 Exemplo Convexo: Kocis e Grossmann (1987) Exemplos  Exemplo Convexo: Kocis e Grossmann (1987)  Objetivo: definir a melhor configuração dos processos A2 B2 Processo 2 Processo 1 C B1 Processo 3 A3 B3

 Formulação do modelo MINLP do problema Exemplos  Formulação do modelo MINLP do problema z = min -[11C-7B1-B2-1.2B3+1.8(A2+A3)-3.5y1-y2-1.5y3] sujeito C = 0.9B B3 = 1.2log(1+A3) B2 = log(1+ A2) B = B1+B2+B3 C  y1 B3  10y3 B2  10y2 y2 + y3  1 y1, y2, y3  {0,1} C, B1, B2, B3, A2, A3  0

 Formulação matemática do problema Exemplos  Formulação matemática do problema z = min (-2.9x3 -8.9log(1+x1)-10.44log(1+x2)+ x,y +1.8x1+1.8x2+3.5y1+y2+1.5y3) sujeito -y1+0.9log(1+x1)+1.08log(1+x2)+0.9x3  0 -10y2+log(1+x1)  0 -10y3+1.2log(1+x2)  0 y2 + y3 - 1  0

 Árvore “branch” e “bound” do problema Exemplos  Árvore “branch” e “bound” do problema Xo = (0,0,1) e Yo = (0,1,0) 1a iteração - limite NLP = 1.0 1 2 Y3=1 Z=-3 Z=-4.33 Y = (1,0,1) Novo NLP z=-1.92 2a iteração - limite NLP = -1.92 Y2=1 5 3 4 Y = (1,1,0) Novo NLP z=-1.72 Y3=1 Y3=0 Z=-1.09 Z=-4.27 Z=-3.38

 Árvore “branch” e “bound” do problema Exemplos  Árvore “branch” e “bound” do problema 3a iteração - limite NLP = -1.92 6 Y3=0 Y2=1 Z=-1.59 7 Y2=0 Z=0  Término da busca após examinar 7 nós

 Exemplo Convexo: Kocis e Grossmann (1987) Exemplos  Exemplo Convexo: Kocis e Grossmann (1987)  melhor configuração dos processos solução ótima z = -1.92 x = (0,1.52,0) e y = (1,0,1) A2 B2 Processo 2 Processo 1 C B1 Processo 3 A3 B3

 Exemplo não Convexo: Viswanathan e Grossmann(1990) Exemplos  Exemplo não Convexo: Viswanathan e Grossmann(1990)  Formulação do modelo MINLP do problema z = min -0.7y+5(x-0.5)2+0.8 sujeito -e(x-0.2)+1.1y+1  0 x-1.2y-0.2  0 0  x  1 y  {0,1}

 Soluções do problema não convexo Exemplos  Soluções do problema não convexo  solução ótima z = 1.07 x = 0.94 y = 1  solução sub-ótima z = 1.25 x = 0.20 y = 0  MILP onde y0 = 0 e linearização para x = 0.2 min  sujeito   -0.7y-3x+1.85 -x+1.1y+0.2  0 x-1.2y-0.2  0 0  x  1 y  {0,1}

Exemplos  Região viável e curvas de níveis da função objetivo

Exemplos  região viável reduzida devido a linearização  solução ótima fora da região viável

 Aplicação à rede de trocadores de calor Exemplos  Aplicação à rede de trocadores de calor  procedimento de varredura preliminar Daichendt e Grossmann (1994)  presença de não convexidade  superestrutura reduzida para três correntes quentes e uma corrente fria

 Aplicação à rede de trocadores de calor Exemplos  Aplicação à rede de trocadores de calor HU HU C1 Aquecimento Intervalo de temperatura 1 configuração original H1 H1 C1 Estágio 1 Intervalo de temperatura 2 H2 H1 C1 H2 C1 Estágio 2 Intervalo de temperatura 3 H3 H2 C1’ H3 C1 Estágio 3 C1 Intervalo de temperatura 4 H1 CU H2 CU H3 CU CU Resfriamento

 Configuração inicial da rede Exemplos  Configuração inicial da rede HU HU C1 Aquecimento Intervalo de temperatura 1 H1 H1 C1 Estágio 1 Intervalo de temperatura 2 H2 H1 C1 H2 C1 Estágio 2 Intervalo de temperatura 3 H3 H2 C1’ H3 C1 Estágio 3 C1 Intervalo de temperatura 4 H1 CU H2 CU H3 CU CU Resfriamento

 Configuração final da rede Exemplos  Configuração final da rede HU HU C1 custo anual 6.26 Aquecimento Intervalo de temperatura 1 H1 H1 C1 Estágio 1 Intervalo de temperatura 2 H2 H1 C1 H2 C1 th12 = 500.00 th22 = 430.00 Estágio 2 th13 = 420.00 th23 = 430.00 th33 = 420.00 Intervalo de temperatura 3 H3 H2 C1’ H3 C1 Estágio 3 C1 th14 = 420.00 th24 = 360.76 th34 = 369.63 Intervalo de temperatura 4 H1 CU H2 CU H3 CU CU Resfriamento

 Configuração inicial da rede Exemplos  Configuração inicial da rede HU HU C1 Aquecimento Intervalo de temperatura 1 H1 H1 C1 Estágio 1 Intervalo de temperatura 2 H2 H1 C1 H2 C1 Estágio 2 Intervalo de temperatura 3 H3 H2 C1’ H3 C1 Estágio 3 C1 Intervalo de temperatura 4 H1 CU H2 CU H3 CU CU Resfriamento

 Configuração final da rede Exemplos  Configuração final da rede HU HU C1 custo anual 6.15 Aquecimento Intervalo de temperatura 1 H1 H1 C1 Estágio 1 Intervalo de temperatura 2 H2 H1 C1 H2 C1 th12 = 420.00 th22 = 430.00 Estágio 2 th13 = 420.00 th23 = 430.00 th33 = 420.00 Intervalo de temperatura 3 H3 H2 C1’ H3 C1 Estágio 3 C1 th14 = 420.00 th24 = 360.76 th34 = 369.63 Intervalo de temperatura 4 H1 CU H2 CU H3 CU CU Resfriamento