Equação de Boltzmann na aproximação do tempo de relaxação

densidade e correntes banda totalmente cheia: n = 2/vc um isolante tem densidade total: ntot = 2k/vc,ou seja, um número par de elétrons por célula unitária. Um número ímpar de elétrons por célula produz um metal (caso interação e-e não seja crucial) banda totalmente cheia ou vazia: J(r) = Je(r) = 0 de fato, qualquer rn(r,k)=rn(r,-k) tem corrente nula devido à degenerescência de Kramer, En(k)=En(-k).

como os campos afetam a distribuição dos elétrons r(t) e k(t) são pensados como trajetórias clássicas em um espaço de fase. a distribuição dos elétrons, rn(r(t),k(t)), evolui no tempo com as equações semiclássicas e permite obter qualquer quantidade de interesse. em equilíbrio:

como as colisões afetam a distribuição dos elétrons impurezas, vibrações cristalinas, etc. produzem alterações em k (além da evolução semiclássica) Wkk´ é a taxa de transição |n, k>  |n, k´> k k´ X

eq. de Boltzmann Explicar a dinâmica sem colisão: F(t+dt,r,k)=F(t,r-vr.dt,k-vk.dt)

aproximação do tempo de relaxação nas transições para k os estados k’ são supostos em equilíbrio local ignorar Pauli + usar balanço detalhado das taxas

solução estacionária mostrar que é solução ESTACIONÁRIA da eq. de Boltzmann em 1ª ordem em E, DT e Dmu

condutividade elétrica anisotropia apenas bandas ~ kT em torno de EF contribuem.

mostrar banda quase-vazia (se) ou quase-cheia (sb) conexão com Drude (metais, kT << EF ) mostrar banda quase-vazia (se) ou quase-cheia (sb) (df/dE)(dE/dk) = df/dk, integra por partes e obtem int f (d2E/dk2) , 3) versão elétrons e buracos tem sigma > 0 (não dá para diferenciar electrons e buracos 4) Mostrar Drude result com massa efetiva.

condutividade térmica div E = 0  n é uniforme (macroscopicamente, apesar de T(r) e m(r)) a densidade poderia variar na escala macroscópica de T(r) e mu(r), mas div E = 0 implica em uniformidade macroscópica

corrente térmica dQ = TdS = dE- m dN (em um volume dV fixo, devido ao movimento eletrônico) JQ = JE - mJN veremos que mu(r)  mu_0

como g0(r,k) = g0(r,-k), o equilíbrio local (mesmo com T e m não uniformes) não produz JQ nem J. T e mu nas expressões dos L´s são os T e mu médios

o experimento de condutividade térmica J = 0 efeito Seebeck: lei de Fourier:

conexão com Drude correto em O(kT/EF)^2 (usando expansão de Sommerfeld)