Tópicos Especiais em Processamento de Sinais Biológicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy

Bibliografia “Signal Processing for Neuroscientists – An Introduction to the Analysis of Physiological Signals”, Win Van Drongelen, 2007. “EEG Signal Processing”, Saeid Sanei, J.A. Chambers, 2009. Niedermeyer’s Electroencephalography – Basic Principles, Clinical Applications and Related Fields, 6th edition, Eds.: Donald L. Schomer, Fernando H. Lopes daSilva. Eletroencefalografia, Eds.: Gomes e Bello, 2008.

Introdução ao EEG Ritmos do Eletroencefalograma: Delta: 0 - 4 Hz; Teta: 4 - 8 Hz; Alfa: 8 - 12 Hz; Beta: 12 - 32 Hz; Gama: > 32 Hz.

Figura ilustrando os principais ritmos do EEG

Notas Ritmos EEG: a) redes interconectadas, permitindo sincronização de conjuntos de neurônios; b) cada ritmo deve ser associado ao contexto de um estado comportamental (não simplesmente à faixa de freqüências); c) é necessário o entendimento dos mecanismos celulares envolvidos nos diferentes tipos de oscilação.

Geração de Ritmos Síncronos Dois modos: Comando de uma estrutura central: marca-passo. Compartilhamento de informação entre neurônios, inibindo-se ou excitando-se mutuamente. Walter Freeman: hipótese pioneira de que os ritmos neuronais servem à coordenação da atividade entre regiões do sistema nervoso, através de “surtos” de sincronização entre neurônios.

Epilepsia Crises epilépticas são atividades cerebrais extre-mamente síncronas, que nunca ocorrem em circunstâncias normais  padrões EEG de elevada amplitude. Balanço delicado entre excitação e inibição sináptica no cérebro. Crises de Ausência: < 30s - 3 Hz (perda de consciência , com sinais motores súbitos).

Sono Sono REM e Não-REM

Ritmos do Sono

Fusos Marco da sincronização do EEG nos primeiros estágios do sono: ondas 7-14 Hz durando de 1 a 2 s, recorrência de 0,2 a 0,5 Hz. Geração no Tálamo, mas sua sincronização é influenciada pelo córtex. Núcleos reticulares (neurônios GABAérgicos cobrindo a superfície rostral, lateral e ventral do Tálamo): pacemaker. Amplificação e recrutamento das freqüências dos fusos no Tálamo.

Relação entre Fusos e Complexos Ponta-Onda Evidências: P-O aumentam durante estágio de fuso e são atenuados ou suprimidos ao acordar; Estimulação de projeções córtico-talâmicas na banda dos fusos podem gerar P-O auto-sustentáveis. Córtex cerebral levaria o tálamo à geração da epilepsia de complexos P-O. ~10Hz (fusos)  3Hz (P-O): aumento da duração dos potenciais inibitórios (Jasper, 1969: “papel de mecanismos inibitórios e não excitatórios”).

Oscilações Lentas (<1Hz) Descritas em neurônios neocorticais de animais anestesiados e, subseqüentemente, durante sono natural em animais e humanos. Cetamina (bloqueador de receptores NMDA) / Xylazina (agonista de receptores 2): indutores de oscilações lentas. Origem cortical: permanência após talamectomia; ausência no tálamo de animais decorticados; ausência após desconexão de ligações intracorticais.

Quais mecanismos estão envolvidos nos processos de Sincronização? Registros intracelulares duais in vivo revelaram que a sincronização de padrões EEG está associada à hiperpolarização simultânea de neurônios corticais  mecanismos inibitórios

Complexos K Elemento eletroencefalográfico constituído por um transiente “positivo-superfície” rápido seguido de um componente “negativo-superfície” mais lento e, eventualmente, ondas fusas (estágio 2 do sono). Evidências indicam que são a expressão de oscilações lentas espontâneas geradas pelo córtex.

Ritmo Delta Estágios 3 e 4 do sono (“sono-delta”). Oscilações lentas (<1Hz)  Delta (1-4Hz): O.L.: córtex; : pelo menos um tipo originado no tálamo; ondas  são agrupadas pelas O.L. Dois tipos de oscilações : Cortical (persiste após talamectomia); Talâmica (persiste no tálamo após decorticação).

Ritmo Delta (cont.) Oscilação potencializada e sincronizada por uma rede envolvendo projeções córtico-talâmicas com uma ligação intermediária no núcleo reticular. É bloqueado por pequenas doses de barbituratos e por seqüências de fusos. Oscilações  e fusos surgem com diferentes potenciais de membrana (-60mV  -70mV). Influências corticais facilitam o surgimento de oscilação  em células tálamo-corticais.

Ritmos Rápidos (20 - 50 Hz) “Ativação” - Moruzzi & Magoun (1949) estimularam o trato reticular de gatos anestesiados: HV-LF  LV- HF (similar ao despertar natural). Estudos posteriores relacionaram a presença de atividade 20-40Hz com aumento do estado de alerta. Origem cortical, talâmica e, possivelmente, em outras estruturas sub-corticais (estudos de coerência).

Ritmos Rápidos (cont.) Vários estudos investigam a presença de oscilações de 40 Hz: bulbo olfatório (Freeman, 1975); córtex visual (Gray et al., 1990); córtex (Steriade et al., 1991 e 1993; Jones, 1985). O ritmo 40 Hz reflete uma condição de aumento difuso de vigília do cérebro (Steriade, 1993). Presença de ritmo 40 Hz em neurônios corticais motores durante comportamento de atenção demonstrada por Murthy & Fetz (1992).

Ritmo Teta Primeiro descrito no hipocampo de coelhos; faixa de 4-7 Hz. Atividade teta normal pobre ou ausente em primatas, sendo negada por alguns autores (Brazier, 1968; Halgreen et al., 1979, 1985). Não se deve confundir com as “ondas teta patológicas”, descritas por um alentecimento da atividade  (e.g., redução do fluxo cerebral, encefalopatias metabólicas)

Ritmo Alfa 8-13Hz: um dos elementos mais importantes do EEG, com descrição desde Berger (1929). Não se conhecem os mecanismos celulares. Não se deve confundir  com fusos, apesar da superposição de freqüências: : vigília em relaxamento; fusos: sono. Opinião de  relacionado a atenção visual reduzida desafiada por achados de aumento de atividade  durante estimulação visual e tarefas de atenção. Sugere-se geração e espalhamento no córtex cerebral.

Teoria da Ressonância do EEG (Basar et al., 1995, 1999) Hipóteses: EEG consiste da atividade de um conjunto de geradores produzindo atividade em várias bandas de freqüência; Estes ritmos podem ocorrer também sem estimulações físicas, mas por fontes internas; A superposição de oscilações evocadas ou induzidas nos vários canais de freqüência do EEG resulta no Potencial Evocado.

Concluem que a banda Gama (30-70 Hz) exerce o papel de elemento de comunicação entre estruturas cerebrais. Achados confirmam que ritmos espontâneos do EEG, provavelmente respostas a fontes internas, aparecem em várias condições de comportamento, cognição e sensação. Consideram as várias atividades rítmicas como “blocos” que acompanham eventos fisiológicos e psicológicos: combinação - comportamento complexo.

O cérebro possui várias freqüências naturais de oscilação (, , , , ), que podem ocorrer espontaneamente, ou serem evocadas ou induzidas. EEG não é um ruído: sugerem possibilidade de comportamento caótico. As freqüências naturais são registradas a nível celular. Relação: freqüências naturais - funções de transferência. Transições do EEG de estados desordenados a ordenados.

Susceptibilidade de resposta do cérebro: PEs internos  PEs externos. Superposição dos diferentes ritmos, que podem ser estabelecidos em fase, dependendo da natureza do estímulo. “Código EEG”: oscilações seriam o alfabeto cerebral. Os geradores do EEG são distribuídos seletivamente em todo o cérebro, havendo uma atividade integrada.

Modelagem da Dinâmica do EEG Terminologia de Freeman (1975): Conjuntos de neurônios KI (KIe e KIi); KII: KIe + KIi; KIII: 2  KII. Modelagem Dinâmica: Loops de Realimentação; constantes de tempo das sinapses; constantes de comprimento; fatores de ganho.

Modo-Onda  Modo-Pulso Potenciais pós-sinápticos podem ser considerados como modo-onda, enquanto os potenciais de ação representam o modo-pulso.

Propriedades de Transferência

Exemplo de Simulação Alfa

Relevância da Análise Não-Linear Vários estudos de modelagem: aproximação linear. Negligencia importantes características não-lineares do sistema, como geração de harmônicos. Sistemas podem ter muitos estados de estabilidade: equilíbrio, ciclos limites e atratores caóticos (“estranhos”). Transferência: modelos de redes locais de neurônios para modelos complexos espacialmente distribuídos.

Condicionamento e Aquisição do EEG

Características Gerais do EEG Amplitude da ordem de V a dezenas de V; Bandas do EEG normal de adultos: Delta (0-4 Hz); Teta (4-8 Hz); Alfa (8-12 Hz); Beta (12-32 Hz); Gama (>32Hz); Sistema Internacional 10-20 de posicionamento de eletrodos: 20 derivações monopolares; Derivações monopolares ou bipolares; Localização do eletrodo terra: FPz; Nuca; Referência (física ou virtual): Lóbulos auriculares interligados; Cz; média dos lóbulos; média de todos eletrodos; Impedância dos eletrodos < 10 k;

Condicionadores de Sinais para EEG Pré-Amplificador Filtro Passa-Altas Amp. (2o. estágio) Filtro Passa-Baixas T3 - Cz - V+ V- Terra Pré-Amplificador (Diferencial): ganhos de 10 a 50; Filtro Passa-Altas: empregado quando se deseja remover DC e flutuações lentas; Amplificador (2o. Estágio): em geral, apresenta maior ganho (10 a 1000); quando o equipamento fica ligado eletricamente ao ser humano, deve incluir isolação; Filtro Passa-Baixas: pode servir como anti-aliasing para digitalização.

Pré-Amplificador Requisitos: Desejável: Alta Impedância de Entrada; Ganho flexível; Elevada faixa de tensão de alimentação se possível, “rail-to-rail”; Baixo consumo; Baixo ruído; Baixo custo. Requisitos: Alta Impedância de Entrada; Alta Rejeição de Modo Comum: Baixo viés e deriva térmica de tensão de entrada; Baixa deriva de corrente de entrada.

Pré-Amplificador Topologia “Clássica”: 3 Amplificadores Operacionais (1 Diferencial e 2 Buffers) Exemplos: CMRR Zi Vbias Vdrift Ibias AD620 100 (G=10) 10 G < 50 V < 0,6 V/°C < 1 nA INA129 < 20 V < 0,4 V/°C <10 nA

Filtro Passa-Altas Deve ser omitido quando DC for importante: Extensometria e Células de Carga; Termo-pares. Importante com sinais eletrofisiológicos: Potencial de meia-célula (interface com o eletrodo); Artefatos de respiração e outros movimentos. Elimina influência de viés e deriva de tensão e de corrente. Arquitetura recomendada: Bessel passivo ou ativo. Quando a Interferência de Rede é muito elevada, deve-se cascatear um filtro Notch neste estágio.

Segundo Estágio de Amplificação Apresenta, geralmente, o maior ganho: Parte dos sinais indesejáveis que poderiam causar a saturação do sistema já foram eliminados no estágio anterior. Em sistemas para sinais DC, pode ser omitido juntamente com o Filtro Passa-Altas: Neste caso, o Amplificador Diferencial responderá pelo Ganho Total; Sistemas eletricamente ligados ao sujeito: Amplificador de Isolação: Analógico: por transformadores, óticos e capacitivos; Digitais: CTF  Acoplador Ótico ou Indutivo  CFT. Exemplo: 3650/3652 (Burr-Brown – tipo ótico analógico) Corrente Vazamento Impedância de Isolação Vmax Segura de Isolação < 0,35 A 1 T 2000 Vp ou VDC

Filtro Passa-Baixas Importante na “separação” de sinais indesejáveis de alta freqüência e interferências RF: Atenuação do EMG na coleta de EEG; Atenuação de ruídos eletromagnéticos. Assume o papel de filtro anti-aliasing no caso de digitalização: Taxa de amostragem deve considerar a freqüência que já apresente elevada atenuação. Arquitetura recomendada: Bessel ativo, com ordem elevada.

Minimização de Ruídos e Artefatos Uso de eletrodos não-polarizados, e com baixo potencial de “meia-célula”, como Ag/AgCl; Uso de cabos blindados; Minimização / afastamento de possíveis fontes de RF; Uso de Gaiola de Faraday; Realimentação tipo “Guarda de Entrada”.

“Guarda de Entrada” Realimentação negativa da Tensão de Modo Comum no próprio sujeito (deve se dar o mais distante possível dos eletrodos que captam o sinal).

Proteção Contra Surtos de Tensão Protege o Condicionador de surtos de tensão causados, por exemplo, por desfibriladores ou equipamentos eletro-cirúrgicos. 0,6 V 3-20 V 50-90 V

Conversão Analógico-Digital (CAD) Faixa Dinâmica (em volts) Resolução – no. de bits (NOB); NOB Efetivo (ENOB): depende da razão sinal-ruído; Sistemas multi-canais: “sample-and-hold”? Taxa de amostragem: Nyquist; Acurácia: Erro de quantização; Não-Linearidade.

Considerações Práticas Amplitude muito pequena de grande parte dos sinais biomédicos  utilização de componentes SMD, trilhas curtas e placas de pequenas dimensões; Em sistemas multicanais, as placas de cada canal devem ser separadas das vizinhas por planos de terra – minimizar cross-talking; Digitalização: a resolução do CAD (no. de bits  faixa dinâmica) deve ser considerada no dimensionamento do ganho total do condicionador; emprego de filtragem Notch digital.

Bases Teóricas para o Processamento do EEG

Função Delta de Kronecker Elemento neutro da convolução:

Convolução com a Função Delta

Transformada de Fourier Discrete-Time Fourier Transform (DTFT): Discrete Fourier Transform (DFT): Assunção de que o trecho de sinal analisado é periódico  espectro discreto; Algoritmo rápido: Fast Fourier Transform (FFT).

Transformada Discreta a Cosseno Família das transformadas reais; Base do método JPEG de compressão de imagens; DCT:

Função de Autocorrelação Para um sinal x[n] qualquer: onde E{...} refere-se à esperança matemática e (*) refere-se ao complexo conjugado. Para x[n] estacionário: Para x[n] ergódico: rxx[m] = rxx[-m] rxx[0] = E{|x[n]|2} = v.m.q.(x) = x2 se DC=0.

Função de Autocorrelação Estimador Não-Tendencioso: Estimador Tendencioso: tem a vantagem de ser uma função positiva semidefinida.

Densidade Espectral de Potência Definição: transformada de Fourier da FAC: Significância estatística da estimação espectral; Variância  resolução espectral; Para sinais ergódicos:

Densidade Espectral de Potência Sinal finito; Bartlett: promediação da DFT de vários segmentos do sinal; corresponde à aplicação de janelas retangulares: “leakage” (vazamento); Welch: utilização de janelas Hann com superposição de 50%;

Periodograma de Welch

Ruído Branco Definição: sinal cuja autocorrelação vale Portanto: Pww( f ) = w2 Caso w[n] seja gaussiano, suas amostras, além de descorrelacionadas, são independentes...

Modelagem Auto-Regressiva DEP: significância  resolução  uso de modelos; Modelos ARMA, MA e AR; AR mais comumente utilizado; Modelo AR genérico de ordem m:

Equações de Yule-Walker Buscam-se os coeficientes a[k] que minimizam a variância (energia) do erro: Solução das equações de Yule-Walker (para sinais estacionários):

Equações de Yule-Walker (cont.) A partir dos coeficientes auto-regressivos, pode-se obter a DEP através do Método da Máxima Entropia (MEM):

Equações de Yule-Walker Como um Método de Mínimos Quadrados Minimização da energia de u[n]: Xa = x

Seleção da Ordem do Modelo Critérios tipo função-custo (a serem minimizados): Final Prediction Error (Akaike, 1970): Akaike Information Criterion (Akaike, 1974): Minimum Description Length (Rissanen, 1978): Criterion Autoregressive Transfer Function (Parzen, 1976):

Função de Correlação Cruzada Para x[n] e y[n] ergódicos: rxy[m]  rxy[-m]  não é necessariamente par; rxy[m] = ryx*[-m]; Estimadores:

Espectro Cruzado Definição: transformada de Fourier da Função de Correlação Cruzada: como rxy[m] não é necessariamente par, Pxy( f ) não é puramente real; Para sinais ergódicos:

Coerência Espectral Definição: Espectro Cruzado normalizado pela raiz do produto das DEPs: como Pxy( f ) é complexo, a coerência também o é. Magnitude Quadrática da Coerência (MSC):

Respostas Induzidas e Evocadas Tipos de sincronização: no tempo: time-locked  respostas “induzidas”: ERD/ERS ou ERSP; TFE (uma modalidade de ORD). na fase: phase-locked  respostas “evocadas”: Média coerente; Técnicas de Detecção Objetiva de Respostas (ORD).

Média Coerente Pressupõe que haja uma parcela consistente de sinal a cada época pós-estímulo embebida por um ruído de média nula: quando Marcação do gatilho (trigger): Atrasos sistemáticos; Atrasos aleatórios (Jittering).

Teste F Espectral (TFE) Razão de Potências ou de DEP: Sob H0 (ausência de resposta):

Medida de Sincronismo de Componentes (CSM) Mede a consistência da fase da componente de freqüência em questão: Sob H0 (ausência de resposta):

Magnitude Quadrada da Coerência (MSC) A MSC entre um sinal periódico e um sinal aleatório depende apenas do último e pode ser reescrita como: Sob H0 (ausência de resposta): Sob H1 (presença de resposta):

Detector de Potenciais Evocados (EPD) Inspira-se na MSC como ORD, mas refere-se ao domínio do tempo: Sob H0 (ausência de respostas), EPD segue uma distribuição Beta: EEG como um ruído branco: EPD ~ N / 2, N (M-1)/2 EEG como um ruído colorido: EPD ~ Nfit / 2, Nfit (M-1)/2, onde Nfit é ajustado com base na FAC do EEG…

ERD/ERS em Função do TFE Considerando-se x[n] como o sinal de referência e y[n] como o sinal durante indução de resposta: Sob H0 (ausência de respostas) :

Variância e Covariância Para um sinal x[n] ergódico: onde E{...} refere-se à esperança matemática. Analogamente, a covariância entre 2 sinais x[n] e y[n] 0 é definida por:

Matriz de Covariância Sejam k sinais ergódicos x1[n] a xk[n]: Se os sinais são todos reais, C é uma matriz simétrica, que pode ser dada por: onde X é uma matriz (N  k) cujas colunas são os sinais subtraídos de suas respectivas médias.

Análise de Componentes Principais (PCA) Sejam k sinais ergódicos x1[n] a xk[n] correlacionados entre si (não ortogonais): sua matriz de covariância C não é diagonal. Existe um conjunto de k outros sinais descorrelacionados entre si (ortogonais e de média nula), s1[n] a sk[n] (componentes principais), tais que: Problema: achar A e S...

Análise de Componentes Principais (PCA) Multiplicando-se ambos os lados por X: mas os sinais si[n] são ortogonais por pressuposição, de modo que StS é uma matriz diagonal. Dividindo-se ambos os lados por N1, tem-se que: o que evidencia que A é a matriz que diagonaliza ortogonalmente C: decomposição por auto-valores e auto-vetores de C.

Incerteza, Informação e Entropia Sejam k e x variáveis aleatórias (discreta e contínua respectivamente). A “Quantidade de Informação” (I) de uma observação é dada por: A Entropia de Shannon é o valor esperado de I:

Propriedades da Entropia Continuidade; Valor máximo (p.ex. var. discreta): Entropia conjunta: Se k e l são independentes:

Propriedades da Entropia Exemplo: Processo de Bernoulli: k1 = 0; k2 = 1;

Informação Mútua H(k): medida de incerteza da variável k; H(k|l): incerteza remanescente de k após se observar l; Informação Mútua: representa a quantidade de incerteza sobre k que foi resolvida ao se observar l. se k e l são independentes:

Análise de Componentes Independentes (ICA) Análoga à PCA mas visa a componentes estatisticamente independentes: Minimização da Informação Mútua: Ex.: Algoritmos baseados na Medida de Divergência de Kullback-Leibler; Maximização da Não-Gaussianidade: Curtose: ; Negentropia  J(pdf(x)) = H(N(0,))H(pdf(x,)). Algoritmos comuns: Infomax (Redes Neurais, Maximização da Entropia); JADE (cumulantes de 4a. Ordem – Curtose); FastICA (PCA  Maximização de Não-Gaussianidade via função não-linear)...

Filtros Sinal + ruído ou interferência; Interferência da rede (60Hz); Interferência de outros sinais fisiológicos; Coincidência dos espectros do sinal e do ruído; Uso de filtros: IIR  FIR.

Filtro Passa-Baixas Ideal

Filtro Passa-Altas Ideal

Filtro Passa-Faixa Ideal

Filtro Rejeita-Faixa Ideal

Filtros FIR - Método de Janelas Idéia: truncar a resposta ao impulso ideal hd[n] correspondente a uma janela retangular no domínio da freqüência; Fenômeno de Gibbs (janela retangular)  emprego de outras janelas;

Truncamento simples (Janela Retangular) 

Outras Janelas Hann: Hamming: Blackman:

Comparação de filtros projetados a partir das diferentes janelas:

Comparação (Hann - linha contínua, Hamming - pontilhada, Blackman - tracejada) 

Janela Kaiser Família de curvas com parâmetros flexíveis (dependendo de b); onde I0( ) é a função de Bessel modificada de primeira ordem.

Comparação - Kaiser (diferentes valores de b)

Filtros FIR Passa-Baixas, Passa-Altas, Passa-Faixa e Rejeita-Faixa Fase linear  resposta ao impulso simétrica ou anti-simétrica; Simétrica: Anti-simétrica:

Filtro FIR Trunca-se a resposta ideal do filtro do tipo desejado; Ordem par (comprimento ímpar): Ordem ímpar (comprimento par):

Filtros FIR Passa-Altas e Rejeita-Faixa Polinômios simétricos de ordem ímpar apresentam raiz em –1 (ejp); Este zero determina resposta nula na freqüência de Nyquist; Logo, filtros FIR passa-altas e rejeita-faixa não podem possuir ordem ímpar.

Projeto por Especificações (FIR-Kaiser) Especificações: ripple e limite(s) da faixa de passagem e ripple e limite(s) da faixa de rejeição; ripple ajustado através do parâmetro b e largura do lobo principal, através da ordem do filtro; Janela Kaiser pode-se adequar a, praticamente, qualquer especificação;

Projeto por Especificações (cont.) Faixa de passagem: A’p ripple máximo, delimitada por p (ou p1 p2); Faixa de rejeição: A’r de atenuação mínima, delimitada por r (ou r1 r2); Pode-se projetar um filtro com banda de transição Bt e ripples:

Projeto por Especificações (cont.)

Projeto por Especificações (cont.) 1) Freqüência(s) de corte: distanciada(s) de Bt /2 do(s) limites da faixa de passagem; 2) Escolha de d:

Projeto por Especificações (cont.) 3) Cálculo de Ar: 4) Escolha de b:

Projeto por Especificações (cont.) 5) Escolha do parâmetro D: 6) Ordem N:

Filtro IIR Butterworth Maximamente plano; Filtro passa-baixas:

Filtro IIR Butterworth (cont.) Fazendo-se s=j ,

Filtros IIR Chebychev Filtros equiripple: Chebychev I - faixa de passagem; Chebychev II - faixa de rejeição; Passa-baixas normalizado do tipo I: Cn() é o polinômio de Chebychev de ordem n;

Filtro IIR Chebychev (cont.) Definição dos polinômios de Chebychev:

Filtros IIR Chebychev (cont.) Relação de recorrência para os polinômios de Chebychev:

Transformações Espectrais para Filtros Analógicos Filtros passa-baixas normalizados para quaisquer tipos de filtros; Freqüência de corte: Butterworth : 3dB; Chebychev : final da faixa de passagem (dB);

Transformações Espectrais (cont.)

Transformação Bilinear Passar do domínio s (analógico) para o domínio z (digital); Definição:

Transformação Bilinear (cont.) Warping: Solução: pre-warping - se o filtro digital é caracterizado pelas freqüências i, o filtro analógico deve possuir suas freqüências correspondentes em:

Efeito Warping

Projeto por Especificações (IIR) Funções do Matlab (butter e cheby1); Especificações: ripple e limite(s) da faixa de passagem e ripple e limite(s) da faixa de rejeição; Faixa de passagem: Rp ripple máximo, delimitada por p (ou  p1  p2); Faixa de rejeição: Rs de atenuação mínima, delimitada por  r (ou  r1  r2);

Projeto por Especificações (cont.) 1) pre-warping das freqüências limites do filtro digital desejado; 2) Obter um filtro passa-baixas normalizado:

Projeto por Especificações (cont.)

Projeto por Especificações (cont.) 3) Determinação da ordem; para passa-faixa e rejeita-faixa, pega-se o menor dos Ai : Butterworth: Chebychev:

Projeto por Especificações (cont.) 4) Exclusivamente para Butterworth: 4.a) achar freqüência de 3dB: 4.b) voltar ao modelo analógico:

Projeto por Especificações (cont.)

Projeto por Especificações (cont.) 4.c) Voltar ao domínio digital: onde, para filtros passa-faixa e rejeita-faixa, i=1,2.

Filtro Notch Digital Estrutura básica de segunda ordem: