Introdução aos Computadores e à Programação Recursividade e Funções Recursivas Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo Pedro Barahona DI/FCT/UNL Introdução aos Computadores e à Programação 2º Semestre 2007/2008

Funções Encadeadas Como foi visto em vários exemplos anteriores, na especificação de uma função podem ser chamadas outras funções, que por sua vez podem chamar outras funções. Assim uma função (e em último caso, um programa) pode ser vista como um encadeamento de funções. Por exemplo, a função ang_vec/2 chama a função mod_vec/2 na especificação abaixo indicada Em algumas linguagens de programação, em vez de funções são usados procedimentos, mas a filosofia de encadeamento é semelhante. De notar que o programa principal, pode ele próprio ser visto como uma função. function a = ang_vec(V1,V2); % retorna ângulo em graus M = prod_int(V1,V2)) cos = M /(mod_vec(V1) * mod_vec(V2)) a = acos(cos)*180/pi endfunction 2 Abril 2008 Recursividade Funções Recursivas. Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo

Funções Recursivas Um caso particular ocorre quando as funções se chamam a si próprias, isto é, quando as funções são recursivas. Um exemplo muito simples é o da função factorial, que pode ser definida (incompletamente) como fact(n) = n * fact(n-1) Nestas condições, tal como nos ciclos, levanta-se o problema da terminação. Se uma função se chama a si própria, existe o risco de a computação se tornar infinita (entrar em ciclo fechado ou “loop”). É pois condição necessária para evitar estes ciclos infinitos que sejam definidas e testadas em primeiro lugar as condições de fim da recursividade. 2 Abril 2008 Recursividade Funções Recursivas. Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo

Funções Recursivas Em geral, a recursividade é feita com base num conjunto recursivo (indutivo), definido através de cláusulas de base; um ou vários elementos de base (que fecham a recursão) de recursão: uma definição recursiva que permite a obtenção de elementos a partir de outros elementos. Num grande número de casos, o conjunto recursivo utilizado é o conjunto dos numeros inteiros, em que 1 (ou 0) é um número inteiro (cláusula de base) Se i é inteiro, i+1 também é inteiro (cláusula de recursão) Tendo em conta esta estrutura recursiva, podemos definir (correctamente) a função factorial tendo em conta a cláusula de base e a cláusula recursiva: 2 Abril 2008 Recursividade Funções Recursivas. Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo

Funções Recursivas No caso da função factorial basta então testar inicialmente se o parâmetro de entrada é nulo. Em pseudo-código, a função é definida como Em Octave é definida de uma forma semelhante função fact(n) se n = 0 então fact  1 % elemento base senão fact  n * fact(n-1) % definição recursiva fimse; fimfunção; function f = fact(n) if n == 0 f = 1 else f = n*fact(n-1) endif; endfunction; 2 Abril 2008 Recursividade Funções Recursivas. Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo

Limites à Recursividade De notar que para prevenir os ciclos infinitos, o Octave tem uma variável prédefinida, max_recursion_depth, que limita o número de chamadas recursivas de uma função. Por omissão (“default”), o valor da variável é 256, pelo que não se pode calcular fact(260) sem alterar o valor da variável. Existem várias outras funções recursivas em que pode existir mais do que um elemento base ou em que o conjunto recursivo é mais difícil de definir. Em qualquer caso é essencial definir a condição de terminação. Para exemplificar estas funções, estudamos de seguida a determinação dos números de Fibonacci e o cálculo do maior divisor comum entre dois números. 2 Abril 2008 Recursividade Funções Recursivas. Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo

Função Fibonacci (Recursiva) Fibonacci (matemático da Renascença italiana) estabeleceu uma série curiosa de números para modelar o número de casais de coelhos em sucessivas gerações. Em cada geração, o número pode ser obtido através dos das 2 gerações anteriores através de fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2) Assumindo que nas primeiras duas gerações só existe um casal de coelhos, os sucessivos números de Fibonacci são 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, ... Estes números ocorrem em vários processos biológicos (e não só), por exemplo, no número de pétalas de algumas flores. A sua determinação recursiva impõe o cálculo directo do valor para 2 elementos de base (a 1ª e a 2ª geração). 2 Abril 2008 Recursividade Funções Recursivas. Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo

Função Fibonacci (Recursiva) Em Octave, a obtenção dos números de Fibonacci pode ser feita muito facilmente através da função recursiva abaixo (em Octave) Como é fácil de constatar, se o número n inicial for maior ou igual a 1, a recursão termina. No entanto, se se chamar fib(0) a computação não termina (em Octave termina quando o número de chamadas recursivas exceder o valor da variável max_recursion_depth)! function f = fib(n); if n == 1 % 1º elemento base f = 1; elseif n == 2 % 2º elemento base else % definição recursiva f = fib(n-1) + fib(n-2); endif; endfunction; 2 Abril 2008 Recursividade Funções Recursivas. Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo

Máximo Divisor Comum (Função Recursiva) Como se sabe, o máximo divisor comum (mdc) entre dois números m e n é também um divisor da sua diferença, m-n. Por exemplo, o mdc de 60 e 36 é 12, que divide 24 = 60-36. Por outro lado, o mdc dos dois números m e n é ainda o mdc do menor número (n) com a diferença (m-n). Se houvesse um divisor comum maior, ele seria igualmente divisor de n, contrariamente à hipótese. Assim, pode determinar-se o mdc de dois números através da determinação do mdc de números cada vez menores. A computação termina quando os números forem iguais, caso em que o mdc é esse número. Por exemplo: 60 - 36 = 24 ; 36 – 24 = 12; 24 – 12 = 12; 12 = 12 ! % 12 é o mdc de 60 e 36 2 Abril 2008 Recursividade Funções Recursivas. Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo

Máximo Divisor Comum (Função Recursiva) Em Octave, pode determinar-se o maior divisor comum de dois números com a função seguinte De notar que antes da chamada recursiva deve ser verificado qual o maior dos argumentos de entrada (para não se chamar a função com argumentos negativos!) function d = mdc(m,n); if m == n d = m; elseif m > n d = mdc(m-n,n); else d = mdc(n-m,m); endif; endfunction; 2 Abril 2008 Recursividade Funções Recursivas. Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo

Recursão e Iteração Uma função definida recursivamente pode ser igualmente definida de uma forma iterativa (através de ciclos). Em geral, a definição recursiva é mais “declarativa” na medida em que explicita o que se pretende obter e não a forma como se obtém (ou seja, um determinado programa que é usado). Por outro lado, uma definição iterativa, embora não permita uma compreensão tão imediata, é geralmente mais eficiente, já que as instruções de programação de baixo nível para a iteração são mais eficientes que as de chamadas de funções. No entanto, estas diferenças são geralmente pouco importantes, excepto em casos de recursão múltipla, em que a ineficiência pode ser “catastrófica”. function f = fact_ite(n); f = 1; for i = n:-1:1 f = f * i; endif; endfunction; function f = fact_rec(n); if n == 1 f = 1 else f = n * fact_rec(n-1); endif; endfunction; 2 Abril 2008 Recursividade Funções Recursivas. Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo

Recursão e Iteração Esta é a situação da função de Fibonacci, em que o seu valor depende de 2 chamadas recursivas. Como as chamadas são independentes, a mesma função acaba por ser recalculada várias (muuuuu...itas !) vezes. Na realidade, o número de funções chamadas é o próprio número de fibonacci (7/1, 6/1, 5/2, 4/3, 3/5, 2/8) que aumenta exponencialmente com o valor de n. 7 5 3 2 1 4 6 function f = fib(n); if n <= 2 f = 1 else f = fib(n-1)+fib(n-2); endif; endfunction; 2 Abril 2008 Recursividade Funções Recursivas. Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo

Recursão e Iteração Para se ter uma ideia do aumento, podemos notar que apesar de inicialmente pequenos os números tornam-se rapidamente “grandes” !!! ou mesmo “enormes” !!! tornando proibitiva a sua computação recursiva (normal). 2 Abril 2008 Recursividade Funções Recursivas. Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo

Memorização Por vezes é possível aliar a declaratividade da versão recursiva, com a eficiência da versão iterativa, através da memorização dos valores já computados. Por exemplo se se pretenderem os primeiros 100 números de fibonacci, pode criar-se um vector, fib_vec, com os valores já determinados. Se fib_vec(n) ainda não contiver o valor de fib(n), então determina-se fib(n) e regista-se esse valor em fib_vec(n). Caso contrário, retorna-se simplesmente o valor de fib_vec(n). Para que este esquema seja posível, é necessário que a tabela fib_m seja visível por todas as instâncias da função fib(n). Para evitar passá-la como parâmetro deve declarar-se como uma variável global. Em Octave, para que uma variável seja global, ela deve ser declarada no programa principal com a declaração global. No caso actual, se se pretende um vector linha com 100 elementos inicializados a zero, devemos declarar a variável global global fib_vec = zeros(1,100) 2 Abril 2008 Recursividade Funções Recursivas. Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo

Memorização Uma vez declarada uma variável global, ela só pode ser eliminada através da declaração clear. Se pretendermos um vector com 200 elementos deveremos fazer clear fib_vec global fib_vec = zeros(1,200) Para que na função a variável, fib_vec considerada seja a variável global e não uma variável local, a variável deve ser identificada novamente como global. function f = fib_mem(n); % versão recursiva com memória global fib_vec; if fib_vec(n) == 0 % se o valor ainda não foi calculado if n <= 2 % determina esse valor ... fib_vec(n) = 1; else fib_vec(n) = fib_mem(n-1)+fib_mem(n-2); endif endif; f = fib_vec(n); % e atribui o valor memorizado à função endfunction; 2 Abril 2008 Recursividade Funções Recursivas. Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo

Aleatoriedade Em muitas aplicações informáticas, nomeadamente em simulações que utilizam processos aleatórios ou estocásticos, muito utilizadas em engenharia. Um processo aleatório é aquele cujo resultado não é conhecido com rigor, mas que obedece a uma distribuição de probabilidades. Por exemplo, no lançamento de uma moeda ao ar, não se conhece o resultado a priori, mas, se a moeda não estiver viciada, assume-se que cerca de 50% das vezes sai cara, enquanto que nas outras cerca de 50% de vezes sai coroa. Já o número de vezes que no lançamento de um dado sai um “2” é de 1/6 (ou 16.66%). Tais processos podem ser simulados com recurso a números (pseudo-) aleatórios, conhecidos como processos ou simulações de Monte Carlo. Estes números são obtido por um gerador de números aleatórios, que no caso do Octave é invocado pela função pre-definida rand(), ou simplesmente rand. Esta função retorna um número aleatório entre no intervalo [0, 1[ de cada vez que é invocada. 2 Abril 2008 Recursividade Funções Recursivas. Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo

Exemplos: Moeda ao ar e Lançamento de um Dado Por exemplo o processo de n lançamentos de uma moeda ao ar, em que 1 significa caras e 2 significa coroas, pode ser simulado pela função Já o lançamento de dados pode ser simulado pela função function L = moeda(n); for i = 1:n if rand > 0.5 L(i) = 1 else L(i) = 2 endif end for endfunction function L = dado(n); for i = 1:n r = rand; if r < 1/6 L(i) = 1; elseif r < 2/6 L(i) = 2; ... elseif r < 5/6 L(i) = 5 else L(i) = 6 endif end for endfunction 2 Abril 2008 Recursividade Funções Recursivas. Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo

Exemplos: Moeda ao ar e Lançamento de um Dado Na realidade, para grandes números a frequência aproxima-se da probabilidade, isto é, se lançarmos 10 vezes uma moeda ao ar, o número de caras deve ser próximo de 5, pois a probabilidade de sair caras é ½ e ½ *10 = 5. Em geral a frequência de ocorrrência de um valor aleatório aproxima-se da sua probabilidade para grandes valores de n. Mais formalmente, denotando por p(X=a) ou simplesmente pa, a probabilidade de um evento X tomar o valor A; n o número de eventos e ea o valor esperado do número de ocorrências de X=a fa o número efectivo de ocorrências de X=a temos ea = n*pa ; e fa ≈ ea, devendo o erro relativo (n) = ( fa – ea)/ n diminuir com o aumento do número de eventos. 2 Abril 2008 Recursividade Funções Recursivas. Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo

Passeio Aleatório Exemplo: Uma pessoa pretende percorrer um passeio entre as duas vias de uma estrada, em que começando no centro do passeio, pode guinar até k vezes para a direita ou a esquerda antes de sair do passeio e ser atropelada. Estando “bêbada”, em cada passo que dá tem uma probabilidade de 50% de guinar para a direita .e outra igual de guinar para a esquerda. Sabendo-se que deverá dar n passos, qual a probabilidade de chegar ao fim da estrada sem sair do passeio? Para resolver este problema, basta utilizar a função passeio, que para um número total de percursos de n passos num passeio que admite k desvios, conta o número na de “atropelamentos”. Naturalmente a função passeio utiliza uma função atropelado que deve retornar 1 se houver atropelamento e 0 no caso contrário. function p = passeio(n,k,total); na = 0; for i = 1:total na = na + atropelado(n,k); endfor p = na/total endfunction 2 Abril 2008 Recursividade Funções Recursivas. Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo

Passeio Aleatório Para a função atropelado, vamos considerar uma variável desvio, que começa em 0 e vai acumulando os desvios para a direita e para a esquerda. Se conseguir chegar ao fim do ciclo for sem atingir um desvio, em módulo, maior que k, a função retorna 0. De notar que logo que o desvio seja maior que k, a função pode retornar imediatamente o valor 1, saindo do ciclo for com a instrução de excepção return. function p = atropelado(n,k); p = 0; desvio = 0; for i = 1:n if rand > 0.5 d = 1; else d = -1; endif; desvio = desvio + d; if abs(desvio) > k p = 1; return; endif endfor endfunction 2 Abril 2008 Recursividade Funções Recursivas. Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo

Área de uma Curva Os numeros aleatórios também podem ser utilizados na determinação aproximada de áreas. O raciocínio é o seguinte: Contornemos a área a determinar A, por uma área conhecida, B Consideremos um conjunto aleatório de pontos na área conhecida, e contabilizar a percentagem p de pontos que “cai” dentro da área a determinar. A área A pode ser aproximada por A ≈ pB . Exemplo: Calculemos a área do ¼ de circulo de raio 1 ao lado. A área B é naturalmente de 1 A área do ¼ de circulo deve ser próxima de /4 1 A B Falta determinar a forma de gerar pontos aleatórios no quadrado, o que se pode fazer facilmente gerando x e y aleatórios no intervalo [0,1[ e verificando se ficam abaixo da função y = sqrt(1-x2) 2 Abril 2008 Recursividade Funções Recursivas. Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo

Área de uma Curva Este algoritmo está implementado na função pi_prob abaixo indicada. O ciclo for gera n pontos <x,y>, Destes n pontos , c estão abaixo da curva do ¼ círculo. A área do ¼ de círculo é a fracção c/n da área do quadrado (1*1) O valor de pi é 4 vezes a área function p = pi_prob(); c = 0; for i = 1:n; x = rand(); y = rand(); if y < sqrt(1-x^2) c = c+1; endif endfor area = (1*1)* c/n; p = 4*area; endfunction 1 A B 2 Abril 2008 Recursividade Funções Recursivas. Aleatoriedade e Processos de Monte Carlo