Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos 1 Adaptive & Array Signal Processing AASP Prof. Dr.-Ing. João Paulo C. Lustosa da Costa University of Brasília (UnB) Department of Electrical Engineering (ENE) Laboratory of Array Signal Processing PO Box 4386 Zip Code , Brasília - DF Homepage:

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Eigenfilter (1) We assume that the signal samples u(n) and the noise samples v(n) are uncorrelated. 2 In the noiseless case, the average power output of a linear filter is given by Without signal component, we have that the average power output is Therefore, the SNR is given by

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Eigenfilter (2) 3 We desire to maximize the SNR with the following constraint Therefore: The expression is maximized when w is the eigenvector corresponding to the greatest eigenvalue.

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (1) 4 Our filter output is given by We desire to find a certain y(n), which is an estimate of the desired signal d(n). Therefore, we can define the estimation error e(n). We define the cost-function as the mean-square error Computing the gradient of the cost-function

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (2) 5 Computing the gradient of the cost-function

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (4) 6 In the optimum case, the inputs should be orthogonal to the error function. The principle of the orthogonality. This property allows to check if the linear filter is operating in its optimum condition. As a consequence: In the optimum case:

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (5) 7 (I) In the optimum case, the inputs should be orthogonal to the error function. (II) ) In the optimum case, the ouputs should be orthogonal to the error function. Geometric interpreation

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (6) 8 Wiener-Hopf Equations Using the definition of estimation error

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (7) 9 Wiener-Hopf Equations Using the correlation matrix R and the cross-correlation vector p The optimum tap weight vector is given by

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (8) 10 Linearly Constraint Minimum Variance (LCMV) Filter Consider some sinusoidal signal We assume a certain linear constraint with a complex gain g Primal equation

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (9) 11 Linearly Constraint Minimum Variance (LCMV) Filter The power output is given by

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (10) 12 Linearly Constraint Minimum Variance (LCMV) Filter We desire to maximize the power output considering the constraint. Therefore, we can apply the Lagrange multipliers.

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (11) 13 Linearly Constraint Minimum Variance (LCMV) Filter In the matrix form: Therefore: Replacing in the primal equation:

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (12) 14 Linearly Constraint Minimum Variance (LCMV) Filter The Langrage multiplier is given by Also known as LCMV beamformer

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (12) 15 Comparison LCMV versus Delay and Sum In delay and sum, the weight vector depends on only one parameter

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (13) 16 Spatial Power Spectrum with DS – without noise

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (14) 17 Spatial Power Spectrum with LCMV without noise

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (15) 18 Spatial Power Spectrum with DS – with noise

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (16) 19 Computing Weight Power |w| 2 for LCMV with g = 1

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (17) 20 Spatial Power Spectrum with LCMV with noise

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (18) 21 Spatial Power Spectrum - LCMV with noise and with restriction |w| 2 = 1

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (18) 22 CAPON: Minimum Variance Distortionless Response Beamformer (MVDR)

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (19) 23 Spatial Power Spectrum – CAPON with noise

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (20) 24 CAPON belongs to the class of high resolution or super resolution signal processing schemes It surpasses the limiting behavior of the Fourier-based methods (for instance DS).

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (21) 25 Spatial Power Spectrum – DS with noise, two sources and M = 10

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (22) 26 Spatial Power Spectrum – CAPON with noise, two sources and M = 10

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (23) 27 Spatial Power Spectrum – DS with noise, two sources and M = 7

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (24) 28 Spatial Power Spectrum – CAPON with noise, two sources and M = 7

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (25) Direction of arrival (DOA) estimation Planar wave front: depends on the distance and on the array size Narrowband signal Linear mixture In this example: Model order d = 4 Number of sensors M = 5 Assuming that N > M, and since M > d. Here we have an overdetermined problem.

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (26) 30 Direction of arrival (DOA) estimation M d Relation between DOA and the spatial frequency If the signal has = 0, then the phase shift between the outputs is also zero. Only one source, i.e. d = 1.

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (27) 31 Multiple Signal Classification (MUSIC) Assuming that the model order is known and equal to d, we compute the EVD of the correlation matrix. Knowing the model order, we can separate the correlation matrix into signal and noise parts. The cost-function to be maximized is the following

Universidade de Brasília Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Wiener Filters (27) 32 Multiple Signal Classification (MUSIC) MUSIC achieves a precision greater than CAPON, since it takes into account the data structure.