Problema dos Carros Dois automóveis partem ao mesmo tempo de um ponto P, rumo a um ponto O de onde regressam ao ponto de partida sem parar. Ambos circulam com velocidade constante, no entanto, um deles faz toda a viagem a 50 km/h enquanto que o outro faz a viagem de ida a 60 km/h e a de volta a 40 km/h. Qual dos automóveis chega primeiro ao ponto de onde ambos partiram?

Caso Particular: Suponhamos que a distância percorrida pelos carros seja de 60 km Ida: Carro A vai a 50 km/h Carro B vai a 60 km/h Assim, demora 1h a percorrer 50km. Assim, demora 1h a percorrer 60km. 1h 50 km x 10 km x = 0.2 h = 12 minutos Demora 12min a percorrer 10km. Tempo de viagem do carro A= 1h 12 m Tempo de viagem do carro B= 1 h Carro A Carro B P O 60 Km

P O Volta: Carro A vai a 50 km/k Carro B vai a 40 km/h Assim, demora 1h a percorrer 40km. Análogo ao cálculo de Ida 1h 40 km Tempo de viagem = 1h 12m x 20 km x = 0.5 h = 30 minutos Tempo de viagem = 1h 30m Portanto, Tempo total da viagem do carro A= 1h12m + 1h12m = 2h 24m Tempo total da viagem do carro B= 1h + 1h30m = 2h30m Carro A Carro B P O O carro A chega primeiro. 60 Km

Leis do movimento uniforme v = velocidade = T d - distância percorrida T - tempo d Ida d Volta TIda = T Volta = v Ida v Volta TTotal = TIda + TVolta

Carro B Carro A Como , concluímos que o carro A chega primeiro.

Velocidades Médias: , dida = dvolta = d Então,

Portanto, x Concluindo, e Logo, o carro A chega primeiro.

Caso Geral v1 – velocidade na ida v2 – velocidade na volta A velocidade média do carro será sempre menor que a do carro que mantém a velocidade dado que vm é máxima quando v1 = v2. A velocidade média calculada a partir de duas velocidades não é assim a média (aritmética) dessas velocidades, mas sim a sua média harmónica.

E se v1 for zero? Assim, a velocidade média deste carro será zero e o outro carro chegará primeiro. E se v1 tender para infinito? 2v2

Representação Gráfica ( ) Percurso do carro B ( ) Percurso do carro A Ponto P: Este ponto corresponde ao cruzamento entre os carros A e B. Ponto Q: Este ponto corresponde à ultrapassagem do carro A ao carro B.

E se os carros aos 120 Km continuarem em frente até atingir os 240 Km? ( ) Percurso do carro B ( ) Percurso do carro A Ponto R: Este ponto corresponde à ultrapassagem do carro A ao carro B (neste caso, os automóveis não se cruzam) .

Pela observação dos dois gráficos, verifica-se que os carros A e B partem ao mesmo tempo e que o carro B vai a uma velocidade maior que a do carro A. Ao quilómetro 120, nota-se uma ligeira diminuição da velocidade do carro B o que possibilita uma ultrapassagem do carro A (representado nos pontos Q e R) que mantém a velocidade. E desta forma, o carro A termina a viagem primeiro que o carro B tal como nos indicam os dois gráficos.

Problema das torneiras Um tanque tem duas torneiras. Uma das torneiras demora 2 horas a enchê-lo, enquanto que a outra demora 3 horas. Quando abertas simultaneamente, quanto tempo demorarão a enchê-lo?  

Temos V – volume do tanque T - tempo que demora a encher o tanque ( em horas) Torneira 1: Torneira 2:

Quando as torneiras são abertas em simultâneo, temos: Portanto, as torneiras abertas simultaneamente demorarão 1h12min a encher o tanque.

Uma torneira demora 2h a encher um tanque Caso não nos recordássemos desta fórmula poderíamos resolver o problema da seguinte forma: Uma torneira demora 2h a encher um tanque Demora 6h a encher 3 tanques A outra torneira demora 3h a encher um tanque Demora 6h a encher 2 tanques

Assim, as duas torneiras em simultâneo demoram 6h a encher 5 tanques. Para determinar o valor que nos interessa basta aplicar uma regra de três simples. 6h x 5 tanques 1 tanque Portanto, as torneiras demorarão 1h12min a encher o tanque quando abertas simultaneamente.

Docente: Henrique Guimarães Trabalho realizado pelo Grupo C: Dainete Mendes nº 29434 Helena Correia nº 25674 Inês Martins nº 29223 Marta Sares nº 29739 Sara pereira nº 29640 Vera Damas nº 29153 Didáctica da Matemática 2005/2006