Aula 3 – Lei de Gauss Viviane Galvão 1

2 Estudo Dirigido 1 – Do que trata a Lei de Gauss 2– Fluxo 3 – Fluxo do Campo Elétrico 4 – Lei de Gauss 5 – Cálculo do Campo Elétrico de uma carga puntiforme 6 - Cálculo do Campo Elétrico em um Condutor 7 - Cálculo do Campo Elétrico em uma Simetria Plana 8 - Cálculo do Campo Elétrico em uma Simetria Cilíndrica 9 - Cálculo do Campo Elétrico em uma Simetria Esférica

LEI DE GAUSS A lei de Gauss é equivalente a lei de Coulomb na eletrostática, a escolha de qual utilizar dependerá do tipo de problema proposto. Lei de Coulomb = problemas que tenham pouco ou nenhum grau de simetria. Lei de Gauss = problemas com elevado grau de simetria. 3

4 Propriedades das linhas de campo elétrico A quantidade de linhas de campo associada a uma distribuição de carga elétrica é proporcional à carga da distribuição  Quanto maior a carga, maior a quantidade de linhas de campo. Linhas de campo não se cruzam!  Divergem de cargas positivas;  Convergem para cargas negativas; O vetor campo elétrico é um ponto do espaço é tangente à linha de campo naquele ponto

LEI DE GAUSS A figura principal da lei de Gauss é uma superfície fechada hipotética, chamada SUPERFÍCIE GAUSSIANA. Pode ser uma ESFERA, CILINDRICO ou qualquer outra forma simétrica. 5

Lei de Gauss Conhecendo a Lei de Gauss podemos calcular com precisão a quantidade de carga líquida que esta no interior da superfície. 6

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11 Fluxo elétrico de uma superfície fechada  quando existe mais linhas saindo do que entrando na superfície.  quando existe mais linhas entrando do que saindo da superfície.

12 A quantidade de linhas emitidas por uma carga é proporcional à quantidade de cargas. A intensidade do campo depende da densidade de linhas.  O campo elétrico deve ser proporcional à quantidade de cargas. Para contar as linhas do campo, englobamos as cargas em uma superfície fechada  Superfície Gaussiana, arbitrariamente escolhida. Lei de Gauss

13  é um vetor que representa um elemento local de área Através da Lei de Gauss podemos calcular o campo elétrico para distribuições simétricas de cargas em problemas mais complexos. Consideramos uma carga pontual positiva q situada no centro de uma superfície esférica de raio r, As linhas do campo irradiam para fora e, portanto, são perpendiculares à superfície em cada ponto  O fluxo através da pequena área é: O fluxo resultante através de toda a superfície Como E é constante sobre toda a superfície  Lei de Gauss

14  módulo do campo elétrico em toda a parte da superfície esférica  área da superfície esférica Substituindo na expressão do fluxo teremos Como, É um resultado que não depende de r e diz que O fluxo resultante através duma superfície esférica é proporcional à carga q no interior da superfície Lei de Gauss

15 Lei de Gauss  é uma representação matemática do fato de que: O fluxo resultante é proporcional ao número de linhas do campo O número de linhas do campo é proporcional à carga no interior da superfície Toda linha do campo a partir da carga tem de atravessar a superfície

16 Lei de Gauss Superfícies fechadas de várias formas englobando uma carga q O número de linhas do campo elétrico através da superfície esférica S 1 = ao número de linhas do campo elétrico através das superfícies não esféricas S 2 e S 3. Portanto, é razoável concluir que o fluxo resultante através de qualquer superfície fechada é independente da forma dessa superfície O fluxo resultante através de qualquer superfície fechada que envolve uma carga pontual q é dado por

Lei de Gauss A lei de Gauss relaciona fluxo do campo através de uma superfície fechada e a carga líquida que esta envolvida por esta superfície. q é a soma algébrica de todas as cargas. Podemos escrever também como q = positiva, o fluxo é para fora q = negativa, o fluxo é entrando. As cargas fora da superfície não são incluídas no termo q, e a maneira como as cargas são distribuídas no interior também não importa, só o módulo e o sinal de q importa. 17

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Condutor Isolado “ Qualquer excesso de carga colocado em um condutor isolado se moverá inteiramente para a superfície do condutor. Nenhum excesso de carga será encontrado no interior do condutor.” A lei de Gauss nos permite demonstrar um importante teorema sobre os condutores isolados: 20

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Simetria Esférica Vimos dois teoremas: “ Uma casca com uma carga uniforme atrai ou repele uma partícula carregada externa à casca, como se toda a carga se concentrasse no seu centro.” “Uma casca uniforme não exerce força eletrostática sobre uma partícula carregada que se localize no interior da casca.” 25

Simetria Esférica Provar Primeiro Teorema: Consideremos uma casca esférica de carga total q e de raio R e duas superfícies esféricas gaussianas concêntricas S 1 e S 2. Para S 2 : Que é idêntico a um campo criado por uma carga puntiforme. Assim o módulo da força que atua sobre a carga externa é o mesmo que de uma carga colocado no centro da casca. 26

Simetria Esférica Provar Segundo teorema: Aplicando a Lei de Gauss para S 1 temos: Para S 1 : 27

Exemplo 1: Determinar o fluxo elétrico através de uma superfície cilíndrica, que está num campo elétrico uniforme 28 a  b b  c  O fluxo através de toda a superfície é