David Menotti Algoritmos e Estruturas de Dados I DECOM – UFOP Árvores David Menotti Algoritmos e Estruturas de Dados I DECOM – UFOP

Conceitos básicos Organiza um conjunto de acordo com uma estrutura hierárquica. Contém elementos que são chamados de nós O “pai de todos” é a raiz – 1º. da hierarquia O contéudo de um nó pode ser de qualquer tipo que se deseje representar Algoritmos e Estrutura de Dados I

Definição (Aho, Hopcroft e Ullman - 1983) Um único nó é uma árvore. Este nó é raiz da árvore. Suponha que n é um nó e T1, T2, ..., Tk sejam árvores com raizes n1, n2, ... , nk, respectivamente. Podemos construir uma nova árvore tornando n a raiz e T1, T2, ...., Tk sejam subárvores da raiz. Nós n1, n2, ..., nk são chamados filhos do nó n. Algoritmos e Estrutura de Dados I

Caminho Um caminho de ni a nk, onde ni é antecedente a nk, é a sequência de nós para se chegar de ni a nk. Se ni é antecedente a nk, nk é descendente de ni O comprimento do caminho é o número de nós do caminho – 1. Algoritmos e Estrutura de Dados I

Outros conceitos Nó que não tem antecedente: raiz; Nós que não tem descendentes são chamados de nós folhas. (Os outros são os nós internos) A altura de um nó na árvore é o caminho de maior comprimento que se pode fazer deste nó a uma folha. A altura da árvore é a altura de sua raiz. A profundidade de um nó é o comprimento da raiz até o nó (só existe um caminho) Algoritmos e Estrutura de Dados I

Caminhamento A ordem dos filhos dos nós em uma árvore pode ser ou não significativa. Exemplos, no heap, a ordem dos filhos não tem significado Outros casos, pode se ter um significado (como veremos em pesquisa em árvores binárias) Considera-se que se a e b são nós irmãos, e a está à esquerda de b, então todos seus descendentes estão à esquerda de b e todos os descendentes de b. Algoritmos e Estrutura de Dados I

Caminhamento Diversas formas de percorrer ou caminhar em uma árvore listando seus nós, as principais: Pré-ordem (Pré-fixa) Central (Infixa) Pós-ordem (Pós-fixa) Para todas elas: Se T é uma árvore nula, então a lista é nula. Se T é uma árvore de um único nó então a lista contém apenas este nó. O tratamento é diferenciado para os filhos O que muda é a ordem de apresentação da raiz. Algoritmos e Estrutura de Dados I

Pré-Ordem Pré-ordem: lista o nó raiz, seguido de suas subárvores (da esquerda para a direita), cada uma em pré-ordem. Procedimento PREORDEM (n: TipoNo); Início Lista(n); Para cada filho f de n, da esquerda para direita faça PREORDEM(f); Fim Algoritmos e Estrutura de Dados I

Central Central: lista os nós da 1ª. subárvore à esquerda usando o caminhamento central, lista o nó raiz n, lista as demais subárvores (a partir da 2ª.) em caminhamento central (da esquerda para a direita) Procedimento CENTRAL (n: TipoNo); Início Se Folha(n) então /* Folha retorna se n é uma folha da árvore ou não */ Lista(n); Senão CENTRAL (FilhoMaisEsquerda(n)); Lista (n); Para cada filho f de n, exceto o mais à esquerda, da esquerda para a direita faça CENTRAL (f); Fim; Algoritmos e Estrutura de Dados I

Pós-Ordem Pós-ordem: Lista os nós das subárvores (da esquerda para a direita) cada uma em pós-ordem, lista o nó raiz. Procedimento POSORDEM Início Para cada filho f de n, da esquerda para direita faça POSORDEM(f); Lista(n); Fim; Algoritmos e Estrutura de Dados I

Exercício Crie um TAD TArvoreBin em C cuja informação seja um inteiro e possua ponteiros para duas sub-árvores: esquerda e direita; Escreva funções que recebam um ponteiro para a raiz da árvore e façam: o caminhamento pré-ordem o caminhamento pós-ordem o caminhamento central Algoritmos e Estrutura de Dados I

TAD TArvoreBin typedef int TItem; typedef struct TArvoreBin* Apontador; typedef struct TArvoreBin { TItem Item; Apontador pEsq; Apontador pDir; } TArvore; Algoritmos e Estrutura de Dados I

Caminhamento: PreOrder void PreOrderRec(TArvoreBin* pRaiz) { if (pRaiz == NULL) return; printf(“%d\t”,pRaiz->Item); PreOrderRec(pRaiz->pEsq); PreOrderRec(pRaiz->pDir); } Algoritmos e Estrutura de Dados I

Caminhamento: InOrder void InOrderRec(TArvoreBin* pRaiz) { if (pRaiz == NULL) return; InOrder(pRaiz->pEsq); printf(“%d\t”,pRaiz->Item); InOrder(pRaiz->pDir); } Algoritmos e Estrutura de Dados I

Caminhamento: PostOrder void PostOrderRec(TArvoreBin* pRaiz) { if (pRaiz == NULL) return; PostOrder(pRaiz->pEsq); PostOrder(pRaiz->pDir); printf(“%d\t”,pRaiz->Item); } Algoritmos e Estrutura de Dados I

Caminhamento: PreOrder não recursivo void PreOrderIt(TArvoreBin* pRaiz) { TArvoreBin* pAux; TPilha P; FPVazia(&P); PEmpilha(&P,&pRaiz); while(!PEhVazia(&P)) PDesempilha(&P,&pAux); if (pAux == NULL) continue; printf(“%d\t”,pAux->Item); PEmpilha(&P,pAux->pDir); PEmpilha(&P,pAux->pEsq); } Algoritmos e Estrutura de Dados I

Caminhamento: InOrder não recursivo void InOrderIt(TArvoreBin* pRaiz) { TArvoreBin* pAux; TPilha P; FPVazia(&P); PEmpilha(&P,pRaiz); pAux = pRaiz->pEsq; while(!PEhVazia(&P) || pAux != NULL) if (pAux == NULL) PDesempilha(&P,&pAux); printf("%d\t",pAux->Item); pAux = pAux->pDir; } else PEmpilha(&P,pAux); pAux = pAux->pEsq; Algoritmos e Estrutura de Dados I

Caminhamento: PostOrder não recursivo void PostOrderIt(TArvoreBin* pRaiz) { TArvoreBin *pAux; TPilha P1,P2; FPVazia(&P1); FPVazia(&P2); PEmpilha(&P2,pRaiz); pAux = pRaiz; while(!PEhVazia(&P2) ) PDesempilha(&P2,&pAux); PEmpilha(&P1,pAux); if (pAux->pEsq != NULL) PEmpilha(&P2,pAux->pEsq); if (pAux->pDir != NULL) PEmpilha(&P2,pAux->pDir); } while(!PEhVazia(&P1) ) PDesempilha(&P1,&pAux); printf("%d\t",pAux->Item); Algoritmos e Estrutura de Dados I

Classificação de Árvores Árvore Estritamente Binária Se cada nó não-folha em uma árvore binária não tem subárvores esquerda e direita vazias Algoritmos e Estrutura de Dados I

Classificação de Árvores Árvore Binária Completa Uma árvore binária completa de nível n é a árvore estritamente binária, onde todos os nós folhas estão no nível n. Algoritmos e Estrutura de Dados I

Classificação de Árvores Árvore Binária Quase Completa Uma árvore binária de nível n é uma árvore binária quase completa se: Cada nó folha na árvore esta no nível n ou no nível n-1 Para cada nó nd na árvore com um descentente direito no nível n, todos os descendentes esquerdos de nd que são folhas estão também no nível n Algoritmos e Estrutura de Dados I