Sobre uma abordagem do número de estabilidade de um grafo baseada em técnicas de optimização quadrática Carlos J. Luz Instituto Politécnico de Setúbal.

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1 Sobre uma abordagem do número de estabilidade de um grafo baseada em técnicas de optimização quadrática Carlos J. Luz Instituto Politécnico de Setúbal & CEOC / Universidade de Aveiro Tardes de Trabalho SPM/CIM - Optimização Complexo do Observatório Astronómico – Coimbra – 6 de Maio de 2006

2 2

3 3    G    G  

4 4

5 5 1 2 6 34 5 1 2 6 34 5 G  G  Exemplo:

6 6

7 7 1 23 4 56 1 23 4 56   min  2 S   3,6    G   2.4  | N  i   S |: i  S    2,1,2,1   1

8 8

9 9

10 10

11 11

12 12

13 13

14 14 1 2 34 5 6 7 89 10 1 2 34 5 6 7 89

15 15

16 16

17 17

18 18

19 19 Barbosa e Cardoso, 2004, On regular-stable graphs, Ars- Combinatoria, 70, 149-159 Cardoso, 2003, On graphs with stability number equal to the optimal value of a convex quadratic programming, Matemática Contemporânea, 25, 9-24. Cardoso e Rama, 2004, Equitable bipartitions of graphs and related results, Journal of Math. Sciences, 120, 869-880. Lozin e Cardoso, 1999, On hereditary properties of the class of graphs with convex quadratic stability number, Cadernos de Matemática, Universidade de Aveiro, CM/I-50. Rama, 2005, Propriedades Combinatórias e Espectrais de Grafos com Restrições de Regularidade, dissertação de Doutoramento, Universidade de Aveiro, 2005.

20 20

21 21

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24 24 Cardoso, 2003, On graphs with stability number equal to the optimal value of a convex quadratic programming, Matemática Contemporânea, 25, 9-24. Cardoso e L, 2001, Extensions of the Motzkin-Straus result on the stability number of graphs, Cadernos de Matemática, Universidade de Aveiro, CM01/I-17. L, 2005, Improving an upper bound on the stability number of a graph, Journal of Global Optimization, 31/1 (2005), 61 – 84.

25 25

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27 27 Exemplo: 1 23 4 56

28 28   G     G      G   Se G éperfeito,  G    G   Se G éregular,   G    n  min  A G   max  A G    min  A G 

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30 30

31 31 Exemplo: 1 23 4 56

32 32

33 33

34 34 e

35 35 → → →

36 36 L e Schrijver, 2005, A convex quadratic characterization of the Lovász theta number, SIAM Journal on Disc. Math, 19(2), 382-387. L, 2006, A convex quadratic characterization of the Schrijver and McEliece-Rodemich-Rumsey upper bound on the stability number of a graph, Cadernos de Matemática, Universidade de Aveiro, CM/I-14 L, 2006, A characterization of Delsarte's bound as a ratio bound, Cadernos de Matemática, Universidade de Aveiro, CM/I-15

37 37 Reconhecimento dos grafos adversos em tempo polinomial Utilização destas caracterizações para obter theta e theta-linha sem recorrer à programação semidefinida Utilização destas caracterizações para obter melhores majorantes para o número de estabilidade