Função Exponencial

Objetivos analisar a relação exponencial existente entre a pressão atmosférica e a altitude; verificar os efeitos gráficos quando se alteram os parâmetros da função y=b.acx+e+d. É interessante observar que funções desse tipo inicialmente decrescem rapidamente e depois tendem a se estabilizar, ou inicialmente parecem estáveis e em seguida crescem rapidamente.

Perfil da pressão do ar na atmosfera Tempo previsto: 3h

O ar exerce uma força sobre as superfícies com as quais tem contato, devido ao contínuo bombardeamento das moléculas que compõem o ar contra tais superfícies. A pressão do ar é a medida de tal força por unidade de área. Embora a atmosfera não tenha paredes, ela é confinada na base pela superfície de terra - oceano e no topo pela força da gravidade, que impede sua fuga para o espaço exterior. Portanto, a pressão atmosférica em uma dada posição é usualmente definida como o peso por unidade de área da coluna de ar acima desta posição.

À medida que a altitude aumenta, a pressão diminui, pois diminui o peso da coluna de ar acima. Como o ar é compressível, diminui também a densidade com a altura, o que contribui para diminuir ainda mais o peso da coluna de ar. Inversamente, quando a altitude diminui, aumenta a pressão e a densidade. Sabemos que o ar é compressível, isto é, seu volume e sua densidade são variáveis. A força da gravidade comprime a atmosfera de modo que a máxima densidade do ar (massa por unidade de volume) ocorre na superfície da Terra.

A pressão da atmosfera numa determinada altitude é simplesmente o peso da coluna de ar com área de seção reta unitária, situada acima daquela altitude. No nível do mar a pressão média é de 101,325 KPa (quilo-Pascal), que corresponde a um peso de 1kg de ar em cada . O decrescimento da pressão do ar com a altura pode ser expresso pela seguinte equação: onde x é a altura em quilômetros, Ps é a pressão na superfície e H é uma constante.

Assim: , x em quilômetros. A constante H é chamada “escala de altura” e é calculada a partir de outras constantes e da temperatura média da atmosfera. Em geral, adota-se H=8 km. Assim: , x em quilômetros. Com base na leitura do texto anterior e das informações adicionais constantes nos itens abaixo, use o programa Winplot para construir os gráficos e analisá-los.

1) Analisando o texto anterior e a relação existente entre pressão atmosférica e altitude, responda abaixo: 1.1) A pressão atmosférica máxima sempre está associada à altitude ao nível do mar? 1.2) A pressão atmosférica pode assumir valores negativos? Por quê? 1.3) A altitude pode assumir valores negativos? Explique:

2) O Mar Morto está localizado na fronteira entre Israel e Jordânia, na região considerada como a maior depressão absoluta do mundo (400 metros abaixo do nível do mar). Recebe este nome porque nenhum peixe ou planta aquática sobrevive no ambiente altamente salino de suas águas, que possui concentração de sal cerca de dez vezes maior do que a de outros mares. 2.1) Considerando a pressão atmosférica na região do Mar Morto, você acha que ela é maior ou menor do que pressão ao nível do mar? Justifique:

2.2) Construa o gráfico da pressão atmosférica em função da altitude e, usando o menu <Misc> e [tabelas], descubra qual é a pressão atmosférica ao nível do Mar Morto. 3) O Monte Everest é a montanha mais alta do mundo e localiza-se na Cordilheira do Himalaia, na fronteira entre o Nepal e o Tibete. A última medição oficial foi feita em 2005 por meio de ondas de rádio. Nesta ocasião, ficou constatada a altitude oficial de 8844,43 metros. Encontre, aproximadamente, a pressão atmosférica no alto do Monte Everest.

4) Para que altitude, aproximadamente, a pressão atmosférica corresponde à metade da pressão ao nível do mar? 5) Considere a função f(x)=ax e use animação no parâmetro a para responder aos itens abaixo: 5.1) Qual é o formato do gráfico de f(x) quando a = 1? 5.2) Qual é o formato do gráfico de f(x) quando a = 0?

5.2.1) Explique o porquê de o gráfico não estar definido para x<0, quando a = 0: 5.3) Faça a assumir valores negativos. O que você observa? 5.4) Faça a assumir valores entre 0 e 1. As funções associadas a esses gráficos são crescentes ou decrescentes? 5.5) Ao aumentar os valores de a de 0 a 1, as curvas tendem a se abrir ou a se fechar?

5. 6) Faça a assumir valores maiores do que 1 5.6) Faça a assumir valores maiores do que 1. As funções associadas a esses gráficos são crescentes ou decrescentes? 5.7) Ao aumentar os valores de a de 1 a 10, por exemplo, as curvas tendem a se abrir ou a se fechar? 5.8) Justifique por que a curva representada pela função y=ax sempre intercepta o eixo y em y=1. 5.9) O gráfico de f(x)=ax intercepta o eixo x? Justifique:

6) Considere a função f(x)=b 6) Considere a função f(x)=b.2x e use animação no parâmetro b para responder aos itens abaixo: 6.1) Faça b assumir os valores -1, 1, -2, 2, -3 e 3. Que relação existe entre o valor de b e o intercepto y? 6.2) Construa no mesmo plano cartesiano os gráficos de f(x)=b.2x e g(x)= - b.2x. Observe que ao variar b, percebe-se facilmente uma simetria de ambos os gráficos em relação a um dos eixos coordenados. Qual eixo?

7) No item 6.2, você percebeu que g(x)= - f(x) faz com que os gráficos sejam simétricos em relação a um determinado eixo. Tomando f(x)=ax e g(x)=a-x, observa-se que g(x)=f(-x). Construa os gráficos de f e g e verifique se existe simetria entre os gráficos. Em caso afirmativo, diga em relação a qual eixo coordenado.

8) Considere a função f(x)=2cx e use animação no parâmetro c para responder aos itens abaixo: 8.1) Faça c assumir valores entre 0 e 5. À medida que x cresce, o que acontece com y? 8.2) Faça c assumir valores entre -5 e 0. À medida que x cresce, o que acontece com y?

9) Considere a função f(x)=2x+d e use animação no parâmetro d para responder aos itens abaixo: 9.1) Ao variar o parâmetro d (teste d>0, d<0 e d=0), note que o gráfico não sofre deformações e movimenta-se numa certa direção. Observando as atividades anteriores, que nome você poderia dar a esse movimento? 9.2) A função g(x)=2x intercepta o eixo y no valor 1. Qual é o intercepto -y da função f(x) =2x+d?

9.3) Considere f(x)=(½)x+d. Qual seu intercepto-y? 9.4) O que acontece com o gráfico de f(x)+k em relação ao gráfico de f(x), quando k>0 e k<0, respectivamente? 9.5) Esse tipo de transformação altera o conjunto imagem da função? Explique:

10) Considere a função f(x)=2x+e e use animação no parâmetro e para responder aos itens abaixo: 10.1) Ao variar o parâmetro e (teste e>0, e<0 e e=0), note que o gráfico não sofre deformações e movimenta-se numa certa direção. Observando as atividades anteriores, que nome você poderia dar a esse movimento? 10.2) Quando e>0, em que sentido desloca-se o gráfico? 10.3) Quando e<0, em que sentido desloca-se o gráfico?

10.4) Caso a base de f(x)=(½)x+e , os resultados obtidos em 10.2 e 10.3 continuam válidos? 10.5) O que acontece com o gráfico de f(x+k) comparado ao gráfico de f(x), quando k>0 e k<0, respectivamente? 10.6) Esse tipo de transformação altera o conjunto imagem da função? Explique: