Uma Metaheurística VNS aplicada ao Problema do Maior Conjunto Controlado Ivairton Monteiro Santos - UFF Carlos Alberto Martinhon - UFF Luis Satoru Ochi - UFF

Tópicos Conceitos básicos do problema Problema da Verificação de Monopólio - PVM Problema do Maior Conjunto Controlado - PMCC Regras de redução Algoritmo de Makino et al. [2002] VNS/VND aplicados ao PMCC Resultados obtidos Trabalhos futuros

Definição do Problema: Conceitos Básicos Considerando um grafo não orientado G=(V,E) e M Í V Definição 1: Vizinhança de um vértice v Î V NG[v] = {w V | (w, v)  E} U {v} Definição 2: Um vértice v é controlado por M Í V  |NG[v]M|  |NG[v]|/2 Exemplo: Não Controlado Controlado

Problema da Verificação de Monopólio - PVM (Makino et al.[2002]) Considere: G1=(V, E1) e G2=(V, E2), tal que E1  E2 e M  V Questão:  G=(V, E) tal que E1  E  E2 e M seja monopólio em G ? G2=(V,E2) Complexidade Polinomial:

Problema do Maior Conjunto Controlado Se o problema de monopólio retorna “NÃO”, então tenta-se controlar o maior número de vértices possíveis. Problema NP-Difícil [Makino et al. 2002] Não Controlado Controlado

Regras de Redução Exemplo: Nunca Controlado Indefinido Sempre Controlado

Regras de Redução Nunca Controlado Indefinido Sempre Controlado

Regras de Redução As regras de redução visam reduzir o número de arestas optativas. 1 ou 0 1 ? – Espaço de busca

Algoritmo de Makino et al. [2002] Heurística MYK 0,5-aproximada Não Controlado Controlado

Variable Neighborhood Descent VND O VND e VNS buscam encontrar ótimos locais variando suas estruturas de vizinhança. Estruturas de Vizinhanças NXY X = número de vértices a serem descontrolados Y = número de vértices a serem controlados Y > X Exemplos: N0Y = Controlar pelo menos 1 vértice, sem descontrolar nenhum. N1Y = Controlar pelo menos 2 vértices, descontrolando apenas 1.

Estruturas de Vizinhança (cont.) N0Y Vizinhança N1Y Não Controlado Controlado

Alguns Resultados Computacionais

Trabalhos Futuros Apresentar uma extensão do problema, considerando-se pesos distintos p/ cada nó. Implementar novas estratégias p/ determinação de boas soluções iniciais. Inserir novas estrut. de vizinhança (p/ VNS e VND) Comparar c/ heurística (Martinhon&Protti[2003]) onde y* é o valor da Relax. Linear