Álgebra Linear Espaços Vetoriais Vetores u = (x, y,..) Operações – Multiplicação por escalar (x) ku = (kx, ky,..) – Soma (+) u + v = (x u +x v, y u +y.

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1 Álgebra Linear Espaços Vetoriais Vetores u = (x, y,..) Operações – Multiplicação por escalar (x) ku = (kx, ky,..) – Soma (+) u + v = (x u +x v, y u +y v,..)

2 Álgebra Linear Espaços Vetoriais Propriedades (u + v) + w = u + (v + w) u + v = v + u Existe 0  V tal que u+0=u (vetor nulo) Existe -u  V tal que u+(-u)=0 a(u + v) = au + av (a + b)v = av + bv (ab)u = a(bu) I u = u

3 Álgebra Linear Espaços Vetoriais Espaço vetorial Seja V x V  V (+) Seja R x V  V (x) Seja u, v, w  V Seja a, b  R Onde todas as propriedades são válidas

4 Álgebra Linear Espaços Vetoriais Subespaço vetorial Seja o espaço vetorial V Seja o subconjunto W não vazio W é subespaço vetorial de V se para quaisquer u, v  W tivermos u + v  W para quaisquer a  R, u  W tivermos au  W

5 Álgebra Linear Espaços Vetoriais Combinação linear Seja V um espaço vetorial real (ou complexo) Seja v 1, v 2,..., v n  V Seja a 1, a 2,..., a n  R (ou complexo) Então v = a 1 v 1 + a 2 v 2 +... + a n v n onde v  V v é combinação linear de v 1, v 2,..., v n

6 Álgebra Linear Espaços Vetoriais Dependência e independência linear Seja V um espaço vetorial Seja v 1, v 2,..., v n  V {v 1, v 2,..., v n } é LI se a 1 v 1 + a 2 v 2 +... + a n v n = 0, com a 1 = a 2 =... = a n = 0 {v 1, v 2,..., v n } é LD se existe algum a i ≠0

7 Álgebra Linear Espaços Vetoriais Base de um espaço vetorial Um conjunto {v 1, v 2,..., v n } de vetores de V será uma base de V se: {v 1, v 2,..., v n } é LI [v 1, v 2,..., v n ] = V

8 Álgebra Linear Espaços Vetoriais Mudança de base [v] β = [ I ] β β’ [v] β’ Onde [ I ] β β’ é a matriz de mudança da base β’ para a base β