Projeto de Iniciação Cientifica: Simulação e Modelagem de sistemas DinâmicosSimulação e Modelagem de sistemas Dinâmicos Prof. : Coordenador do Projeto: Prof. Dr. Sérgio Luiz GaravelliProf. Dr. Sérgio Luiz Garavelli Prof. Orientador do Projeto: Prof. Dr. Paulo Eduardo de BritoProf. Dr. Paulo Eduardo de Brito Aluno Pesquisador e Apresentador: Rodrigo Alves Dias Rodrigo Alves Dias

Motivação: Estudo de Propriedades Magnéticas.Estudo de Propriedades Magnéticas. Visando Aplicações em diversas áreas cientificas como exemplo :Visando Aplicações em diversas áreas cientificas como exemplo : Medicina.Medicina. Industria Computacional na Produção de Chips.Industria Computacional na Produção de Chips. Exemplos de Propriedades:Exemplos de Propriedades: O Ferromagnetismo Ant-Ferromagnetismo Diamagnetismo Paramagnetismo

Introdução ao Modelo de Ising: Corrente Elétrica no Fio  Gera um Campo Magnético em sua volta.Corrente Elétrica no Fio  Gera um Campo Magnético em sua volta. Movimento de Elétrons em volta de um átomo ou de uma molécula  Gera um minúsculo Campo Magnético orientado em cada átomo(Spin).Movimento de Elétrons em volta de um átomo ou de uma molécula  Gera um minúsculo Campo Magnético orientado em cada átomo(Spin). NSNS NSNS Átomo Imã Muitos Átomos ou Moléculas na redeMuitos Átomos ou Moléculas na rede  Muitos Spins que vão interagir.  Spins gerados Aleatoriamente. Materiais Ferromagnéticos:Materiais Ferromagnéticos:

Magnetização Resultante diferente de zero (Spins Paralelos).Magnetização Resultante diferente de zero (Spins Paralelos). Spins Orientados. Magnetização Média aproximadamente zero. Magnetização Média aproximadamente zero. Spins Desorientados. Altas Temperaturas (Acima da Crítica)  Alta Agitação.Altas Temperaturas (Acima da Crítica)  Alta Agitação. Baixas Temperaturas (Abaixo da Crítica).Baixas Temperaturas (Abaixo da Crítica).

Explicação teórica detalhada destas e outras propriedades magnéticasExplicação teórica detalhada destas e outras propriedades magnéticas Necessitam tratamento baseado na mecânica quântica.Necessitam tratamento baseado na mecânica quântica. Materiais Anti -Ferromagnéticos:Materiais Anti -Ferromagnéticos: Magnetização Resultante igual a zero e Spins Orientados (Spins Anti-Paralelos).Magnetização Resultante igual a zero e Spins Orientados (Spins Anti-Paralelos). Spins Orientados. Baixas Temperaturas (Abaixo da Crítica).Baixas Temperaturas (Abaixo da Crítica).

A energia de interação entre os Spins é dada por:A energia de interação entre os Spins é dada por: Explicação Modelo de Ising :Explicação Modelo de Ising : J = Constante de acoplamento entre os Spins:J = Constante de acoplamento entre os Spins: J>0 (Spins tendem a se alinhar Paralelamente)J>0 (Spins tendem a se alinhar Paralelamente) J<0 (Spins tendem a se alinhar Anti-Paralelamente)J<0 (Spins tendem a se alinhar Anti-Paralelamente) S i = Spin interagente. Pode ser +1 Spin Up (Para Cima) ou -1 Spin Down (Para Baixo) S j = Spin Vizinho interagente.S i = Spin interagente. Pode ser +1 Spin Up (Para Cima) ou -1 Spin Down (Para Baixo) S j = Spin Vizinho interagente. =Indica Soma Interação só com os Primeiros Vizinhos. =Indica Soma Interação só com os Primeiros Vizinhos. H =Campo Magnético Externo Aplicado. No nosso caso H=0.H =Campo Magnético Externo Aplicado. No nosso caso H=0.

Os passos (i) até (iv) são repetidos um grande número de vezes afim de se obter um resultado o mais próximo possível de uma observável. Implementação Numérica (Método de Metropolis):Implementação Numérica (Método de Metropolis): i) Para se obter a configuração do sistema no passo n + 1, um átomo da rede é escolhido ao acaso e seu spin é invertido. ii) A energia do sistema E f, associada a esta nova configuração, é então calculada. iii) Calcula-se a variação da energia do sistema  E=E f -E n, onde E n é a energia do sistema no n-ésimo passo. (a)Se a energia do sistema diminui, esta nova configuração é aceita. (b)Se a energia do sistema aumenta, a nova configuração é aceita com probabilidade P = exp(-(  E)/T).  E= +2J  S i S j iv) A configuração do sistema no passo n + 1 corresponderá àquela obtida com a mudança do spin do átomo escolhido ao acaso se a nova configuração for aceita segundo as regras descritas no item (iii). Caso ela seja rejeitada, a configuração do passo n + 1 será a mesma que o sistema possuía no passo n.

Exemplo Calculo da energia:Exemplo Calculo da energia: E n = -J  S i S j S i = +1 E n = -1(  S i S j )= -1 ( ) = +4 J = 1. E n+1 = -1(  (-S i ) S j )= -1 ( ) = -4 S i = -1  E = E n+1 - E n = -4 -(+4) = -8 Aceito essa nova configuração. Se  E > 0 Aceito a nova configuração se: exp(-  E / T) < P(E) < 1/2.

Condições de Contorno:Condições de Contorno: Usamos condições de contorno periódicas:(Toroidais)Usamos condições de contorno periódicas:(Toroidais) Observáveis Termodinâmicas e Magnéticas Medidas:Observáveis Termodinâmicas e Magnéticas Medidas: Magnetização Média:Magnetização Média: Energia Média:Energia Média: Susceptibilidade Magnética:Susceptibilidade Magnética: Capacidade Térmica:Capacidade Térmica:

Explicação Modelo de Ising Diluído:Explicação Modelo de Ising Diluído: Todo o método de interações e as propriedades termodinâmicas medidas e descritas anteriormente são as mesmas.Todo o método de interações e as propriedades termodinâmicas medidas e descritas anteriormente são as mesmas. Rede amorfa  É uma rede com sítios não magnético.Rede amorfa  É uma rede com sítios não magnético. Há desordem nos estados dos Spin. Mas não há desordem nas localizações dos Spin.Há desordem nos estados dos Spin. Mas não há desordem nas localizações dos Spin. Sistema denominado Resfriado, ou (“Quenched”).Sistema denominado Resfriado, ou (“Quenched”). Está relacionada com a densidade da rede.Está relacionada com a densidade da rede.

Resultados do Ising Puro:Resultados do Ising Puro: Temperatura Crítica Teórica  T c Teo = J/K BTemperatura Crítica Teórica  T c Teo = J/K B Temperatura Crítica Mod. Ising  T c Ising = J/K B.Temperatura Crítica Mod. Ising  T c Ising = J/K B.

Expoente Crítico Magnétização:Expoente Crítico Magnétização: M  ( T - T c ) -Bc  B c Ising = M  ( T - T c ) -Bc  B c Ising = B c teorico = 1/8 = 0.125B c teorico = 1/8 = 0.125

Resultados do Ising Diluído:Resultados do Ising Diluído: Densidade Crítica Téorico   c Téo = 0.59   c Ising = 0.5  0.6Densidade Crítica Téorico   c Téo = 0.59   c Ising = 0.5  0.6