Katia S. Guimarães katia@cin.ufpe.br Heaps Katia S. Guimarães katia@cin.ufpe.br

Busca por Prioridade Até agora nós estudamos estruturas de busca através de chaves. E se o nosso argumento de busca for diferente? Se nós quisermos recuperar, por exemplo, o elemento que tem a maior chave? katia@cin.ufpe.br

Estrutura Heap Heap é uma estrutura de prioridades, na forma de árvore binária semi-completa, que representa uma ordem parcial entre os elementos do conjunto. Ex: 89 74 32 22 41 15 4 21 9 34 26 8 katia@cin.ufpe.br

Estrutura Heap Implementação usual: Array unidimensional, onde a raiz ocupa a posição 1, e os elementos obedecem à relação: esq.i = 2i, dir.i = 2i + 1. Ex: 89 74 32 22 41 15 4 21 9 34 26 8 89 74 32 22 41 15 4 21 9 34 26 8 katia@cin.ufpe.br

Construção de um Heap A construção é feita a partir do array com os elementos desordenados, e pode ser feita “bottom-up” ou “top-down”. Na construção bottom-up, o controle segue das folhas à raiz (ou seja, da direita para a esquerda no array), construindo um heap único a partir de dois heaps menores + um novo elemento. katia@cin.ufpe.br

Construindo um Heap Bottom-up Base: Se n = 1, então a árvore é uma folha, não há o que fazer (a árvore já é um heap). Ex: 21 Ex: 9 Ex: 34 34 9 21 katia@cin.ufpe.br

Construindo um Heap Bottom-up Passo: Se n > 1, então usando a Hipótese de Indução, só é necessário ajustar a ordem parcial com relação ao novo elemento. Ex: 21 9 34 34 9 21  21 34 9 34 9 21 katia@cin.ufpe.br

Heapify Toma: Dois (sub)heaps + um novo elemento  Gera:  um novo heap contendo todos. Ex. 9 74 41 21 22 34 26 74 22 41 21 9 34 26 9  74 22 41 74 41 21 9 34 26 21 22 34 26 katia@cin.ufpe.br

Heapify 9 74 41 21 22 34 26 74 22 41 21 9 34 26 9  74 22 41 74 41 21 9 34 26 21 22 34 26 Só precisamos encontrar um local apropriado para o elemento nesta nova raiz. katia@cin.ufpe.br

Algoritmo Heapify Algoritmo Heapify(i ) Enquanto i  int (n/2) /* i tem filhos*/ faça { Se i < (n/2) /* i tem dois filhos*/ então Se A[2i ] > A[2i +1] então maior  2i senão maior  2i +1 senão /* O único é o maior*/ maior  2i ; Se A[i ] < A[maior] então { A[i ]  A[maior]; i  maior } senão i  n /* deixe o laço*/ } katia@cin.ufpe.br

Heapify i=1 9 74  i=2 9 41 74 41 21 22 34 26 21 22 34 26 74 i=7 74  22 41 22 41 i=5 21 9 34 26 21 9 34 26 katia@cin.ufpe.br

Construindo um Heap Bottom-up Algoritmo Constrói-Heap: Para i  int (n/2) até 1 faça Heapify 9 22 34 21 74 41 26 9 22 41 21 74 34 26 9 9  22 34 22 41 21 74 41 26 21 74 34 26 katia@cin.ufpe.br

Construindo um Heap Bottom-up 9 22 41 21 74 34 26 9 74 41 21 22 34 26 9 9 22 41 74 41 21 74 34 26 21 22 34 26  katia@cin.ufpe.br

Construindo um Heap Bottom-up 9 74 41 21 22 34 26 74 22 41 21 9 34 26 9  74 74 41 22 41 21 22 34 26 21 9 34 26 katia@cin.ufpe.br

Construindo um Heap Bottom-up Algoritmo Constrói-Heap: Para i  n/2 até 1 faça Heapify (A, n, i) Custo para construir um heap: T(n) = n / 2 · log (n) = O (n · log (n)) Será que este custo é exato? katia@cin.ufpe.br

Custo para construir um Heap Bottom-up A cada execução da rotina Heapify o número de comparações é no máximo o dobro da altura da sub-árvore que está sendo transformada em heap. Logo, no total queremos a soma das alturas de todas as sub-árvores dentro de uma árvore de altura h: H(h) = 2 · H(h-1) + h katia@cin.ufpe.br

Custo para construir um Heap Bottom-up A soma das alturas de todas as sub-árvores dentro de uma árvore de altura h é dada por: H(h) = 2 · H(h-1) + h H(0) = 0 h 0 1 2 3 4 5 6 7 ... H(h) 0 1 4 11 26 57 120 247 ... 2h+1 2 4 8 16 32 64 128 256 ... katia@cin.ufpe.br

Custo para construir um Heap Bottom-up A soma das alturas de todas as sub-árvores dentro de uma árvore de altura h é dada por: H(h) = 2 · H(h-1) + h H(0) = 0 h 0 1 2 3 4 5 6 7 ... H(h) 0 1 4 11 26 57 120 247 ... 2h+1 2 4 8 16 32 64 128 256 ... H(h) = 2h+1 - (h+2) = O (n) katia@cin.ufpe.br