Árvores Prof. Dr. rer. nat. Daniel Duarte Abdala DAS 5102 – Fundamentos da Estrutura da Informação 1

Motivação Estrutura de dados muito utilizada – Permite a representação de dados de maneira hierárquica; – Fornece maneiras eficientes de busca; Quais são seus usos comuns? – Manipular dados hierárquicos – Manipular listar ordenadas de dados – Em algoritmos de roteamento de pacotes 2

Motivação - exemplo Objetivo: Ir de Floripa para Blumenau! 3 Floripa São José Tubarão Biguaçu Joinville Palhoça Garopaba Blumenau

Árvore de Busca 4 Floripa BiguaçuSão JoséGaropaba PalhoçaBiguaçuTubarão Blumenau Garopaba

Árvores - Grafos A BC FEDG A B C FE D G A B C FE D G É uma árvore – Conectado – acíclico – Não orientado Não é uma árvore – Conectado – Cíclico – Não orientado É uma arborecência – disconectado – acíclico – Não orientado 5 É uma árvore nada mais é que um tipo particular de grafo. Para que um grafo seja uma árvore o mesmo deve ser: – Conectado, – acíclico, – Não orientado A B C E D A BCED

Nível 2 Nível 1 Nó raiz Nomenclatura A C FEDG Nível 0 altura da árvore B Nós internos Folhas B E Nó pai Nó filho 6

Árvores Binárias A C FEDG B Subárvore esquerda Subárvore direita 7 Todo nó possui exatamente dois nós filhos – Exceto os nos folha, que devem possuir exatamente 0 filhos É muito útil para modelar situações em que precisam ser tomadas decisões bidirecionais em cada ponto de um processo

Árvores Binárias - Definições Árvore Binária Completa de nível d – Todas as folhas estejam no nível d Se contiver m nós no nível l, ela conterá no máximo 2m nós no nível l+1 Uma árvore binária completa de nível d contém exatamente 2 l nós em cada lível l entre 0 e d (profundidade d com exatamente 2 d nós no nível d 8

Árvores Binárias - Definições Número total de nós 9 Por indução Também é possível calcular o nível d de uma árvore binária completa se o número t n for conhecido. note que em geral, log 2 xx ≈

Árvore Binárias Quase Completas A B C F DE G A B H D E I D G J F K A B H D E I D G F 1.Todas as folhas da árvore devem estar localizadas no nível d ou no nível d-1; 2.Para cada nó nd na árvore com um descendente direto no nível d, todos os descendentes esquerdos de nd que forem folhas estiverem também no nível d. 10

Numeração de nós de árvores binárias A B H D E I D GF Os nós de uma árvore binária quase completa podem ser numerados 1 para a raiz Filho esquerdo = dobro do n. do pai Filho direito = dobro + 1 do n. do pai A numeração ajuda na implementação como será visto na aula prática (implementação por vetores) Facilita na localização de itens ABDDEFGHI

Exemplo: encontrar repetições 12 Encontrar todas as repetições numa lista de números – Comparar cada número com todos os que o prescedem – Por meio de uma árvore binária

Encontrar Repetições – Árvore Binária 13 Inserção: – pegue o primeiro elemento da lista e o faça a raiz da árvore binária; – Para cada elemento seguinte: Comparar com o nó raiz a.Se igual, acusar repetição b.Se menor, examinar a subárvore esquerda c.Se maior, examinar a subárvore da direita d.Se vazio, inserir o elemento sendo examinado

Percurso de Árvores Binárias 14 Não existe uma ordem “natural” para se percorrer uma árvore binária Existem três formas básicas: – Ordem Anterior (percurso em profundidade) – Ordem (ou em ordem simétrica) – Ordem Posterior

Algorítmos Recursivos 15 ordemAnterior(no) IMPRIMA no.valor SE no.esq ≠ null ENTAO ordemAnterior(no esq) SE no.dir ≠ null ENTAO ordemAnterior(no.dir) emOrdem(no) SE no.esq ≠ null ENTAO emOrdem(no.esq) IMPRIMA no.valor SE no.dir ≠ null ENTAO emOrdem(no.dir) ordemPosterior(no) SE no.esq ≠ null ENTAO emOrdem(no.esq) SE no.dir ≠ null ENTAO emOrdem(no.dir) IMPRIMA no.valor

Exemplo – ordemAnterior 16 A B DE C GF 5.H (4.a) 6.I (4.b) 7.E (3.b) 8.C (2.b) a.ant(F) b.ant(G) 9.F (8.a) 10.G (8.b) IH 1.ant([A,B,C,D,E,F,G,H,I])(init) 2.A a.ant([B,D,E,H,I]) b.ant([C,F,G]) 3.B (2.a) a.ant([D,H,I]) b.ant([E]) 4.D (3.a) a.ant([H]) b.ant([I])

1.ord([A,B,C,D,E,F,G,H,I])(init.) 2.ord([B,D,E,H,I]) 3.ord([D,H,I]) 4.ord([H]) 5.H 6.D 7.ord(I) 8.I 9.B 10.ord([E]) Exemplo – emOrdem 17 A B DE C GF IH 11.ord([C,F,G]) 12.ord([F]) 13.F 14.C 15.ord([G]) 16.G

Revisitando... Encontrar Repetições A ordem dos elementos na lista pode levar a criação de uma árvore não balanceada

Laboratório Desta Semana 19 Implementar uma árvore Binária – Usando arrays como estrutura de armazenamento – Usando ponteiros – Resolver o problema da identificação de números repetidos usando árvores binárias – Implementar os métodos de percurso Modificar a árvore binária para que seus nós possam armazenar diferentes tipos de dados (números e operadores)

Bibliografia da Aula A. A. Tenenbaum, Y. Langsam, M. J. Augenstein. Estruturas de Dados Usando C. Makron Books Ed pp. 303—406. (cap. 5) R. Sedegewick. Algorithms in C. Princeton University. Addison-Wesley Publishing Company pp 35— 50. (cap. 4) 20