tempo polinomial; 1996 – Primeiro teste experimental do BB84 sobre 23 km; 1997 - Lov Grover: algoritmo de busca em tempo quadrático; 1997 - Neil Gershenfeld & Isaac Chuang: uso da RMN em CQ; - Teleporte com fótons; 1998 - Jones & Mosca: primeira demonstração experimental do algoritmo de Deutsch com RMN; - Chuang, Gershenfeld e Kubinec: demonstração experimental do algoritmo de Grover por RMN; - Nielsen, Knill e Laflamme: demonstração do teleporte quântico usando RMN; 2001 - Vandesypen, Chuang e outros: demonstração do algoritmo de Shor por RMN; 2002 - Novas propostas para elevar o número de q-bits acima de N = 100! 2004 – Teleporte com átomos. I S T Ó R I A

Computação Quântica: novos recursos computacionais Princípio Fundamental: estados quânticos podem existir em superposições de autoestados.