Geometria Computacional Prof. Walter Mascarenhas Segundo semestre de 2004 Aula 5

Triangulação em O(n logn) 1 - Ordene os pontos pela coordenada y O(n logn) 2- Decomponha o polígono em trapézios usando uma scanline O(n logn) 3- Usando os trapézios, quebre o polígono em partes monótonas através da eliminação das cúspides internas O(n) 4- Triangule as partes monótonas O(n)

Vértices reversos e cúspides internas Um vértice v de um polígono P é reverso se o seu ângulo interno é estritamente maior que pi. Um vértice reverso r é uma cúspide interna de P com relação à reta r se seus dois vizinhos estão contidos no mesmo semi-plano fechado definido pela paralela a r que passa por v.

Partição em trapézios Um polígono particionado em trapézios (triângulos são trapézios degenerados.) Note que o lado inferior de cada trapézio contém exatamente um vértice e o superior também

Método da scanline

Algoritmo: 1 - Entrada: Polígono 2- Saída: lista de trapezóides, onde struct Trapezoide { int ladoDireito; int ladoEsquerdo; int verticeInferior; int verticeSuperior; };

Algoritmo: 1 - Usar estrutura de dados que permita busca, inserção e remoção em O(log n) comparações para armazenar os lados cortados pela scanline 2- Armazenar os vértices em um vetor ordenado pela coordenada y. 3- For( i = 0; i < nVertices; i++) trateVertice(i)

A estrutura de dados que mantém os lados é ordenada assim: int compare(lado1, lado2) { x1 = xDoCorte(lado1,scanline); x2 = xDoCorte(lado2,scanline); if( x1 x2 ) return 1; return compareInclinacoes(lado1,lado2); } Importante: esta comparação não se altera quando a scanline move. Se dois lados estão na estrutura de dados em dois momentos diferentes, então o resultado da comparação será o mesmo nos dois instantes.

Trate vértice: 6 casos 1- Dois lados acima da scanline 1.1 Vértice reverso 1.2 Vértice convexo 2- Dois lados abaixo da scanline 2.1 Vértice reverso 2.2 Vértice convexo 3- Lados em lados opostos 3.1 Polígono à esquerda 3.2 Polígono à direita

1- Dois lados acima da scanline 1.1 Vértice reverso: completar o trapézio ativo e inserir os dois lados. Atualizar o vértice inferior dos lados adjacentes 1.2 Vértice convexo: inserir os lados.

2- Dois lados abaixo da scanline 2.1 Vértice reverso. Completar os dois trapézios, remover os lados adjacentes e atualizar os vértices inferiores dos lados vizinhos 2.2 Vértice convexo. Completar o trapézio e remover os lados

3- Lados em lados opostos da scanline 3.1 Polígono à esquerda: Completar o trapézio, usando o lado adjacente esquerdo. Remover lado de baixo, inserir lado de cima, atualizar vértice de baixo do lado adjacente esquerdo. 3.2 Polígono à direita. Completar o trapézio, usando o lado adjacente direito. Remover lado de baixo, inserir lado de cima, atualizar vértice de baixo do lado adjacente direito.

O que fazer com y’s repetidos? 1 - Rotacionar a scanline, escolher outra direção 2- Rotacionar o polígono 3- Simular uma rotação muito pequena

Efeitos colaterais 1 - Rotacionar a scanline, escolher outra direção: Calcular interseções com retas inclinadas é mais caro do que com retas horizontais. Além disso, como escolher uma “boa” direção? 2- Rotacionar o polígono: As coordenadas dos vértices deixam de ser inteiras. Como achar um bom ângulo de rotação? 3- Simular uma rotação muito pequena. Como?

Rotação simulada Rotacione os vértices por um ângulo minúsculo. Qual ângulo? Se for minúsculo, não importa!

Rotação simulada

Para cada lado horizontal no polígono original, a interseção com a scanline será o primeiro vértice quando ele entra na estrutura de dados e o segundo vértice logo em seguida, quando ele sairá. E as interseções com a scanline?