Estatística Aula 13 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

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1 Estatística Aula 13 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 13 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues

2 Aula 13 Variáveis Aleatórias Distribuição de Probabilidade

3 Estatística descritiva Teoria da probabilidade
Variáveis Aleatórias Introdução Seja o experimento de jogar 1 dado Do que vimos até o momento podemos: Jogar repetidamente os dados e coletar dados amostrais; Descrever os resultados por gráficos como o histograma de frequência; Calcular média, desvio padrão e outras estatísticas; Achar a probabilidade de cada resultado possível Estatística descritiva Teoria da probabilidade Achar a probabilidade de cada resultado possível

4 Introdução Variáveis Aleatórias Seja o experimento de jogar 1 dado
Agora nós vamos combinar os conceitos anteriores Desenvolveremos o conceito de distribuição de probabilidade Elas descrevem o que provavelmente ocorrerá, em vez de o que realmente ocorreu

5 Introdução Variáveis Aleatórias
Até o momento, usamos valores observados que tinham sido realmente coletados. Agora, com as distribuições de probabilidade, apresentaremos resultados possíveis junto com as frequências relativas que esperamos

6 Variáveis Aleatórias Introdução Figura 4-1 triola

7 Variáveis Aleatórias Experimento aleatório
É aquele que não é possível antecipar seu resultado, apesar de conhecermos todos os resultados possíveis que definem o espaço amostral do experimento Ao jogarmos um dado, sabemos os resultados possíveis, mas não sabemos qual o próximo resultado, da próxima jogada

8 Variáveis Aleatórias Experimento aleatório
Cada vez que o experimento for repetido, seu resultado pertencerá a um espaço amostral S  cada resultado é um ponto amostral Agora, em vez de operar com S, usaremos o conceito de variável aleatória, que recebe valores (números) de acordo com os resultados de um experimento aleatório Lançar uma moeda 2 vezes e estudar o no de “caras”: Resultado do experimento Valor numérico Cara Coroa  Ponto amostral Valor correspondente

9 Variáveis Aleatórias Variável aleatória
É uma variável (normalmente representada por x) que tem um único valor numérico, determinado por acaso, para cada resultado de um experimento Distribuição de probabilidade É um gráfico,uma tabela ou fórmula que dá a probabilidade para cada valor da variável aleatória

10 Variáveis Aleatórias Variável aleatória  S qualitativa quantitativa
Ponto amostral característica discreta contínua  v.a.

11 X x1 x2 . S E1 E2 . Variáveis Aleatórias Variável aleatória
A cada evento do espaço amostral S  associamos um valor na variável X  variável aleatória X Variável aleatória S E1 E2 . X x1 x2 . Exemplo: lançamento de 2 moedas Se definirmos X = = “nos de caras”, quais os valores que X pode assumir? Eventos Números

12 Exemplo: Lançamento de 2 moedas
Variáveis Aleatórias Exemplo: Lançamento de 2 moedas Experimento: jogar 2 moedas e observar o resultado (K = cara e C = coroa) S KC KK CK CC X 1 2 A v.a. associa cada elemento do espaço amostral S a um número real É uma função formada por valores numéricos definidos sobre o espaço amostral de um experimento: A cada resultado do experimento aleatório corresponderá apenas um único valor numérico da v.a.  CK corresponde ao no 1 somente Entretanto, um valor numérico da v.a. poderá corresponder a um ou mais resultados de um experimento  o no 1 corresponde a KC e CK

13 Exemplo: Lançamento de 2 moedas
Variáveis Aleatórias Exemplo: Lançamento de 2 moedas Experimento: jogar 2 moedas e observar o resultado (K = cara e C = coroa) X: número de caras em 2 lances de moeda S KK KC CK CC 1 2 imagem X = 0  CC X = 1  KC  CK X = 2  KK CK corresponde ao no 1 somente Entretanto , o no 1 corresponde a KC e CK

14 Variáveis Aleatórias O passo fundamental para entendermos uma v.a. é
associar a cada valor a sua probabilidade, obtendo o que se chama de uma distribuição de probabilidades A distribuição de probabilidades fica caracterizada pelos valores da v.a. X e pela regra, ou função, que associa a cada valor uma probabilidade Essa função, chamada de função de probabilidade, é representada por f(x). No exemplo anterior, temos: Valores de X 1 2 Probabilidade 1/4 1/2 1/4

15 Exemplo: Lançamento de 2 moedas
Variáveis Aleatórias Distribuição de probabilidade Exemplo: Lançamento de 2 moedas P(X) 0,50 0,25 S KC KK CK CC X 1 2 X P(X) 1/4 0,25 1 1/2 0,50 2

16 Exemplo: Lançamento de 2 moedas
Variáveis Aleatórias Distribuição de probabilidade Exemplo: Lançamento de 2 moedas Gráfico da distribuição de probabilidade da v.a. No de caras

17 Exemplo: Lançamento de 2 moedas
Variáveis Aleatórias Exemplo: Lançamento de 2 moedas Experimento: jogar 2 moedas e observar o resultado (K = cara e C = coroa) X: número de caras em 2 lances de moeda S KK KC CK CC 1 2 imagem 0,00 0,25 0,50 Imagem P(X)

18 Variáveis Aleatórias Distribuição de probabilidade
Requisitos para que uma função seja chamada de distribuição de probabilidade 1) Podemos associar números a eventos do espaço amostral  v.a.; 2) Para cada número podemos associar uma probabilidade tal que esta esteja entre zero e 1,0; 3) Soma de todas as probabilidades é 1 ou 100%

19 f(x) é um exemplo de distribuição de probabilidade
Variáveis Aleatórias Exemplo: f(x) = x/3 (onde x pode ser 0, 1 ou 2 aleatoriamente) determina uma distribuição de probabilidade? f(0) = 0/3 = 0,0 f(1) = 1/3 f(2) = 2/3 Cada valor de f(x) está entre 0 e 1 f(x) é um exemplo de distribuição de probabilidade

20 Variáveis Aleatórias Variável aleatória  Classificação Discreta
Tem ou um no finito de valores, ou uma quantidade enumerável de valores, onde “enumerável” se refere ao fato de que podem existir infinitos valores, mas que podem ser associados a um processo de contagem Contínua Tem infinito valores , e esses valores podem ser associados com medidas em uma escala contínua, de modo que não há pulos ou interrupções

21 Variáveis Aleatórias Exemplos:
Seja x o número de ovos que uma galinha põe em um dia. Essa é uma variável aleatória discreta porque são possíveis apenas os valores 0, 1, 2, e assim por diante. Nenhuma galinha põe 2,345 ovos, valor que seria possível se os dados proviessem de uma escala contínua Seja x a quantidade de leite que uma vaca produz em um dia. Essa é uma variável aleatória contínua porque pode assumir qualquer valor em um intervalo contínuo. Durante um único dia, uma vaca pode produzir uma quantidade de leite que pode ser qualquer valor entre 0 e 5 litros. Seria possível obter 4,1234 litros, porque a vaca não é restrita a quantidades discretas de 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 litros.

22 Distribuição Discreta de Probabilidade
Definição formal Uma distribuição discreta de probabilidade de uma v.a. X é uma relação dos distintos valores xi de X juntamente com as probabilidades associadas f(xi) Para que uma função f(x) seja uma distribuição de probabilidade, é necessário que: Onde:

23 Distribuição Discreta de Probabilidade
Exemplo Consideremos a soma dos pontos que aparecem na jogada de dois dados. Sabemos que os valores possíveis da soma X, com suas probabilidades associadas P(X = x) são: x f(x) 2 3 1/36 4 5 2/36 3/36 4/36 6 7 5/36 8 9 6/36 10 11 12 Podemos calcular probabilidades do tipo:  f(2) + f(3) + f(4) + f(5)  f(9) + f(10) + f(11) + f(12)  f(6) + f(7) + f(8)

24 Distribuição Discreta de Probabilidade
Para calcularmos probabilidades associadas a uma variável aleatória, temos basicamente de saber calcular as probabilidades dos eventos: e Outras probabilidades calculam-se como combinações dessas duas. Assim, no exemplo apresentado:

25 Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo O Espaço amostral de um experimento aleatório é {a, b, c, d, e, f} e cada resultado é igualmente provável. Uma variável aleatória é definida como segue: Resultado a b c d e f x 1,5 2 3 Determine a função de probabilidade de X. Resposta: f(0) = P(X=0) = 1/6 + 1/6 = 1/3 f(1,5) = P(X=1,5) = 1/6 + 1/6 = 1/3 f(2) = P(X=2) = 1/6 f(3) = P(X=3) = 1/6

26 Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo Use a função probabilidade do exemplo anterior para determinar as seguintes probabilidades: P(X = 1,5); P(0,5<X<2,7); P(X>3); P(0≤X<2); P(X = 0 ou X = 2). Resposta: P(X = 1,5) = 1/3 P(0,5<X<2,7) = P(X = 1,5) + P(X = 2) = 1/6 + 1/3 = 1/2 P(X>3) = 0 P(0≤X<2) = P(X = 0) + P(X = 1,5) = 1/3 + 1/3 = 2/3 P(X = 0 ou X = 2) = 1/3 + 1/6 = 1/2

27 Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Gráficos como o apresentado abaixo são chamados histogramas de probabilidade Observe na figura que P(0≤X<2) = P(X = 0) + P(X = 1,5) = 1/3 + 1/3 = 2/3 Trata-se de uma soma de áreas. O que isto tem haver com integral? Veremos adiante ...

28 Exemplo: P(X = 0) = 0,6561 P(X = 1) = 0,2916 P(X = 2) = 0,0486
Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades Representação gráfica de uma distribuição de probabilidade Exemplo: P(X = 0) = 0,6561 P(X = 1) = 0,2916 P(X = 2) = 0,0486 P(X = 3) = 0,0036 P(X = 4) = 0,0001

29 Aplicações O espaço amostral de um experimento aleatório é {a, b, c, d, e, f} e cada resultado é igualmente provável. Uma variável aleatória é definida como se segue: resultado x a b c 1,5 d e 2 f Determine a função de probabilidade de X.

30 Aplicações Considerando a função de probabilidade do caso anterior, determine as seguintes probabilidades: a) P(X = 0) resultado a b c d e f b) P(0,7<X<1,7) x 1,5 1,5 2 2 2 c) P(0≤X<1,9) f(0)=1/6 f(1,5)=1/3 f(2)=1/2 d) P(X = 0 ou X = 2) a) P(X = 0) = f(0) = 1/6 e) P(X = 3,5) b) P(0,7<X<1,7) = P(X=1,5) = 1/3 Único valor no intervalo

31 Aplicações Considerando a função de probabilidade do caso anterior, determine as seguintes probabilidades: a) P(X = 0) resultado a b c d e f b) P(0,7<X<1,7) x 1,5 1,5 2 2 2 c) P(0≤X<1,9) f(0)=1/6 f(1,5)=1/3 f(2)=1/2 d) P(X = 0 ou X = 2) c) P(0≤X<1,9) = P(X=0)+ P(X=1,5) = 1/6 + 1/3 = 1/2 e) P(X = 3,5) d) P(X = 0 ou X = 2) = P(X=0) + P(X=2) = 1/6 + 1/2 = 2/3 e) P(X=3,5) = 0

32 Distribuição Contínua de Probabilidade
Introdução Até agora, temos lidado com distribuições discretas de probabilidade Distribuições discretas → Espaço amostral com número finito ou infinito contável de pontos Se o espaço amostral contém um número infinito não-enumerável de pontos, temos de trabalhar com distribuições contínuas de probabilidade Variáveis aleatórias contínuas → Distribuições contínuas

33 Como calcular probabilidades com Distribuições para VA contínuas
Distribuição Contínua de Probabilidade Como calcular probabilidades com Distribuições para VA contínuas

34 Distribuição Contínua de Probabilidade
Imagine um relógio que somente marque as horas abaixo: 3 6 9 P (X = 3) = ? X = “Hora” ¼ ou 25%

35 Distribuição Contínua de Probabilidade
2 3 6 4 9 8 10 E agora ? P (X = 3) = ? 1/8 ou 12,5%

36 Distribuição Contínua de Probabilidade
Agora imagine milhões de pontos! 2 3 6 4 9 8 10 P (X = 3) = ? P (X = 3)

37 Refazendo a pergunta: Relógio Real
Distribuição Contínua de Probabilidade Refazendo a pergunta: Relógio Real P (0 < X < 3) = ? ¼ ou 25% P (3 < X < 9) = ? ½ ou 50%

38 FIZEMOS O CÁLCULO OBSERVANDO A ÁREA!
Distribuição Contínua de Probabilidade FIZEMOS O CÁLCULO OBSERVANDO A ÁREA! É ASSIM QUE FUNCIONA COM DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS

39 Distribuição Contínua de Probabilidade
Variável aleatória contínua Se uma variável puder assumir qualquer valor num intervalo real, é uma variável aleatória contínua v. a. discretas  atribuímos uma probabilidade a um determinado valor da variável v. a. contínuas  podem assumir infinitos valores em um intervalo  pensamos na probabilidade de ocorrência associada a um intervalo

40 Distribuição Contínua de Probabilidade
Variável aleatória contínua Nomenclatura Distribuições de probabilidades distribuições discretas  função de probabilidade f(x) distribuições contínuas função densidade probabilidade também f(x) A função densidade de probabilidade fornece um valor para cada possível valor (infinito) da variável X No entanto, os valores de f(x) não representam as probabilidades associadas a x

41 Distribuição Contínua de Probabilidade
Função Densidade de Probabilidade Ao invés disso, a área (isto é, a integral) sob a função de densidade de probabilidade em um determinado intervalo fornece a probabilidade de ocorrência de um valor dentro desse intervalo

42 Distribuição Contínua de Probabilidade
Função Densidade de Probabilidade É uma função que satisfaz: a) b) c) Área sob a curva f(x) de a a b para quaisquer a e b X f(x) a b P(a < X < b)

43 Distribuição Contínua de Probabilidade
Variável aleatória contínua X f(x) a b P(a < X < b) Da definição de densidade, segue que, para uma v.a. contínua, a probabilidade de um único ponto é zero, isto é: P(X = a) = 0 para qualquer número a

44 Distribuição Contínua de Probabilidade
Exemplo Seja X uma variável aleatória contínua com espaço ℵ = {x: 0 < x < 1}. Seja f(x) = cx2 para todo x ∈ ℵ, onde c é uma constante a determinar. Qual o valor de c? Logo c = 3 é a constante necessária para fazer de f(x) uma densidade em ℵ, isto é, para fazer com que a densidade integre a um no intervalo (0,1)

45 Distribuição Contínua de Probabilidade
Exemplo Faça a variável aleatória contínua X denotar a corrente em um fio delgado de cobre, medida em miliampéres. Suponha que a faixa de X seja [0, 20] e considere que a função densidade de probabilidade de X seja f(x) = 0,05 para 0 ≤ x ≤ 20. Qual é a probabilidade de que uma medida de corrente seja menor que 10 miliampéres? Qual é a probabilidade de uma medida de corrente ficar entre 5 e 15 {P(5<X<15)}? F(x) = 0,05 0,05 20 x f(x) 10 5 15

46 Distribuição Contínua de Probabilidade
Exemplo Faça a variável aleatória contínua X denotar o diâmetro de um orifício perfurado em uma placa com um componente metálico. O diâmetro que se quer atingir, o chamado diâmetro alvo, é 12,5 milímetros. A maioria dos distúrbios aleatórios no processo resulta em diâmetro maiores. Dados históricos mostram que a distribuição de X pode ser modelada por uma função densidade de probabilidade f(x) = 20 e-20(x-12,5), x ≥ 12,5. Se uma peça com diâmetro maior que 12,60 milímetros for descartada, qual será a proporção de peças descartadas? A função densidade e a probabilidade requerida são mostradas na figura abaixo. Uma peça é descartada se X > 12,60. x f(x) 12,5 12,6

47 Distribuição Contínua de Probabilidade
Resposta x f(x) 12,5 12,6

48 Estatística Aula 13 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
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