Estruturas de Dados e Complexidade de Algoritmos Prof. Dr. Lucídio dos Anjos Formiga Cabral PPGI/UFPB Março/2009

Descrição do curso Conteúdo Introdução Fundamentos de algoritmos Análise da eficiência de algoritmos Ordenação e estatísticas de ordem Estruturas de dados avançadas Técnicas avançadas de projeto e análise Tópicos selecionados Problemas NP-Completos

Bibliografia Básica: Complementar CORMEN, T.; LEISERSON, C.; RIVEST, R.; STEIN, C.; Algoritmos: Teoria e Prática, Editora Campus, Rio de Janeiro, 2002. Complementar GOODRICH, M. T., TAMASSIA R., Projeto de Algoritmos, Editora Bookman, Porto Alegre, 2004. ZIVIANI, N., Projeto de Algoritmos, Editora Pioneira Thomson, Belo Horizonte, 2004. Knuth, D., The Art of Computer Programming, Volumes 1,2 e 3, Addison-Wesley,1997. TOSCANI, L. V.; VELOSO. PAULO A. S. Complexidade de Algoritmos, Editora Sagra-Luzzatto, 2001. SZWARCFITER, J.; Grafos e Algoritmos Computacionais, Editora Campus, Rio de Janeiro, 1984. TERADA, R.; Desenvolvimento de Algoritmos e Estrutura de Dados. Editora Makron Books, 1991.

Organização do Curso Página do curso 3 provas escritas www.di.ufpb.br/~lucidio/complexest.htm 3 provas escritas

Introdução O que é um algoritmo? São as idéias implícitas nos programas de computadores. Corresponde a um conjunto bem definido de regras que especificam uma seqüência de operações a serem aplicadas a um conjunto de dados, chamado entrada, produzindo após uma quantidade finita de tempo um conjunto de dados chamado saída. Também chamado de processo, procedimento computacional, etc. Pode ser implementado de diferentes formas.

O que será estudado? Objetivos principais: Um conjunto de ferramentas práticas: uma coleção de algoritmos fundamentais para uso em outros cursos, ou em seus trabalhos futuros. Estudo teórico: uma avaliação dos aspectos envolvidos no projeto, análise ou seleção de um algoritmo para um novo problema.

Exemplos de algoritmos 1 - Ordenação Entrada: Uma seqüência de n números ‹a1, a2, ..., an›. Saída: Uma reordenação da seqûëncia de entrada ‹a'1, a'2, ...,a'n›, onde a'1 ≤ a'2 ≤ ... ≤ a'n 2 – Número Primo Entrada: Uma número natural q. Saída: sim ou não, dependendo se q é primo. NÓS BUSCAMOS ALGORITMOS QUE SEJAM CORRETOS E EFICIENTES !!!

Problemas Estudaremos os problemas computacionais, que consistem de uma descrição geral da questão a ser respondida, em geral, envolvendo algumas variáveis livres ou parâmetros. Uma instância de um problema computacional é uma questão específica obtida por associar valores aos parâmetros do problema.

Problema do Caixeiro Viajante Instância: Um conjunto de cidades X juntamente com a informação de distância d(x,y) entre qualquer par x, y pertencentes a X. Questão: Qual é a menor rota circular que inicia e termina em uma dada cidade e visita todas as cidades?

Problema Computacional Um instância de um problema computacional é um possível valor para a entrada. ‹45, 7, 13, 23, 2› é uma instância para o problema da ordenação. 29 é uma instância para o problema dos números primos. Um algoritmo está correto se, para qualquer instância, ele termina e retorna como saída o valor esperado.

Como expressar algoritmos? Aspectos como precisão e facilidade de expressão são importantes. Três formas Linguagem natural Pseudo-Código Linguagem de Programação Infelizmente, quanto maior a facilidade de expressão menor é a precisão.

Corretude Para qualquer algoritmo, nós devemos provar que ele sempre retorna a saída desejada para todas as instâncias válidas do problema. Para a ordenação, isto deve ser válido ainda que a entrada já esteja ordenada, ou que contenha elementos repetidos

Quão bom é um dado algoritmo? Existem muitas considerações envolvendo esta questão? Corretude Corretude teórica Estabilidade númerica Eficiência Complexidade Velocidade Uso de outros recursos

Corretude não é óbvia! O seguinte problema aparece em aplicações de manufatura e transporte. Suponha que você tenha um braço de robô equipado com um soldador. Para habilitar o braço do robô a soldar todos os pontos de contato, devemos construir uma ordem de visita aos pontos. Desde que robôs são caros, nós precisamos encontrar a ordem que minimiza o tempo (ou distância percorrida) que ele gasta para efetuar a solda nos pontos desejados. Imagine um algoritmo para encontrar o melhor percurso!

Estratégia do vizinho mais próximo Uma solução muito popular inicia em algum ponto p0 e então caminha em direção ao vizinho mais próximo, digamos p1, e repete o procedimento. Algoritmo Visite o ponto inicial p(0) P = p(0) i = 0 Enquanto existir ponto não visistado i = i + 1 Seja p(i) o ponto não visitado, mais próximo de p(i-1) Visite p(i) Retorne para p(0) a partir de p(i) Este algoritmo é simples de entender e implementar e muito eficiente. Entretanto .............

Estratégia do vizinho mais próximo Entretanto, ele não é CORRETO!!! Adotar a estratégia de sempre começar pelo ponto mais à esquerda ou a partir de qualquer outro ponto não corrige o problema.

Um algoritmo correto Nós podemos tentar todas as ordens possíveis dos pontos e então selecionar a ordem que minimiza o comprimento total. Algoritmo d = INF Para cada uma das n! Permutações Pi dos n pontos Se (custo(Pi) <= d) então d = custo(Pi) Pmin = Pi Retorne Pmin Desde que todas as ordens possíveis são consideradas, tem-se a garantia de terminar com o percurso (ciclo) de menor custo possível. Para valores ainda modestos de n este algoritmo se torna inviável. Nenhum algoritmo correto eficiente existe para o problema do caixeiro viajante.

O modelo RAM Algoritmos são a única parte durável, importante e original da ciência da computação porque podem ser estudados de modo independente da linguagem e da máquina. Assim sendo, faremos toda a nossa análise baseada no modelo de computação RAM (Máquina de Acesso Aleatório). Cada operação simples (+, -,=,if, call) toma exatamente um passo. Laços e chamadas de procedimentos não são operações simples, mas dependem sobre o tamanho da entrada e do conteúdo do procedimento. Cada acesso a memória toma exatamente um passo Nós medimos o tempo de execução de um algoritmo contando o número de passos.

Complexidade de melhor, médio e pior caso A complexidade de pior caso de um algoritmo é a função definida pelo número máximo de passos tomados sobre qualquer instância de tamanho n. A complexidade de melhor caso de um algoritmo é a função definida pelo número mínimo de passos tomados sobre qualquer instância de tamanho n. A complexidade de caso médio de um algoritmo é a função definida pelo número médio de passos tomados sobre qualquer instância de tamanho n.

Ordenação por Inserção Uma maneira de ordenar um vetor de n elementos é iniciar com uma lista vazia e sucessivamente inserir novos elementos na posição correta: Em cada estágio, o elemento inserido forma uma lista ordenada e após n inserções tem-se a lista totalmente ordenada. Quão eficiente é este algoritmo? O tempo de execução muda para instâncias diferentes!!!! Como esse algoritmo se comporta para uma lista já ordenada na entrada? E para uma lista ordenada em ordem inversa?

Análise exata da ordenação por inserção Contaremos o número de vezes que cada linha do pseudo-código será executada.

Análise exata da ordenação por inserção Para calcular T(n) do algortimo de ordenação, faremos:

Análise exata da ordenação por inserção Melhor caso: lista ordenada de elementos Avaliando o laço do enquanto podemos achar T[ j ] <= x quando x tem valor inicial (i-1). E observamos que t(i)=1 para i=2,...,n. Portanto, o tempo de execução, neste caso é: O tempo de execução pode ser expresso então como: T(n) = an + b

Análise exata da ordenação por inserção Pior caso: lista ordenada na ordem inversa Cada elemento T[ i ] deve ser comparado com todos os elementos da lista ordenada T[1...j –1] tal que t(i)=i para i=2,3,...,n. Observe que:

Análise exata da ordenação por inserção Portanto:

Análise exata da ordenação por inserção Que pode ser expresso como:

Análise do pior caso e do caso médio Na análise do algoritmo de ordenação consideramos o melhor e o pior caso. Vamos nos concentrar apenas no tempo de execução do pior caso, pois: Seu tempo de execução corresponde a um limite superior sobre o tempo de execução para qualquer instância. Ocorre com freqüência em alguns algoritmos. Exemplo: pesquisa em um banco de dados por informação não armazenada. Muitas vezes, o caso médio é quase tão ruim quanto o pior caso.

Ordem de Crescimento A função obtida na análise do pior caso do algoritmo de ordenação foi a função n2+bn+c. Esta função pode ser representada pelo termo n2 que tem crescimento muito superior aos demais termos. A ordem de crescimento é dada pelo termo mais significante da função. No algoritmo de ordenação nós dizemos que ele é de O(n2). Um algoritmo é mais eficiente que outro, se seu tempo de execução no pior caso tem uma ordem de crescimento menor.