COMPRESSÃO ARITMÉTICA Teoria da Informação COMPRESSÃO ARITMÉTICA Epifanio Diniz Giovani Facchini Renato Costa

Motivação Considere uma fonte com alfabeto A={a1, a2, a3), com P(a1)=0.95, P(a2)=0.02 e P(a3)=0.03. A entropia, o código de Huffman e o tamanho médio do código estão dispostos abaixo. H=0.335 bits/símbolo Tamanho médio=1.05 bits/símbolo Diferença de 0.715 bits/símbolo que é 213% da entropia! Letra Probabilidade Código a1 0.95 a2 0.02 11 a3 0.03 10

Motivação A codificação aritmética resolve o problema de probabilidades acumuladas. Bastante útil também com pequenos alfabetos.

Idéia Principal É mais eficiente atribuir um código para um seqüência em particular do que gerar um código para cada símbolo. Identificador ÚNICO é gerado para representar a seqüência, este é uma fração binária. Ao contrário do algoritmo de Huffman, que precisa de códigos para cada seqüência possível (crescimento exponencial), a Codificação Aritmética gera um código único.

Codificação Para distinguir uma seqüência de símbolos é necessário criar um código único. O código pode ser um número dentro do intervalo [0,1). Necessitamos de uma função mapeando as seqüências nesse intervalo. A função chama-se função de distribuição acumulativa.

Modelo Matemático Mapeamento dos símbolos da fonte em números: X(ai)=i ai Є A Onde A={a1,a2,...,am} é o alfabeto de entrada. X é a variável randômica. A função de densidade de probabilidade para a variável randômica é dada por: P(X = i) = P(ai) E a função de densidade cumulativa é dada por: Fx(i) = ∑ik=1 P(X = k)

Gerando uma Tag Exemplo: considere um alfabeto de três letras A={a1,a2,a3}, com P(a1)=0.7, P(a2)=0.1 e P(a3)=0.2. Com a função de densidade temos Fx(1)=0.7, Fx(2)=0.8 e Fx(3 )=1. Particionando o intervalo como na figura a seguir:

Procedimento Matemático Para facilitar, começaremos com uma seqüência de tamanho 1. Para o alfabeto A mapeamos cada símbolo para números reais com a fórmula: Analogamente podemos afirmar: Com isso, cada símbolo do alfabeto de entrada tem um valor único. Este é exatamente o ponto intermediário do intervalo, mas podemos pegar qualquer número dentro do intervalo para representar o código de entrada.

Procedimento Matemático Agora veremos o procedimento para geração de uma tag de uma seqüência de comprimento inteiro qualquer. Para a seqüência xi temos: Onde y < x significa que y precede x na ordem e o sobrescrito significa o tamanho da seqüência.

Geração do Limite Superior e Inferior Para conseguir o limite superior e inferior do intervalo que queremos avaliar temos: Com isso temos o intervalo no qual podemos escolher um número qualquer. Para pegar-se o ponto intermediário usa-se:

Exemplo - Codificação Expressar a frase “SWISS_MISS” em um número, através do método de Codificação Aritmética por Deslocamento.

Exemplo - Codificação LOW=0000, HIGH=9999 NovoLow = VelhoLow + Intervalo*IntervaloLow(X) NovoHigh = VelhoLow + Intervalo*InvertaloHigh(X) Intervalo = VelhoHigh - VelhoLow

Char Cálculo do index Low/High S W I L= 0 + ( 1 – 0 )*0.5 = 0.5 5000 5000 H= 0 + ( 1 – 0 )*1.0 = 1.0 9999 9999 L= 0.5 + ( 1 – 0.5 )*0.4 = 0.7 7000 7 0000 H= 0.5 + ( 1 – 0.5 )*0.5 = 0.75 7499 7 4999 L= 0 + ( 0.5 - 0 )*0.2 = 0.1 1000 1 0000 H= 0 + ( 0.5 - 0 )*0.4 = 0.2 1999 1 9999 L= 0.5 + ( 1 – 0.5 )*0.5 = 0.75 7500 7500 H= 0.5 + ( 1 – 0.5 )*1.0 = 1.0 9999 9999

Char Cálculo do index Low/High _ M I S L= 0.75 + ( 1 – 0.75 )*0.0= 0.75 7500 7 5000 H= 0.75 + ( 1 – 0.75 )*0.1=0.775 7749 7 7499 L= 0.5 + (0.75 – 0.5)*0.1=0.525 5250 5 2500 H= 0.5 + (0.75 – 0.5)*0.2 = 0.55 5499 5 4999 L= 0.25 + (0.5 – 0.25)*0.2 = 0.3 3000 3 0000 H= 0.25 + (0.5 – 0.25)*0.4 =0.35 3499 3 4999 L= 0 + ( 0.5 – 0 )*0.5 =0.25 2500 2500 H= 0 + ( 0.5 – 0 )*1.0 = 0.5 4999 4999 L= 0.25 + (0.5 – 0.25)*0.5=0.375 3750 3750 H= 0.25 + (0.5 – 0.25)*1.0 = 0.5 4999 4999

Exemplo - Codificação Valor de saída: 717533750

Exemplo - Decodificação LOW=0000, HIGH=9999, CODE = 7175 index = ((Code-Low+1)*10-1)/(High-Low+1) Low = Low+(High-Low+1) * LowCumFreq[X]/10 High = Low+(High-Low+1) * HighCumFreq[X]/10-1

Exemplo - Decodificação 1. index= [(7175 - 0 + 1) x 10 - 1]/(9999 - 0 + 1) = 7.1759 -> 7. Symbol "s" is selected. Low = 0 + (9999-0+ 1) x 5/10 = 5000. High = 0+ (9999-0+ 1) x 10/10-1 = 9999. 2. index= [(7175 - 5000 + 1) x 10 - 1]/(9999 - 5000 + 1) = 4.3518 -> 4. Symbol "w" is selected. Low = 5000 + (9999 - 5000 + 1) x 4/10 = 7000. High = 5000 + (9999 - 5000 + 1) x 5/10 - 1 = 7499. After the 7 is shifted out, Low=0000, High=4999, and Code=1753.

Exemplo - Decodificação 3. index= [(1753 - 0 + 1) x 10 - 1]/(4999 - 0 + 1) = 3.5078 -> 3. Symbol "I" is selected. Low = 0+ (4999 -0+ 1) x 2/10 = 1000. High = 0+ (4999 - 0+ 1) x 4/10-1 = 1999. After the 1 is shifted out, Low=0000, High=9999, and Code=7533. 4. index= [(7533 - 0 + 1) x 10 - 1]/(9999 - 0 + 1) = 7.5339 -> 7. Symbol "s" is selected. Low = 0+(9999-0+ 1) x 5/10 = 5000. High = 0+(9999-0+ 1) x 10/10-1 = 9999.

Exemplo - Decodificação 5. index= [(7533 - 5000 + 1) x 10 - 1]/(9999 - 5000 + 1) = 5.0678 -> 5. Symbol "s" is selected. Low = 5000 + (9999 - 5000 + 1) x 5/10 = 7500. High = 5000 + (9999 - 5000 + 1) x 10/10 -1 = 9999. 6. index= [(7533 - 7500 + 1) x 10 - 1]/(9999 - 7500 -I- 1) = 0.1356 -> 0. Symbol "u" is selected. Low = 7500 + (9999 - 7500 + 1) x 0/10 = 7500. High = 7500 + (9999 - 7500 + 1) x 1/10 - 1 = 7749. After the 7 is shifted out, Low=5000, High=7499, and Code=5337.

Exemplo - Decodificação 7. index= [(5337 - 5000 + 1) x 10 - 1]/(7499 - 5000 + 1) = 1.3516 -> 1. Symbol "M" is selected. Low = 5000 + (7499 - 5000 + 1) x 1/10 = 5250. High = 5000 + (7499 - 5000 + 1) x 2/10 - 1 = 5499. After the 5 is shifted out, Low=2500, High=4999, and Code=1375. 8. index= [(3375 - 2500 + 1) x 10 - 1]/(4999 - 2500 + 1) = 3.5036 -> 3. Symbol "I" is selected. Low = 2500 + (4999 - 2500 + 1) x 2/10 = 3000. High = 2500 + (4999 - 2500 + 1) x 4/10-1 = 3499. After the 3 is shifted out, Low=0000, High=4999, and Code=3750.

Exemplo - Decodificação 9. index= [(3750 - 0 + 1) x 10 - 1]/(4999 - 0 + 1) = 7.5018 -> 7. Symbol "s" is selected. Low = 0+(4999-0+1) x 5/10 = 2500. High = 0+ (4999-0+ 1) x 10/10-1 = 4999. 10. index= [(3750 - 2500 + 1) x 10 - 1]/(4999 - 2500 + 1) = 5.0036 -> 5. Symbol "s" is selected. Low = 2500 + (4999 - 2500 + 1) x 5/10 = 3750. High = 2500 + (4999 - 2500 + 1) x 10/10 - 1 = 4999.