Expressões Regulares e Gramáticas profa. Laís do Nascimento Salvador E-mail: laisns@dcc.ufba.br Grande parte dos slides foi gentilmente cedida pelo prof. Ivan Carlos Alcântara de Oliveira

Teoria dos Autômatos Expressões Regulares A expressão regular é a maneira mais compacta e mais simples de descrever conjuntos regulares, e é usada com essa finalidade em construção de compiladores, editores, sistemas operacionais, protocolos, etc. É um formalismo denotacional, também considerado gerador.

Teoria dos Autômatos Expressões Regulares Definição: Uma Expressão Regular (ER) sobre um alfabeto  é definida como segue:  é uma ER (linguagem vazia)  é uma ER (linguagem contendo somente a cadeia vazia ) para cada a  , a é uma ER se  e  são ER´s, então | é uma ER. ( OU  – alternância) se  e  são ER´s, então  é uma ER. (concatenação) se  é uma ER, então ()* é uma ER (exponenciação)

Teoria dos Autômatos Expressões Regulares *:  |  |  |  |..... +:  |  |  |..... + = * ordem de precedência(decrescente): exponenciação concatenação alternância

Teoria dos Autômatos Expressões Regulares Expressão regular Linguagem representada aa Somente a palavra aa ba* Todas as palavras que começam com b, seguido por zero ou mais a´s (a|b)* Todas as palavras sobre {a, b} (a|b)* aa (a|b) * Todas as palavras que contém aa como subpalavra a* ba* ba* Todas as palavras contendo exatamente 2 b´s (a|b)* (aa| bb ) Todas as palavras que terminam com aa ou bb (a| ) (b | ba)* Todas as palavras que não possuem 2 a´s consecutivos

Teoria dos Autômatos Expressões Regulares - Exercícios 1. Indique se a cadeia 1011 pertence às linguagens correspondentes a cada uma das expressões regulares a) __________ (10)*1011 b) __________ 0*(10 | 11)* c) __________ 1(00)*(11)* d) __________ (1 | 00)(01 | 0)1* 2) Escreva uma expressão regular para cada uma das seguintes linguagens sobre o alfabeto {a,b}: a) O conjunto de todas as cadeias que começam e terminam com a e contém no mínimo um b b) O conjunto de todas as cadeias que terminam em ab c) O conjunto de todas as cadeias com comprimento maior ou igual a 2

Teoria dos Autômatos Expressões Regulares - Exercícios 3) Especificar as linguagens representadas pelas seguintes e.r´s: a) abb*c b) abb*aa* c) bb*(ab)* 4) Construa uma ER para cada uma das seguintes linguagens sobre o alfabeto {0, 1} a) O conjunto de todas as cadeias terminando em 00. b) O conjunto de todas as cadeias com 3 zeros consecutivos.

Gramáticas Um exemplo inicial: <frase>  <sujeito> <verbo> <predicado> <sujeito>  O homem <sujeito>  A mulher <verbo>  leu <verbo>  escreveu <predicado>  um <adjetivo> livro <adjetivo>  ótimo <adjetivo>  péssimo <adjetivo>  e

Gramática - Definição Formal (1/6) Def. É um mecanismo gerador de cadeias de uma linguagem. Uma gramática formal é uma quádrupla: G = ( N, T, P, S ) onde: N é um alfabeto finito, conhecido como vocabulário não terminal. T é um alfabeto finito, conhecido como vocabulário terminal. P é um conjunto finito de regras ou produções da forma w  i com: w  (N U T )+ e i  (N U T )* S é o símbolo inicial ou axioma por onde as regras começam a ser aplicadas S  N

Gramática - Definição Formal (2/6) Observações Importantes: a) N  T =  b) N  T = V (vocabulário de G) c) Notação que será utilizada: T letras minúsculas N letras maiúsculas d) Uma seqüência da forma:   1,   2,   3, ........,   n, pode ser abreviada como uma única produção da forma:   1| 2 | 3| .... | n e) Para descobrir se uma cadeia x  T* é gerada pela gramática basta fazer um processo de derivação começando do símbolo inicial S até obter a cadeia desejada.

Gramática - Definição Formal (3/6) Exemplo 1: Gramática que gera números binários de qualquer tamanho. G1 = (N, T, P, S), T = {0, 1}, N = {S} P = {S  0 | 1 | 0S | 1S} a) A cadeia x = 0 1 0 é gerada pela gramática G? S   0S  01S  0 1 0 (É gerada!!!!) b) A cadeia y = 0101000 é gerada pela gramática G? S  0S  01S  010S  0101S  01010S  010100S  0101000 (É gerada!!!!) c) A cadeia z = 0201000 é gerada pela gramática G? Não é gerada pois observa-se que o símbolo 2T.

Gramática - Definição Formal (4/6) Exemplo 2: Gramática que gera qualquer número inteiro positivo, incluindo o 0. Z+ = {0, 1, 2, ...}. G2 = ( N, T, P, S ), T = {0, 1, 2, 3, ..., 9}, N = {NUMERO} S = NUMERO P = { NUMERO  0 | 1 | ... | 9 | 0 NUMERO | 1 NUMERO| ... | 9 NUMERO} a) A cadeia x = 9 0 3 é gerada pela gramática G? NUMERO  9NUMERO  90NUMERO  9 0 3 (É gerada!!!!) b) A cadeia y = 002551 é gerada pela gramática G? NUMERO  0NUMERO  00NUMERO  002NUMERO  0025NUMERO  00255NUMERO  002551 (É gerada!!!!)

Gramática - Definição Formal (5/6) Exemplo 3 - Solução 1: Desenvolver uma gramática que gera números inteiros, não permitindo números que começam com 0, exceção para o valor 0. G3 = (N, T, P, S), T = {0, 1, 2, 3, ..., 9}, N = {Num ,D} S = Num P = { Num  0 | 1 | 2 | ... | 9 | 1D | 2D | ... | 9D D  0 | 1 | 2 | ... | 9 | 0D | 1D | ... | 9D} a) A cadeia x = 9 0 3 é gerada pela gramática G? Num  9D  90D  9 0 3 (É gerada!!!!) b) A cadeia y = 0231 é gerada pela gramática G? Num  0 ( Não é gerada ) OK!!! Pois não se aceita zeros a esquerda.

Gramática - Definição Formal (6/6) Exemplo 3- Solução 2: Desenvolver uma gramática que gera números inteiros, não permitindo números que começam com 0, exceção para o valor 0. G4 = (N, T, P, S), T = {0, 1, 2, 3, ..., 9},N = { Num, D, DF}, S = Num P = { Num  D| 1D | 2D| ... | 9D D  0 | 1 | 2 | ... | 9 | 1DF | ... | 9DF DF  0 | 1 | 2 | ... | 9 | 0DF | 1DF | ... | 9DF } a) A cadeia x = 9 0 3 é gerada pela gramática G? Num  D  9DF  90DF  903 (É gerada!!!!) b) A cadeia y = 0231 é gerada pela gramática G? Num  D  0 ( Não é gerada ) OK!!! Pois não se aceita zeros a esquerda.

Gramática - Exercícios (1/3) 1) Seja a gramática abaixo G = {N, T, P, S}, N = {S, A, B}, T = {a, c, d} P = {S ® AB, A ® AA, A ® B, A ® a, B ® Bcd,B ® a} Pede-se: G gera x = a a a c d, y = aaaacdcdaacd, z = aaaaaaacdaaacdcdcd, k=aacdcdcdaacdaacdcd? 2) Seja G2 o conjunto das seguintes produções: P = { ID ® a | b | c ID a | ID 0 | ID 1 } Escrever VN, VT. Mostrar as derivações possíveis para gerar as sentenças a, cba0, a0, a1, ccaaa. 3) Construir uma gramática que gera números inteiros divisíveis por 5 (negativos ou positivos). Exemplo: 0, 5, -10, 15, -225, ... )

Gramática - Exercícios (2/3) 4) Construir urna gramática cujas sentenças sejam cadeias com igual número de 0's e 1's. 5) Criar uma gramática que gera números binários palíndromos: Exemplo: 0, 1, 010, 00100, 111, 101, 01010. 6) Construir urna gramática que gera {a (bn) a | am0, n>=0, m >=2}

Gramática - Exercícios (3/3) 7) Desenvolver uma gramática que gere expressões aritméticas com parênteses balanceados, dois operadores (representado por * e +) e um operando representado por x. Exemplo: x, x* (x + x) e ((((x)))) 8) Escrever uma gramática cuja linguagem seja o conjunto dos números inteiros pares positivos sem zeros à esquerda. 9) Escrever uma gramática que seja capaz de gerar qualquer identificador da linguagem JAVA.

Gramática - Outros Conceitos Exemplo: a) Qual a L(G)? L(G) = {a bn c, n>= 0} b) Encontrar G' equivalente a G Basta encontrar um conjunto de produções diferentes que satisfaz L(G') = L(G). G' = ( N, T, P, S ) T = { a, b, c }, P = { A ® aBc, B ® bB | }, N = { A, B}, S = A, L(G') = {a bn c, n>= 0} Observa-se que L(G) = L(G’) \G' º G

Gramática - Outros Conceitos Def. Árvore de derivação sintática: É um tipo de árvore voltada a análise sintática de sentenças que utilizaremos para montar as possíveis derivações de uma dada sentença e, com isto, verificar se ela pertence ou não a uma determinada gramática G. A montagem de uma árvore de derivação a partir de uma gramática G = (N, T, P, S) é realizada da seguinte maneira: a) A raiz da árvore é o símbolo inicial. b) Os vértices interiores pertencem ao N. c) Os nós folhas pertencem ao T.

Gramática - Outros Conceitos Exemplo: Seja a gramática G = (N, T, P, S) como definida abaixo: T = { a, b, c }, N = { A, B }, S = A P = {A ® aB, B ® bB | c } Verificar se x = abbbc, y = ac, z = abbca, w = a são sentenças de L(G).

Gramática - Outros Conceitos Árvore de derivação sintática - Exemplos: c) Verificar se x = abbbc, y = ac, z = abbca, w = a são sentenças de G. Para isto basta verificar se realizando algumas derivações é possível obter a sentença solicitada. Logo, x e y são sentenças de G, z e w não são. z w x y b | c

Gramática - Outros Conceitos Def. Gramáticas Ambíguas: Uma gramática é ambígua se gera uma sentença para a qual existem duas ou mais árvores de derivação sintática. Exemplo: Seja G = (N, T, P, S) a gramática definida abaixo: T = { a, c, d }, N = { S, A, B }, P = { S ® AB, A ® AA | B | a, B ® Bcd | a } Pede-se: a) Qual é a L(G) ? b) G é ambígua? c) Se G for ambígua, encontrar G' equivalente a G não ambígua.

Gramática - Outros Conceitos a) Qual é a L(G) ? Como esta gramática é um pouco complexa, vamos por partes: As produções B Bcd | a geram sentenças no formato: a(cd)* As produções A AA | B | a geram formas sentenciais no formato A+, onde cada A gera um B ou um a. Logo estas regras geram sentenças no formato: (a(cd)*|a)+ A regra inicial, por sua vez, é SAB, então temos que L(G) = (a(cd)*|a)+a(cd)*

Gramática - Outros Conceitos b)Para a sentença x = aaacd encontra-se duas árvores de derivação como ilustrado abaixo: Logo G é ambígua.

Gramática - Outros Conceitos c) Se G for ambígua encontrar G' equivalente a G não ambígua. Sabemos que L(G) = (a(cd)*|a)+a(cd)* . Observa-se que esta própria expressão é ambígua (por exemplo: há duas formas de se gerar a sentença aa). Ao simplificar a e.r. chegamos em: (a(cd)*)+a(cd)* . Com base nesta 2a. e.r. podemos retirar a produção Aa, observe que ela é uma fonte de ambigüidade, e a linguagem gerada continua a mesma. Logo temos a seguinte gramática modificada: P = { S ® AB, A ® AA | B , B ® Bcd | a } Porém esta gramática ainda é ambígua. Onde está o problema?

Gramática - Outros Conceitos Observe que a produção A  AA também é uma fonte de ambigüidade, por quê? Logo devemos substituir a produção por outra, que não gere sentenças ambíguas, sem prejuízo da linguagem gerada. Assim, chegamos na seguinte gramática: P = { S ® AB, A ® BA | B, B ® Bcd | a } Ainda podemos simplificar e chegar numa outra solução: P = { S ® BS | BB, B ® Bcd | a } Observe que ambas gramáticas não são ambíguas.

Gramática - Exercícios (1/4) 1) Dada a linguagem: L(G) = {an bm ek, n >= 2, m>=0, k>=1} Encontrar a gramática G 2) Dadas as produções de duas gramáticas G1 e G2 determinar a linguagem gerada: a) G1 P = {S ® a S a S |  } b) G2 P = {S ® a S a |  } Pede-se: São ambíguas?Justifique a sua resposta.

Gramática - Exercícios (2/4) 3) Produzir uma gramática G tal que a) L(G) = {abn c com n >= 0} b) L(G) = {an bm com n <= m; n, m>=1} 4) Encontre gramáticas não ambíguas que gerem os seguintes conjuntos: a) números binários múltiplos de 4, sem zeros não significativos. c) números inteiros pares, positivos ou negativos, com sinal (exceto o zero), sem zeros não significativos.

Gramática - Exercícios (3/4) 5) Dadas as produções de 3 gramáticas a) Quais as linguagens geradas? Descrever informalmente se for impossível formalizar. b) Quais gramáticas são ambíguas? Por quê? (G1) S  aBC | a BC  bcS |  (G2) S  [S]S |  | a | b S  S[S] (G3) S  01ZY |  ZY  0DC | S DC  1CC |  CC  1DC | 

Gramática - Exercícios (4/4) 6) Seja uma gramática G dada pelas produções abaixo: P: {S  AB | C, A  aAb | ab, B  cBd | cd, C  aCd | aDb, D  bDc | bc } Pede-se: a) Qual a linguagem gerada pela gramática? b) Ela é ambígua? c) Encontrar uma G1 equivalente a G.

Gramáticas Livres de Contexto Extremamente úteis; Usadas na construção de compiladores; Exemplos de Gramáticas Livres de Contexto: G = (N,T,P,S) onde N = {S} T = {a,b} P = { S  aSb S   } L(G) = ? Gramática para expressão com parênteses balanceados: G’ : P = { S  (S) S   }

Gramáticas Livres de Contexto Exemplos de Gramáticas Livres de Contexto: Vamos construir uma definição recursiva para expressões aritméticas: . x é uma expressão aritmética Assumindo que e seja uma expressão aritmética então: (e) é uma expressão aritmética; e + e é uma expressão aritmética; e * e é uma expressão aritmética;

Gramáticas Livres de Contexto Exemplos de Gramáticas Livres de Contexto: A partir desta definição é fácil construir a gramática para esta linguagem, G1 = (N,T,P,S) onde N = {E}, T = {+,*,(,),x}, S = E P = { E  E+E | E*E | (E) | x} G1 é ambígua. Por quê?

Gramáticas Livres de Contexto Analise a sentença: x+x*x Quantas árvores de derivação podem ser construídas para esta sentença, com base em G1? E E E * + E E x x x

Gramáticas Livres de Contexto Outra árvore de derivação para a sentença: x+x*x E E E + x * E E x x

Gramáticas Livres de Contexto Uma outra gramática para expressões aritméticas: G1’ = (N, T, P, S) onde N = {T, F, E} T = {x, +, *, (, )} S = E P = { E  E + T, (1) L(G1´) ? E  T, (2) G1´ é ambígua ? T  T * F, (3) T  F, (4) F  (E), (5) F  x, (6) }

Gramáticas Livres de Contexto Uma gramática para comandos condicionais aninhados: <programa>  ... <comando> ... <comando>  <condicional> <condicional>  if < condição > then <comando> <condicional>  if < condição > then <comando> else <comando> < condição >  ... Provar que esta gramática é ambígua.

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Gramáticas Livres de Contexto Atividade: 1- Pesquise um gramática para a linguagem objeto de implementação do projeto de compiladores. 2- Verifique se ela é ambígua.