AULA 8 Profa. Sandra de Amo GBC053 – BCC 2013-1 Método de Acesso Dinâmico: B-Tree - Busca e Inserção Chaves de busca sem duplicatas AULA 8 Profa. Sandra de Amo GBC053 – BCC 2013-1

B-Trees : Método de Acesso Dinâmico Nós internos da árvore são alterados à medida que novos registros são inseridos nas folhas, ou quando registros são deletados. Quando tais nós são alterados ? Operações de inserção e deleção são balanceadas de modo a que cada nó interno tenha uma ocupação mínima e máxima. Uma ocupação mínima de 50% é garantida em cada nó (exceto a raiz) Arvore é Balanceada Todos os caminhos da raiz até a folha têm o mesmo comprimento. Cada nó (exceptuando a raiz) contém m entradas, onde d ≤ m ≤ 2d, d = ordem da B-tree A raiz contém m entradas onde 1 ≤ m ≤ 2d Páginas das folhas são ligadas em sequência através de ponteiros – podem ser percorridas em sequência nas duas direções. Altura da árvore : Devido ao grande espalhamento da árvore, sua altura é raramente maior do que 4

Formato de um nó interno Pi = ponteiros que apontam para um núm. de página no nível imediatamente inferior Ki = valor do atributo chave do índice. Exemplo: se o atributo chave é idade então Ki é um valor de idade. P0 K1 P1 K2 P2 K3 ... Pi Ki+1 Pi+1 ... Km Pm K < Ki+1 K ≥ Ki+1 Valores K da chave nesta página são < Ki+1 Valores K da chave nesta página são ≥ Ki+1

Busca (entradas sem duplicatas) Ordem = 2 : cada nó interno contém K entradas, 2 <= K <= 4 Chave de busca contém chave candidata (não há duplicatas) 13 17 24 30 5 ? 15 ? 2* 3* 5* 7* 14* 16* 19* 20* 22* 24* 27* 29* 33* 34* 38* 39*

Inserção Se nó onde deve ocorrer a inserção não está cheio Exemplo inserindo 23 * 13 17 24 30 2* 3* 5* 7* 14* 16* 19* 20* 22* 23* 24* 27* 29* 33* 34* 38* 39*

Inserção: se nó onde deveria ocorrer a inserção já está cheio Variante 1 : Se nó está cheio divida e ajuste os nós ancestrais. Variante 2 : Testa primeiro se pode redistrisbuir num nó vizinho. Em caso negativo, divide. Ideal Nós intermediários: sempre dividir, não redistribuir Nós Folha: procure redistribuir entre os vizinhos Se tiver espaço no vizinho direito, redistribua. Caso contrário, verifica se tem espaço no vizinho esquerdo, e redistribua Caso contrário: divida a folha cheia.

Inserção : Testando vizinho à direita Inserindo 6* 13 17 24 30 2* 3* 5* 7* 14* 14* 16* 16* 19* 20* 22* 24* 27* 29* 33* 34* 38* 39* 6* CHEIA !!

Inserção : Testando vizinho à direita Inserindo 6* 13 17 24 30 2* 3* 5* 7* 14* 14* 16* 16* 19* 20* 22* 24* 27* 29* 33* 34* 38* 39* 2* 3* 5* 6* 7*

Inserção : Testando vizinho à direita Inserindo 6* 13 7* 17 24 30 2* 3* 5* 6* 7* 14* 16* 14* 16* 19* 20* 22* 24* 27* 29* 33* 34* 38* 39* 2* 3* 5* 6* 7*

Resumo: Pti = ponteiro de Pai apontando para VD Inserção da chave X na folha P P está cheia Vizinho à direita VD tem espaço e pai(VD) = pai(P) Insere X em P  Obtém página P’ com 2d+1 elementos Transfere último elemento Y de P’ para primeira posição de VD Seja Pai = pai(VD) = pai(P) Pti = ponteiro de Pai apontando para VD Ki = chave em Pai antes de Pti Substitui Ki por Y

Exercicio Inserir a chave 30* 13 17 24 32 2* 3* 5* 16* 7* 14* 14* 16* 19* 20* 22* 24* 27* 28* 29* 33* 34* 38*

Inserção : Testando vizinho à esquerda Inserindo 35* 8 17 24 30 2* 3* 5* 7* 14* 8* 14* 16* 16* 19* 20* 22* 24* 27* 29* 33* 34* 38* 39* 33* 34* 35* 38* 39*

Inserção : Testando vizinho à esquerda Inserindo 35* 8 17 24 34 2* 3* 5* 7* 14* 8* 16* 14* 16* 19* 20* 22* 24* 27* 29* 33* 34* 35* 38* 39*

Resumo: Inserção da chave X na folha P P está cheia Vizinho à direita VD não tem espaço ou não existe ou pai(VD) ≠ pai(P) Vizinho à esquerda VE tem espaço e pai(VE) = pai(P) Insere X em P  Obtém página P’ com 2d+1 elementos Transfere primeiro elemento Y de P’ para última posição de VE Seja Pai = pai(P) = pai(VE) Pti = ponteiro de Pai apontando para P Ki = chave em Pai antes de Pti Substitui Ki por Y

Exercicio Inserir a chave 25* 13 17 24 32 2* 3* 5* 16* 7* 14* 14* 16* 19* 20* 22* 24* 27* 28* 29* 33* 34* 38* 39*

Discussão Distribuição nas folhas vizinhas não acarreta mudança aumento de ocupação dos nós pais Portanto: Nós pais não ultrapassam ocupação máxima Não precisam ser divididos nem redistribuídos entre seus vizinhos Não há crescimento da altura da árvore Modificações não se propagam para nós acima do nó-pai

Inserção : Vizinhos estão cheios Divisão da Folha Inserindo 8* Cheia ! 13 17 24 30 2* 3* 7* 8* 5* 7* 5 5* 13* 14* 15* 16* 19* 20* 22* 24* 27* 29* 33* 34* 38* 39* 2* 3* 5* 7* 8* Cheia !

Divisão de nós intermediários 5 13 17 24 30 2* 3* 5 5* 7* 8* 5* 7* 13* 14* 15* 16* 19* 20* 22* 24* 27* 29* 33* 34* 38* 39*

Divisão de nó intermediário 17 5 13 24 30 2* 3* 7* 8* 5* 7* 5 5* 14* 16* 19* 20* 22* 24* 27* 29* 33* 34* 38* 39*

Resumo: Divisão de Folha Inserção da chave X na folha P P está cheia Vizinho à direita VD não tem espaço ou não existe ou pai(VD) ≠ pai(P) Vizinho à esquerda VE não tem espaço ou não existe ou pai(VE) ≠ pai(P) Insere X em P  Obtém página P’ com 2d+1 elementos Divide página P em duas páginas P1 e P2 P1 tem d elementos P2 tem d+1 elementos Pai = pai(P) Elimina ponteiro de Pai que aponta para P Y = primeiro elemento de P2 Insere novo nó Y em Pai Insere dois novos ponteiros em Pai à esquerda de Y apontando para P1 à direita de Y apontando para P2 Se Pai ultrapassar tamanho máximo : Divide(Pai)

Resumo: Divisão de nó intermediário Divide(P), P = nó intermediário, P ≠ raiz Tamanho(P) = 2d+1 X = chave do meio de P Divide P em P1 e P2 P1 contém os d primeiros elementos de P P2 contém os d últimos elementos de P Seja Pai = pai(P) Insere X em Pai Elimina ponteiro de Pai que apontava para P Insere dois novos ponteiros em Pai à esquerda de X apontando para P1 à direita de X apontando para P2 Se Pai ultrapassar tamanho máximo : Divide(Pai)

Resumo: Divisão de Raiz Divide(P), P = nó intermediário, P = raiz Tamanho(P) = 2d+1 X = chave do meio de P Divide P em P1 e P2 P1 contém os d primeiros elementos de P P1 contém os d últimos elementos de P Cria novo nó raiz R com única chave X, em nível acima do nível dos nós P1 e P1 Insere dois ponteiros em R à esquerda de X apontando para P1 à direita de X apontando para P2

Exercicio: Insira (49,*) 16 8 11 25 34 45 55 17* 19* 23* 24* 26* 28* 35* 37* 38* 40* 46* 47* 48* 54* 56* 58* 60* 65* 2* 5* 6* 12* 14* 15* 8* 9* 10* 23