UFPE - Centro de Ciências Exatas e da Natureza. Departamento de Informática Algoritmos e Estruturas de Dados - Turma if096B. SOMAS ADERVAL MENDONÇA MARIANO CRAVO
OBJETIVOS Apresentar técnicas para encontrar formas fechadas de somas, que serão utilizadas principalmente em recorrências a fim de calcular sua complexidade de tempo. (Identificar o custo de um algoritmo)
Precisamos de técnicas para somar as expressões com a finalidade de analisar casos como este. Se um algoritmo for composto de várias partes, então a sua complexidade de tempo é a soma da complexidade de suas partes. Um algoritmo pode consistir em um loop executado muitas vezes, cada vez com uma complexidade diferente.
Provavelmente o caso mais simples é o de loop de tamanho n, de forma que o i-ésimo termo necessite de i operações: int temp; for(int i = 0; i <= n; i++) { temp = 2 i ; }
O número total de operações é, portanto n, e é escrita assim: Esta soma tem como resultado
TÉCNICAS DE SOMAS Exemplo 2: Por indução:
Induzindo:
Então:
Técnica geral: Expressar a função como combinação de outros polinômios.
Aplicando no exemplo anterior: Sabendo-se que S 2 (n) é um polinômio do 3º grau:
1. Computar a seguinte soma: Quando temos uma função exponencial para calcular sua soma, uma técnica interessante é multiplicar toda a expressão por 2:
Então podemos chegar a uma expressão envolvendo F(n): O que implica em:
2. Uma soma um pouco mais difícil: Podemos aplicar a mesma técnica:
3. Um exemplo com heapsort:
CONCLUSÃO Mostrar algumas técnicas para se encontrar a forma fechada de somas. Caso seja preciso resolver uma soma onde as técnicas aprendidas não se apliquem, pode-se tentar criar outras. Identificar o custo de um algoritmo.