Probabilidade Modelo matemático para incerteza Desenvolvimento relativamente recente –Cardano (século XVI) –Pascal (século XVII) Peter Bernstein, Against the Gods

Probabilidade: modelos, variáveis aleatórias e simulação Paulo Cezar Pinto Carvalho IMPA

Primeira Tentativa Espaço amostral ( ): resultados possíveis para um experimento aleatório. Probabilidade: número não negativo atribuído a cada um destes resultados, de modo que a soma seja 1 (intuição: frequência a longo prazo)

Primeira Tentativa Adequado para o caso discreto = { 1, 2,...} p 1 +p = 1 Para cada A, P(A) = i A P( i )

Como atribuir probabilidades? Estatística: estimar através de frequência observada Explorar simetria: modelos equiprováveis = { 1, 2,..., n } p 1 = p 2 =... = p n = 1/n Moedas, bolas em urnas, cartas, dados, etc

Exemplo Uma moeda honesta é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair 2 caras? Espaço amostral: = {0, 1, 2, 3} (número de caras) Probabilidade de sair 2 caras = P({2}) = ¼.

Exemplo Uma moeda honesta é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair 2 caras? Espaço amostral: = {0, 1, 2, 3} (número de caras) Probabilidade de sair 2 caras = P({2}) = ¼.

Exemplo Uma moeda honesta é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair 2 caras? Espaço amostral: = {ccc, cck, ckc, kcc, ckk, kck, kkc, kkk} Probabilidade de sair 2 caras = P({cck, ckc, kcc}) = 3/8.

Observação É óbvio que kkk e ckc têm a mesma chance de ocorrer? E kkkkkkkkkk e ckkckckckk? Mega-sena: e ? Nassim Taleb, Fooled by Randomness

Exemplo: programa de prêmios

O candidato deve trocar de porta ou permanecer com a escolhida?

Exemplo: programa de prêmios Solução: deve trocar, porque se não trocar só ganha se acertar a porta, o que ocorre com probabilidade 1/3.

Caso contínuo Roleta real, com números de 0 a 360. Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a 316,43? Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a maior que 300?

Caso contínuo Roleta real, com números de 0 a 360. Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a 316,43? zero Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a maior que 300? 1/6

Caso contínuo Probabilidade de eventos não pode ser calculada simplesmente somando as probabilidades associadas a pontos de Necessidade de atribuir probabilidades diretamente aos subconjuntos de Mas não a todos os subconjuntos (Teoria da Medida)

Modelo Probabilístico Revisado Espaço amostral ( ): conjunto de resultados possíveis para um experimento aleatório. -álgebra de eventos ( A ): subconjuntos de aos quais se atribui probabilidade. A, A A A c A, A i A A i A Probabilidade (P): função definida em A P(A) 0, P( ) =1, P( A i ) = i P(A i ) (A i disjuntos 2 a 2)

Consequências P(A c ) = 1 – P(A) P( ) = 0 A n A P(A n ) P(A)

Caso discreto A = todos os subconjuntos de Probabilidades p i atribuídas aos eventos unitários { i } (como antes) P(A) = i A P( i )

Caso contínuo = R A = menor -álgebra que contém todos os intervalos ( -álgebra de Borel) Probabilidades atribuídas aos intervalos (ou aos intervalos da forma (–, x]) (tipicamente através da integral de uma função de densidade) Por exemplo, no caso da roleta: