Prof. Eduardo Henrique Couto Universidade do Estado de Santa Catarina – UDESC Centro de Ciências Tecnológicas – CCT Departamento de Engenharia Mecânica – DEM Sistemas de Controle (CON) Modelagem de Sistemas de Rotação e Eletromecânicos Aula 03 e 04 2014/2 Prof. Eduardo Henrique Couto

Plano de Aula Sistemas mecânicos de rotação Engrenagens ideais Sistemas eletromecânicos Sistemas de nível de líquido Sistemas térmicos Exemplos

Sistemas Mecânicos de Rotação Lei fundamental da mecânica de rotação torques =momento de inércia∙aceleração angular

Sistemas de Rotação Básicos Sistema torque - momento de inércia 𝝉 𝒕 =𝐽𝜶 𝒕 =𝐽 𝑑𝝎 𝒕 𝑑𝑡 =𝐽 𝑑 2 𝜽 𝒕 𝑑 𝑡 2 𝜶(𝒕): vetor aceleração angular resultante em função do tempo 𝝎(𝒕): vetor velocidade angular resultante em função do tempo 𝜽(𝒕): vetor deslocamento angular resultante em função do tempo 𝝉(𝒕): vetor torque resultante em função do tempo 𝐽: momento de inércia total do eixo

Sistemas de Rotação Básicos Sistema torque - mola 𝝉 𝒕 =𝐾𝜽 𝒕 =𝐾 𝝎 𝒕 𝑑𝑡=𝐾 𝜶 𝒕 𝑑𝑡 𝜶(𝒕): vetor aceleração angular resultante em função do tempo 𝝎(𝒕): vetor velocidade angular resultante em função do tempo 𝜽(𝒕): vetor deslocamento angular resultante em função do tempo 𝝉(𝒕): vetor torque resultante em função do tempo 𝐾: constante elástica de torção da mola

Sistemas de Rotação Básicos Sistema torque - amortecedor 𝝉 𝒕 =𝐵𝝎 𝒕 =𝐵 𝑑𝜽 𝒕 𝑑𝑡 =𝐵 𝜶 𝒕 𝑑𝑡 𝜶(𝒕): vetor aceleração angular resultante em função do tempo 𝝎(𝒕): vetor velocidade angular resultante em função do tempo 𝜽(𝒕): vetor deslocamento angular resultante em função do tempo 𝝉(𝒕): vetor torque resultante em função do tempo 𝐵: constante de atrito viscoso do amortecedor

Rotação - Engrenagens Ideais Supostas rígidas Não possuem atrito Não possuem momento de inércia

Rotação - Engrenagens Ideais Conjugado: 𝝉 𝟐 (𝒕) 𝝉 𝟏 (𝒕) = 𝑟 2 𝑟 1 = 𝑁 2 𝑁 1 Potência: 𝝉 𝟏 (𝒕) 𝝎 𝟏 𝒕 = 𝝉 𝟐 (𝒕) 𝝎 𝟐 𝒕 𝝎(𝒕): vetor velocidade angular em função do tempo 𝒗(𝒕): vetor velocidade no ponto de contato em função do tempo 𝝉(𝒕): vetor torque em função do tempo 𝒇(𝒕): vetor força no ponto de contato em função do tempo 𝑁: número de dentes da engrenagem 𝑟: raio da engrenagem

Sistemas Mecânicos de Rotação Exemplo 1 𝐽 𝑟𝑒𝑓 = 𝐽 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑁 𝑟𝑒𝑓 𝑁 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 2 Na figura, temos a representação de um sistema de rotação dotado de um jogo de engrenagens supostas ideais. Os vetores de movimento e as constantes envolvidas, bem como o torque (conjugado motor) 𝐶 𝑚 , que age sobre o primeiro rotor, estão devidamente indicados. Note que o segundo eixo, ao contrário do primeiro que é rígido, apresenta uma constante elástica de torção 𝐾. Desenvolva as equações que modelam esse sistema.

Sistemas Eletromecânicos Associação de dispositivos elétricos ou eletromagnéticos com dispositivos mecânicos. Variáveis de entrada e saída: Exemplo clássico: alto-falante Grandeza Elétrica Grandeza Mecânica

Sistemas Eletromecânicos Servomotor de corrente contínua controlado pelo circuito de armadura 𝒊 𝒂 (𝒕): vetor corrente de armadura 𝒆(𝒕): vetor força eletromotriz 𝝎(𝒕): vetor velocidade angular resultante 𝑪 𝒎 (𝒕): vetor conjugado motor (torque) 𝐽: momento de inércia do motor 𝐾 𝑚 : constante de ganho do motor 𝐵: constante de atrito viscoso do motor

Sistemas Eletromecânicos Equação do circuito de armadura 𝒗 𝒂 (𝒕)= 𝐿 𝑎 𝑑 𝒊 𝒂 (𝒕) 𝑑𝑡 + 𝑅 𝑎 𝒊 𝒂 (𝒕)+𝒆(𝒕) Equação da força eletromotriz induzida 𝒆 𝒕 = 𝐾 𝑚 𝝎(𝒕) Equação do conjugado eletromagnético 𝑪 𝒎 (𝒕)= 𝐾 𝑚 𝒊 𝒂 (𝒕) Equação do conjugado eletromecânico 𝑪 𝒎 (𝒕)=𝐽 𝑑𝝎(𝒕) 𝑑𝑡 +𝐵𝝎(𝒕)

Sistemas Eletromecânicos Funcionamento em regime permanente 𝑑𝝎(𝒕) 𝑑𝑡 =0 𝑑 𝒊 𝒂 (𝒕) 𝑑𝑡 =0 𝒗 𝒂 = 𝑅 𝑎 𝒊 𝒂 +𝒆 𝒆= 𝐾 𝑚 𝝎 𝑪 𝒎 = 𝐾 𝑚 𝒊 𝒂 𝑪 𝒎 =𝐵𝝎

Sistemas Eletromecânicos Característica de conjugado em regime permanente 𝑪 𝒎 (𝝎)= 𝐾 𝑚 𝑅 𝑎 ( 𝒗 𝒂 − 𝐾 𝑚 𝝎)

Sistemas Eletromecânicos Característica de velocidade em regime permanente 𝝎( 𝒗 𝒂 )= 𝐾 𝑚 𝐾 𝑚 2 +𝐵𝑅 𝑎 𝒗 𝒂

Sistemas Eletromecânicos Característica de potência em regime permanente 𝑃 𝝎 = 𝐾 𝑚 𝒗 𝒂 𝑅 𝑎 − 𝐾 𝑚 2 𝑅 𝑎 𝝎 𝝎 𝑃 𝑟𝑒𝑠𝑡 =𝐵 𝝎 2 𝝎 𝑚á𝑥 = 𝒗 𝒂 𝐾 𝑚 𝑃 𝑚á𝑥 = 𝒗 𝒂 2 4𝑅 𝑎

Sistemas Eletromecânicos Exemplo 2 Um servomotor de imã permanente tem resistência de armadura de 𝑅 𝑎 =2,33 Ω, conjugado máximo (para 𝜔=0), 𝐶 𝑚á𝑥 =0,25 𝑁𝑚 e tensão nominal de 𝑣 𝑎 =14 𝑉. Determine para essa tensão: a) a velocidade máxima ( 𝜔 𝑚á𝑥 ); b) a característica de conjugado; c) a potência máxima; d) o ponto de operação (𝜔, 𝑃) para um conjugado de carga constante 𝐶 0 =0,001 𝑁𝑚.

Sistemas de Nível de Líquidos Equação de variação de volume vazões =𝜟volume

Elementos Básicos de Nível Resistência (de válvulas) 𝑅= 𝑑𝒉(𝒕) 𝑑𝒒(𝒕) Fluxo Laminar 𝒒 𝒕 ∝𝒉 𝒕 →𝒒 𝒕 =𝐾𝒉(𝒕)→𝑅= 𝒉(𝒕) 𝒒(𝒕) Fluxo Turbulento 𝒒 𝒕 ∝ 𝒉 𝒕 →𝒒 𝒕 =𝐾 𝒉 𝒕 →𝑅(𝑡)= 2𝒉(𝒕) 𝒒(𝒕) 𝒉(𝒕): nível de fluido em função do tempo 𝒒(𝒕): vazão de fluido em função do tempo 𝑅: resistência à passagem de fluido

Elementos Básicos de Nível Capacitância (de reservatórios) 𝐶= 𝑑𝒗(𝒕) 𝑑𝒉(𝒕) Reservatórios com seção transversal constante 𝐶= 𝑑𝒗(𝒕) 𝑑𝒉(𝒕) = 𝐴𝑑𝒉(𝒕) 𝑑𝒉(𝒕) =𝐴 𝒗(𝒕): volume de fluido em função do tempo 𝒉(𝒕): nível de fluido em função do tempo 𝐴: área da seção transversal do reservatório 𝐶: capacitância do reservatório

Sistemas de Nível de Líquidos Exemplo 1 Considere o sistema de nível composto por dois tanques, como ilustrado. Adotando os referenciais nulos no ponto de equilíbrio da planta, desenvolva as equações que relacionam a vazão de entrada do primeiro tanque 𝑞 𝑖𝑛 (𝑡) com o nível ℎ 2 (𝑡) do segundo tanque.

Sistemas Térmicos fluxo de calor ∝𝜟temperatura Transferência de calor por condução ou convecção fluxo de calor ∝𝜟temperatura fluxo de calor =𝐾𝜟temperatura =𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎∙𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜∙taxa variação temperatura [kcal/s]

Sistemas Térmicos Transferência de calor por condução ou convecção Coeficiente 𝐾 para condução [kcal/soC] 𝐾=𝑘 𝐴 𝑋 Coeficiente 𝐾 para convecção [kcal/soC] 𝐾=𝐻𝐴 𝑘: condutividade térmica [kcal/msoC] 𝐴: área normal ao fluxo de calor [m2] 𝑋: espessura do condutor [m] 𝐻: coeficiente de convecção [kcal/m2soC]

Elementos Térmicos Básicos Resistência térmica 𝑅= 𝑑𝜟𝜽(𝒕) 𝑑𝒒(𝒕) = 1 𝐾 = 𝜟𝜽(𝒕) 𝒒(𝒕) 𝜟𝜽(𝒕): diferença de temperatura em função do tempo [oC] 𝒒(𝒕): fluxo de calor em função do tempo [kcal/s] 𝐾: coeficiente de condução ou convecção [kcal/soC] 𝑅: resistência térmica [oC/kcal]

Elementos Térmicos Básicos Capacitância térmica 𝐶=𝑀𝑐 𝑀: massa do meio térmico considerado [kg] 𝑐: calor específico do meio térmico [kcal/kgoC] 𝐶: capacitância térmica [kcal/oC]

Sistemas Térmicos Exercício 2 Considere um sistema formado por um termômetro de mercúrio de parede muito fina de vidro. Supondo que ele esteja a uma temperatura constante 𝜃 e seja mergulhado em um banho com temperatura 𝜃 𝑏 obtenha o modelo matemático desse sistema. Estabeleça nesse sentido condições iniciais nulas, ou seja, considere a temperatura inicial do termômetro zero (ou de outro modo, considere 𝜃 a variação de temperatura com relação ao equilíbrio).