MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Operações envolvendo números complexos

Apresentação em tema: "MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Operações envolvendo números complexos"— Transcrição da apresentação:

1 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Operações envolvendo números complexos
Ensino Médio, 3º ano Operações envolvendo números complexos

2 Igualdade de complexos; Oposto de um número complexo;
Para iniciarmos os nossos estudos a respeito de Operações envolvendo números complexos, vamos começar com uma breve revisão sobre: Igualdade de complexos; Oposto de um número complexo; Conjugado de um número complexo.

3 IGUALDADE DE COMPLEXOS
Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1= a + bi e z2 = c + di, temos que: z1 = z2 ⇔ a = c e b = c

4 EXEMPLO 1 Se x e y são números reais, sob que condições os complexos (x – 1) + (y + 2)i e 3 – 5i são iguais? Resolução: Igualando os complexos, temos: (x – 1) + (y + 2)i = 3 – 5i ⇒ x – 1 = 3 ⇒ x = 4 ⇒ y + 2 = –5 ⇒ y = –7

5 EXEMPLO 2 Determine os valores reais de m e n para que os complexos (m – 5) + ni e (n + 3) + (2m + 1)i sejam iguais? Resolução: Igualando os complexos, temos: (m – 5) + ni = (n + 3) + (2m + 1)i m – 5 = n + 3 ⇒ m – 5 = 2m ⇒ – m = 9 n = 2m + 1 ⇒ m = – 9 ⇒ n = 2(–9) + 1 ⇒ n = – 17

6 OPOSTO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Chama-se oposto ou simétrico de um complexo z o complexo indicado por –z, assim definido. z = a + bi ⇒ –z = – (a + bi) = – a – bi

7 EXEMPLO Escreva os simétricos dos seguintes números complexos: (o número é multiplicado por -1) a) 3 + 4i = b) –3 + i = c) 1 – i = d) –2 + 5i = – 3 – 4i 3 – i – 1 + i 2 – 5i

8 CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Dado um número complexo z = (a, b), consideremos o par ordenado simétrico a z em relação ao eixo x. Tal par é chamado conjugado de z, e é indicado por z. z = a + bi ⇒ z = a + bi = a – bi

9 EXEMPLO Escreva os conjugados dos seguintes números complexos: (troca-se o sinal da parte imaginária) a) 3 + 4i = b) 1 – i = c) –2 – 5i = d) 2i = e) – 8 = 3 – 4i 1 + i – 2+5i – 2i – 8

10 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ENTRE COMPLEXOS
Para adicionar ou subtrair dois números complexos devemos adicionar ou subtrair as suas partes reais e imaginárias, separadamente. Se z1 = a +bi e z2 = c +di são dois números complexos, então a sua soma é um outro número complexo dado por z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i e sua diferença é um outro número complexo dado por z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.

11 EXEMPLO Calcule: (somam-se/subtraem-se as partes reais e as partes imaginárias separadamente) a) (2 + 5i) + (3 + 4i) =       (2 + 3) + (5i + 4i) = 5 + 9i b) i + (2 – 5i) = i + 2 – 5i = 2 – 4i c) (2 + 5i) – (3 + 4i) =        2 + 5i – 3 – 4i = – 1 + i d) (1 + i) – (1 – i) = 1 + i – 1 + i = 2i

12 POTÊNCIAS DE I Para as potências do tipo in da unidade imaginária i, n natural, valem as definições. Para n > 2, valem as propriedades usuais da potenciação em ℝ. i0 = 1 i4 = i2. i2 = (–1).(–1) = 1 i1 = i i5 = i4. i = (1). i = i i2 = –1 i6 = i4. i2 = 1.(–1) = –1 i3 = i2. i = (–1). i = – i i7 = i4. i3 = 1.(–i) = – i

13 POTÊNCIAS DE I Qualquer potência de in, n natural, pode ser calculada a partir das quatro primeiras. i0 = 1 i1 = i i2 = –1 i3 = –i O valor de in é o mesmo de ir, sendo r o resto da divisão de n por 4.

14 EXEMPLOS 1º) Calcular i42 + i37. 42 4 37 4 2 10 1 9
i42 + i 37 = –1 + i i42 = i2 = –1 i37 = i1 = i 2º) Calcular i4n – 2. i4n (i4)n 1n i4n – 2 = = = = –1 i2 –1 –1 i4n – 2 = –1

15 MULTIPLICAÇÃO ENTRE COMPLEXOS
Dados dois números complexos, z1 e z2, para obter z3= z1. z2 , aplicamos a propriedade distributiva, as potências de i e depois reduzirmos os “termos semelhantes”.

16 EXEMPLO 1 Calcule os seguintes produtos: (aplica-se a distributividade e a soma ou subtração) a) (2 + 3i) (3 – 2i)         = (2)(3) – (2)(2i) + (3i)(3) – (3i)(2i) = 6 – 4i + 9i – 6i2 = 6 + 5i + 6 = i b) (1 + 3i) (1 + i) = (1)(1) + (1)(i) + (3i)(1) + (3i)(i) = 1 + i +3i + 3i2 = 1 + 4i – 3 = – 2 + 4i

17 EXEMPLO 2 Determinar o complexo z que satisfaz a igualdade seguinte 2z + 5z = 7 + 6i. Resolução: Fazendo z = a + bi, com a e b reais, temos 2z + 5z = 7 + 6i ⇒ 2(a + bi) + 5(a – bi) = 7 + 6i ⇒ 2a + 2bi + 5a – 5bi = 7 + 6i ⇒ 7a – 3bi = 7 + 6i 7a = 7 ⇒ ⇒ a = 1 e b = –2 ⇒ z = 1 – 2i –3b = 6

18 EXEMPLO 3 Obter o complexo z que, multiplicado por 2 – i, resulta 8 + i. Resolução: z.(2 – i) = 8 + i Fazendo z = a + bi, com a e b reais, temos (a + bi).(2 – i) = 8 + i ⇒ 2a – ai + 2bi – bi2 = 8 + i ⇒ 2a – ai + 2bi + b = 8 + i 2a + b = 8 ⇒ 2a + b + (2b – a)i = 8 + i ⇒ 2b – a = 1

19 Resolvendo o sistema, chegamos a:
2a + b = 8 2a + b = 8 ⇒ + 2b – a = 1 x (2) 4b – 2a = 2 5b = 10 ⇒ b = 2 ⇒ 2a + 2 = 8 ⇒ a = 3 ⇒ z = a + bi ⇒ z = 3 + 2i

20 DIVISÃO ENTRE COMPLEXOS
Sejam dois números complexos, z1 e z2, com z2 ≠ 0, definimos a divisão multiplicando ambos os números pelo conjugado do complexo do denominador. z1 z2 . z2 =

21 EXEMPLO Efetue as divisões indicadas abaixo. 8 + i 8 + i a) b) 2 – i
16 + 8i + 2i + i2 24 – 16i + 3i – 2i2 22 – i2 32 – 4i2 16 + 8i + 2i – 1 24 – 16i + 3i + 2 4 – (–1) 9 + 4 i 26 – 13i = 3 + 2i = 2 – i 5 13

22 INVERSO DE UM COMPLEXO Se z é um complexo não-nulo, chamamos de inverso de z o complexo representado por z–1 e assim definido. 1 z z–1 =

23 EXEMPLO Determine o inverso do número complexo z = i. 1 z–1 = i
(i) . (–i) –i z–1 = –i2 –i z–1 = 1 z–1 = – i

24 POTENCIAÇÃO DE COMPLEXOS (EXPOENTE NATURAL)
Se n é um número natural e z é um complexo qualquer, a potência zn é, por definição, o produto de n fatores iguais a z. z0 = (z ≠ 0) z1 = z zn = z. z.z ... .z n fatores

25 EXEMPLO 1 (3 + i)0 = 1 (–5 + 2i)1 = –5 + 2i (2 – 3i)2 = 4 – 12i + 9i2
= 1 (–5 + 2i)1 = –5 + 2i (2 – 3i)2 = 4 – 12i + 9i2 = 4 – 12i – 9 = –5 – 12i (1 + i)3 = 1 + 3i + 3i2 + i3 = i – 3 – i = –3 + 2i

26 EXEMPLO 2 Calcular o valor da constante real k, para que o complexo z = (k + 2i)2 seja imaginário puro. z = (k + 2i)2 = k2 + 4ki + 4i2 = k2 – 4 + 4ki z imaginário puro, devemos ter: Re(z) = 0 k2 – 4 = 0 ⇒ ⇒ k = ± 2 Im(z) ≠ 0 4k ≠ 0

27 POTENCIAÇÃO DE COMPLEXOS (EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO)
A partir do conceito de inverso de um número complexo, podemos calcular uma potência com expoente inteiro negativo. Sendo z um complexo, z ≠ 0 e n um número natural, define-se: 1 z z–n = n

28 EXEMPLO Sendo z = 1 – i, calcular z–2.
Primeiro vamos calcular z–1; depois z–2. 1 1 1 + i 1 + i 1 + i z–1 = = = = = z 1 – i (1 – i).(1 + i) 12 – i2 2 1 + i 2 1 + 2i + i2 1 + 2i – 1 2i i z–2 = (z–1)2 = = = = = 2 4 4 4 2

29 EXERCÍCIOS 1º) (UCSal) - Para que o produto (a + i).(3 - 2i) seja real qual deve ser o valor de “a”? 2º) (UFBA) - Sendo a = i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , calcule o valor de a.c + b. 3º) (Mackenzie-SP) – Calcule o valor da expressão y = i + i2 + i i1001. 4º) Calcule o número complexo i126 + i i31 - i180. 5º) (UEFS-93.2) - Se m ni = (3 + i).(1 + 3i), calcule os valores de m e n. 6º) Efetue as seguintes divisões de números complexos: a) b)

30 EXTRAS GEOGEBRA Utilizar o software geogebra para trabalhar as operações entre números complexos. Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: SHOW DO MILHÃO Um jogo com perguntas somente de números complexos e pode ser obtido no endereço:

31 REFERÊNCIAS Sites: Livros:
Livros: I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3 : ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.