Probabilidade Modelo matemático para incerteza Desenvolvimento relativamente recente –Cardano (século XVI) –Pascal (século XVII) Peter Bernstein, Against the Gods

Primeira Tentativa Espaço amostral ( ): resultados possíveis para um experimento aleatório. Probabilidade: número não negativo atribuído a cada um destes resultados, de modo que a soma seja 1 (intuição: frequência a longo prazo)

Primeira Tentativa Adequado para o caso discreto = { 1, 2,...} p 1 +p = 1 Para cada A, P(A) = i A P( i )

Como atribuir probabilidades? Estatística: estimar através de frequência observada Explorar simetria: modelos equiprováveis = { 1, 2,..., n } p 1 = p 2 =... = p n = 1/n Moedas, bolas em urnas, cartas, dados, etc

Exemplo Uma moeda honesta é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair 2 caras? Espaço amostral: = {0, 1, 2, 3} (número de caras) Probabilidade de sair 2 caras = P({2}) = ¼.

Exemplo Uma moeda honesta é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair 2 caras? Espaço amostral: = {0, 1, 2, 3} (número de caras) Probabilidade de sair 2 caras = P({2}) = ¼.

Exemplo Uma moeda honesta é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair 2 caras? Espaço amostral: = {ccc, cck, ckc, kcc, ckk, kck, kkc, kkk} Probabilidade de sair 2 caras = P({cck, ckc, kcc}) = 3/8.

Observação É óbvio que kkk e ckc têm a mesma chance de ocorrer? E kkkkkkkkkk e ckkckckckk? Mega-sena: e ? Nassim Taleb, Fooled by Randomness

Exemplo Uma urna tem 6 bolas idênticas, numeradas de 1 a 6. Dois jogadores se alternam retirando bolas da urna. O primeiro a tirar o 6 vence. É preferível ser o primeiro ou o segundo a jogar? Qual é a chance de vitória de cada um? Dois casos: –Sem reposição –Com reposição

Sem reposição

Chances iguais de vitória = {permutações de 1, 2, …, 6} (equiprováveis) O número de permutações em que o 6 ocorre nas posições pares é igual ao número de permutações em que ocorre em posição ímpar

Com reposição

= {1, 2, 3, 4, …} (lançamento em que o 6 sai pela primeira vez) [1 o vence] = {1, 3, 5, …} P({1}) = 1/6 P({3}) = 5/6. 5/6. 1/6 P({5}) = 5/6. 5/6. 5/6. 5/6. 1/6 P(1 o vence) =

Exemplo: programa de prêmios

O candidato deve trocar de porta ou permanecer com a escolhida?

Exemplo: programa de prêmios Solução: deve trocar, porque se não trocar só ganha se acertar a porta, o que ocorre com probabilidade 1/3.

Caso contínuo Roleta real, com números de 0 a 360. Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a 316,43? Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a maior que 300?

Caso contínuo Roleta real, com números de 0 a 360. Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a 316,43? zero Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a maior que 300? 1/6

Caso contínuo Probabilidade de eventos não pode ser calculada simplesmente somando as probabilidades associadas a pontos de Necessidade de atribuir probabilidades diretamente aos subconjuntos de Mas não a todos os subconjuntos (Teoria da Medida)

Modelo Probabilístico Revisado Espaço amostral ( ): conjunto de resultados possíveis para um experimento aleatório. -álgebra de eventos ( A ): subconjuntos de aos quais se atribui probabilidade. A, A A A c A, A i A A i A Probabilidade (P): função definida em A P(A) 0, P( ) =1, P( A i ) = i P(A i ) (A i disjuntos 2 a 2)

Consequências P(A c ) = 1 – P(A) P( ) = 0 A n A P(A n ) P(A)

Caso discreto A = todos os subconjuntos de Probabilidades p i atribuídas aos eventos unitários { i } (como antes)

Caso contínuo = R A = menor -álgebra que contém todos os intervalos ( -álgebra de Borel) Probabilidades atribuídas aos intervalos (ou aos intervalos da forma (–, x]) (tipicamente através da integral de uma função de densidade) Por exemplo, no caso da roleta:

Probabilidade Condicional Probabilidade condicional do evento A na certeza do evento B Tudo se passa como se, na certeza de B, B fosse o novo espaço amostral.

Exemplo Um dado é lançado 2 vezes. Dado que a soma é 4, qual é a probabilidade condicional de ter saído 1 no primeiro lançamento? = {(1,1), …, (6, 6)} A = [1 no 1 o ] = {(1, 1), …, (1, 6)} B = [soma 4] = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)} A B = {(1, 3)}

Observação De, resulta: P(A B) = P(B). P(A | B) = P(A). P(B | A) A e B são independentes quando P(A B) = P(A). P(B)

Exemplo Em uma urna há 6 bolas brancas e 4 pretas. As bolas são retiradas sequencialmente, sem reposição.

Exemplo 1) Probabilidade de a 1 a bola retirada ser branca?

Exemplo 2) Probabilidade de a 1 a bola retirada ser branca e a 2 a preta?

Exemplo 3) Probabilidade de a 2 a bola retirada ser preta?

Exemplo 4) Probabilidade de a 1 a bola retirada ter sido preta sabendo que a 2 a foi branca?

Teoremas Sejam B 1, B 2, … disjuntos 2 a 2 tais que B i = Probabilidade Total Bayes

Exemplo Em uma população, 1% das pessoas têm uma certa doença. Um exame para esta doença tem probabilidade de falso-positivo igual a 2% e de falso negativo igual a 1%. Se uma pessoa escolhida ao acaso é examinada e o exame dá positivo, qual é a probabilidade de que ela tenha a doença?

Solução Dados: P(Doente) = 0.01 P(Positivo|Doente) = 0.99 P(Positivo|Doente c ) = 0.02 Pede-se: P(Doente|Positivo)

Solução D DcDc P P 0,01 0,99 0,01 0,02 0,98

Solução D DcDc P P 0,01 0,99 0,01 0,02 0,98