Profª. Maria Ester Domingues de Oliveira

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1 Profª. Maria Ester Domingues de Oliveira
ESTATÍSTICA INDUTIVA Parte I Profª. Maria Ester Domingues de Oliveira

2 Distribuição Normal ou de Gauss
Muitas variáveis apresentam uma distribuição equilibrada, em que os valores centrais são mais freqüentes e os extremos, mais raros, sendo os valores muito baixos tão pouco freqüentes quanto os muito altos Figura Taxa de hemoglobina em 560 homens normais.

3 Área total sob a curva norma = 1
Propriedades ou características curva normal Uma distribuição normal é uma distribuição contínua de probabilidade de uma variável aleatória x. Seu gráfico é chamado de curva normal Área total sob a curva norma = 1

4 Propriedades da curva normal
Tem forma de sino Simétrica em torno da média (µ) A média, a mediana e a moda são iguais A área total sob a curva normal é igual a 1 ou 100% A curva tem dois pontos de inflexão, um desvio-padrão () acima e abaixo da média Aproximadamente 68% dos valores de x situam-se entre os pontos (µ-) e (µ+) Aproximadamente 95% dos valores de x estão entre (µ-2) e (µ+2) Aproximadamente 99,7% dos valores de x estão entre (µ-3) e (µ+3)

5 Propriedades da curva normal
Uma distribuição Normal pode ter qualquer média e qualquer desvio padrão positivo. Esses dois parâmetros µ (média populacional) e  (desvio padrão populacional), determinam o aspecto da curva normal. A média dá a localização do eixo de simetria e o desvio padrão descreve quanto os dados se espalham em torno da média.

6 68 % 95 % 99,7 % 2,35% 13,5% 34%

7 68 % 95 % 99,7 % 0,0235 0,135 0,34

8 Exemplo As pontuações de um teste de QI em adultos são normalmente distribuídos com µ = 100 e  = 15. Calcule a probabilidadede um adulto escolhido ao acaso ter QI entre 70 e 115

9 Exemplo 55 70 85 100 115 130 145 Solução: A pontuação 70 está dois desvios padrões abaixo da média e 115 um desvio acima

10 Exemplo 68 % 13,5% 34% Portanto, Área = 13,5 + 34 + 34 = 81,5%
100 115 130 145 85 70 55 Portanto, Área = 13, = 81,5% Ou seja, probabilidadede um adulto escolhido ao acaso ter QI entre 70 e 115 é de 81,5% P(70<x<115) = 81,5%

11 Distribuição Normal Padrão
Existem infinitas distribuições Normais, Cada uma com sua própria média e desvio padrão. A Distribuição Normal Padrão é aquela com média µ = o e desvio padrão  = 1. A escala horizontal no gráfico da distribuição normal padrão corresponde aos escores Z Um escore é uma medida de posição que indica o número de desvios de um valor em relação à média

12 Escore Padronizado Você pode transformar um valor x em um escore z usando a fórmula, para obtenção das áreas na tabela da curva normal: Onde, µ = média populacional  = desvio-padrão populacional para a variável x z = nome da variável tabelada

13 Escore Padronizado -3 -2 -1 1 2 3

14 Exercício Uma criança apresentou escore 109 no teste Wechesler de QI. Sabendo que esse teste padronizado é escalonado na população de forma a ter média µ = 100 e  = 15, transforme o escore bruto (x) em unidade de escore padronizado. - = 109 z 100 15 0,60

15 100 115 130 145 85 70 55 1 2 3 -1 -2 -3 Z x 109 0,60

16 Encontrando Probabilidades
Agora, aprenderemos a calcular as áreas que correspondem a outros valores de x Após utilizarmos a fórmula para transformar x em escore z Usaremos a tabela Normal Padrão A tabela mostra a área acumulada sob a curva normal, sempre do escore z até a média µ

17 Tabela de probabilidades da curva normal reduzida
Como a normal é simétrica, a tabela apresenta somente as probabilidades da metade direita da curva. A probabilidade de um intervalo qualquer da metade esquerda é igual à probabilidade do intervalo equivalente na metade direita. Suponha um Z calculado igual a Z = 2,25

18 Tabela de probabilidades da curva normal reduzida Z
Tabela de probabilidades destacando a ocorrência do valor 2,25 em uma curva normal reduzida

19 Exercício Qual a área correspondente a valores de Z acima de 2,3?
A curva toda tem área = 1, portanto a área a direita de zero é 0,5 Na tabela da curva normal, verifica-se que a área entre z = 0 e z = 2,3 é 0,4893 A área à direita de 2,3, portanto, é 0,5 – 0,4893 = 0,0107

20 Exercício Qual a área compreendida entre z = -1,5 e z = 1?
Segundo a tabela da curva normal, a área entre z = 0 e z = -1,5 é 0,4332 A área entre z = 0 e z = 1 é 0,3413 Portanto a área desejada é 0, ,3413 = 0,7745

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22 Exercício Resolvido Um treinador deseja selecionar, dentre os jovens que estão prestando serviço militar no quartel Q, aqueles com uma estatura de no mínimo 180 cm, para formar um time de basquete. Que percentagem é esperada de jogadores em potencial, sabendo-se que a estatura tem distribuição normal e, nesses jovens, a média é 175 cm, e o desvio-padrão, 6 cm? Desenhar a curva normal, hachurando-se a área de interesse Transformar a variável estatura (x) na variável padronizada z

23 - = 175 z 6 Para x = 175 - = 180 z 175 6 0,83 Para x = 180 Verifica-se na tabela de distribuição da normal que a área entre z = 0 e z = 0,83 é 0,2967 e a área além de 0,83 é (0,5 – 0,2967) = 0,2033 0,2967 50% ou 0,5

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25 Portanto, 20,33% dessa população são constituídos de indivíduos com estatura igual ou superior a 180 cm. Se 140 jovens estão prestando serviço militar no quartel Q, o número esperado de rapazes que pode ser convidado para participar do time de basquete é 20,33% de 140  0,2033 x 140 = 28,46, isto é, 28 jovens

26 Interatividade Um levantamento indica que , a cada ida ao supermercado, um comprador gasta uma média  = 45 minutos, com um desvio padrão de  = 12 minutos. O período gasto no supermercado é normalmente distribuído e representado pela variável x. Um comprador entra no supermercado. Obtenha a probabilidade de que o comprador fique no supermercado por mais do que 39 minutos A) 71,15% B) 85,4% C) 69,15% D) 19,15%

27 Resolução 39 - 45 z = = - 0,5 12 Vai na tabela acha a área correspondente a Z=0, ,1915 0,5 0,1915 39 45 -1 -0,5 1 P( x>39) = 0, ,5 = 0,6915 0,6915 x 100 = 69,15%

28 Resposta C) 69,15%

29 Intervalos de Confiança
A partir de agora aprenderemos uma técnica importante de estatística inferencial: como aplicar amostras estatísticas para estimar o valor desconhecido de um parâmetro populacional. Nesta parte, aprenderemos a usar amostras estatísticas para fazer uma estimativa do parâmetro populacional µ quando o tamanho da amostra for pelo menos 30 ou quando a população tiver uma distribuição normal com desvio padrão σ conhecido.

30 Simbologia µ Média Populacional X Média Amostral
σ Desvio Padrão Populacional S Desvio Padrão Amostral

31 O Erro amostral é o resultado inevitável do fato de trabalharmos com uma fração da população.
Uma estimativa intervalar é um intervalo de valores usado para estimar um parâmetro populacional. Nível de confiança (C) é a probabilidade de que o intervalo estimado contenha o parâmetro populacional.

32 Estimativa pontual é a estimativa de um único valor para um parâmetro populacional.
No caso em questão, utilizaremos como estimativa pontual o valor da média amostral( X )

33 Conforme citamos anteriormente, se n ≥ 30, a distribuição amostral de médias é uma distribuição Normal. O nível de confiança C é a área sob a curva normal entre –Zc e Zc. A área remanescente é 1 –Zc . Portanto, a área de cada calda é ( 1 – C ) 2

34 Os outros 5% estão à direita de Zc = 1,645
Se C = 90%, então os 5% da área estão divididos à esquerda de Zc = -1,645 e Os outros 5% estão à direita de Zc = 1,645 ( 1 – C ) 2 ( 1 – C ) 2 Zc = -1,645 Zc = 1,645

35 Intervalos de Confiança
Erro amostral é resultado inevitável do fato de trabalharmos com uma fração da população A distância entre a estimativa pontual (X) e o valor do parâmetro real (μ)é chamado de erro de estimativa

36 Definição: Dado um nível de confiança C, o erro máximo de estimativa (algumas vezes chamado de margem de erro) E é a maior distância possível entre a estimativa pontual e o valor do parâmetro a ser estimado. Quando n ≥ 30, o desvio padrão S pode ser usado em lugar de σ

37 Intervalos de Confiança
Parâmetro é uma descrição numérica de uma característica da população. Estatística é uma descrição numérica de uma característica da amostra.

38 Intervalos de Confiança
Estimativa pontual é uma estimativa de um único valor para um parâmetro populacional. Estimativa Intervalar é um intervalo de valores para estimar um parâmetro populacional. Nível de Confiança é a probabilidade de que um intervalo estimado contenha o parâmetro populacional.

39 Intervalos de Confiança para a média populacional
Intervalos de Confiança para a média populacional. Amostra com 30 ou mais elementos

40 Intervalo de confiança para média populacional
Usando uma estimativa pontual e um erro máximo de estimativa, você pode construir uma estimativa intervalar de uma parâmetro populacional como μ. Essa estimativa intervalar é chamada de intervalo de confiança. X – E < μ < X + E A probabilidade de que o intervalo de confiança contenha μ é C

41 Exemplo

42 Intervalo de Confiança para a média. Amostra com menos de 30 elementos
Em muitas situações da vida real, o desvio padrão populacional é desconhecido. Além disso, em função de fatores como tempo e custo, frequentemente não é prático colher amostras de tamanho30 ou mais. Se a variável aleatória for normalmente distribuída ( ou aproximadamente normalmente distribuída), a distribuição amostral para X é uma distribuição t

43 Intervalo de Confiança para a média. Amostra com menos de 30 elementos
A distribuição t é uma família de curvas, cada uma delas determinada por um parâmetro chamado grau de liberdade Quando se usa uma distribuição t para estimar uma média populacional, o número de graus de liberdade é igual ao tamanho da amostra menos 1 Os valores críticos de t são denotados por tc g.l. = n - 1

44 Intervalo de Confiança para a média. Amostra com menos de 30 elementos

45 Tabela de Distribuição t.

46 Exemplo

47 Interatividade

48 Resposta B) 3.

49 Intervalos de Confiança para a variância e desvio-padrão
Na produção industrial, é necessário controlar o tamanho da variação de um processo. Um fabricante de peças automobilísticas deve produzir, por exemplo, milhares de peças para serem usadas no processo de fabricação. É importante que estas partes variem muito pouco ou nada Como medir e, controlar o tamanho da variação nas peças? Você pode começar por uma estimativa pontual

50 Intervalos de Confiança para a variância e desvio-padrão
A estimativa pontual para σ2 é S2 e a estimativa pontual para σ é S. Você pode usar uma distribuição de qui -quadrado para construir um intervalo de confiança para variância e desvio padrão Se a variável aleatória x tiver uma distribuição norma, então a distribuição de ( n – 1)S2 σ 2 =

51 A distribuição qui -quadrado é uma família de curvas, cada uma delas determinada pelos graus de liberdade. Para formar um intervalo de confiança para σ2 use a distribuição 2 com um número de graus de liberdade igual ao tamanho da amostra menos um g.l. = n - 1

52 Intervalos de Confiança para a variância e desvio-padrão
 = região de rejeição ( 1 – C ) 2

53 Tabela. Distribuição Qui-Quadrado

54 Exemplo

55 Exemplo. Continuação

56 Exemplo. Continuação

57 Interatividade

58 Resposta

59 Testes de Hipóteses

60 Teste de Hipóteses

61 Teste de independência de qui -quadrado
Um teste de independência qui -quadrado é usado para testar a independência de duas variáveis. Usando um teste qui -quadrado , pode-se determinar se a ocorrência de uma variável afeta a probabilidade de ocorrência da outra. Para usar o teste de independência qui -quadrado , as seguintes opções devem ser satisfeitas. 1.A frequência observada deve ser obtida usando uma amostra aleatória 2.Cada frequência esperada deve ser maior ou igual a cinco

62 Se as condições anteriores forem satisfeitas, então a distribuição amostral para o teste de independência qui -quadrado será uma distribuição qui –quadrada com (l-1)(c-1) Graus de liberdade, onde l = o número de linhas e c = colunas da tabela de contingência.

63 A estatística teste para o teste de independência qui-quadrado é
Onde, O representa as frequencias observadas E representa as frequencias esperadas 2=  (O – E)2 E

64 Teste de Qui-Quadrado. Independência
(l-1)(c-1)

65 Obtendo a Frequência Esperada
El,c = (soma da linha l) x (soma da coluna c) Tamanho da amostra

66 Exemplo El,c = (soma da linha l) x (soma da coluna c)
Tamanho da amostra Frequencia Esperada 58 x 50 120 =24,17 58 x 70 120 =33,83 62 x 50 120 =25,83 70 x 62 120 =36,17

67 Exemplo. Continuação =16,1 16,1 24,17 (35-24,17)2=117,3 117,3 33,83
(23-33,83)2=117,3 25,83 (15-25,83)2=117,3 36,17 (47-36,17)2=117,3 36,317 =4,9 =3,5 =4,5 =3,2 =16,1 16,1

68 Exemplo. Continuação (16,1) >

69 Interatividade

70 Resposta A) 3,841.

71 Introdução à Estatística
Podemos considerar a estatística como a ciência que se preocupa com a coleta, organização, resumo, análise e interpretação dos dados experimentais.

72 Introdução à Estatística
A Estatística se divide em dois modos Estatística Descritiva Estatística Indutiva

73 Introdução à Estatística
DESCRITIVA INDUTIVA coleta organização resumo análise interpretação

74 Correlação Linear Objetivo
Estudar a relação entre duas variáveis quantitativas quando os dados são apresentados como pares ordenados Exemplos: Idade e altura das crianças Tempo de prática de esportes e ritmo cardíaco Tempo de estudo e nota na prova Taxa de desemprego e taxa de criminalidade Expectativa de vida e taxa de analfabetismo

75 Correlação Linear Investigaremos a presença ou ausência de relação linear sob dois pontos de vista: a) Quantificando a força dessa relação: correlação. b) Explicitando a forma dessa relação: regressão Representação gráfica de duas variáveis quantitativas: Diagrama de dispersão

76 Definição Uma correlação é uma relação entre duas variáveis.
Os dados podem ser apresentados por pares ordenados (x,y) onde x é a variável independente e y é a variável dependente. O gráfico de pares ordenados é chamado de mapa de dispersão. Um mapa de dispersão pode ser usado para determinar se existe uma correlação linear (uma reta) entre duas variáveis.

77 Correlação Verificar se há alguma relação entre duas variáveis em estudo Ex: há relação entre comprimento x peso de um animal? O que ocorre com o peso do animal se seu comprimento aumentar? Para esta análise utiliza-se o DIAGRAMA DE DISPERSÃO COMPRIMENTO PESO aumentando Aumenta ou diminui ??????????

78 DIAGRAMA DE DISPERSÃO Comprimento peso 104 23,5 107 22,7 103 21,1 105
21,5 100 17,0 28,5 108 19,0 91 14,5 102 99 19,5 Comprimento peso 98 15,0 95 14,9 92 15,1 104 22,2 94 13,6 99 16,1 18,0 16,0 20,0 100 18,3 Fonte: ARAÚJO e HOSNE (1977)

79 Diagrama de Dispersão Traça-se dois eixos: “ x “ (abcissas)
“ y “ (ordenadas) eixo “x” => comprimento (cm) eixo “y“ => peso (kg) comprimento peso

80 Diagrama de Dispersão

81 Tipos de Correlação Correlação positiva
Quando X e Y crescem no mesmo sentido, Ou quando X cresce, em média, Y também cresce Ex: aumentando a variável X (comprimento) aumenta a variável Y ( peso ) Correlação negativa Quando X cresce, Y em média decresce

82 Correlação Linear Positiva
Peso Comprimento Correlação Linear Positiva 0 < rxy  1

83 Correlação Linear Negativa
nº viagens ao exterior Câmbio U$ x R$ Correlação Linear Negativa -1  rxy < 0

84 Correlação Linear Nula
Nível salarial Consumo de sal Correlação Linear Nula rxy = 0

85 Correlação Não Linear

86 Pergunta Determine o tipo de correlação do gráfico abaixo
y x Correlação positiva Correlação negativa Correlação nula Correlação não linear

87 Resposta y x B) Correlação negativa

88 Coeficiente de Correlação
A interpretação de uma correlação usando o mapa de dispersão pode ser subjetiva. Uma maneira mais precisa de medir o tipo de grau de uma correlação linear entre duas variáveis é por meio do cálculo do coeficiente de correlação

89 Definição O coeficiente de correlação é uma medida do grau e da direção de uma relação linear entre duas variáveis. O símbolo r representa o coeficiente de correlação amostral.

90 Fórmula do Coeficiente de correlação
A fórmula para r é: xy (x) . ( y) x2 _ (x)2 y2 _ (y)2 r = n. - .

91 Coeficiente de correlação
O intervalo de variação do coeficiente de variação vai de -1 a 1 Se x e y tiverem forte correlação linear positiva r estará próximo de 1 Se x e y tiverem forte correlação linear negativa r estará próximo de -1 Se não houver correlação linear ou se a correlação linear for fraca, r estará próximo de zero

92 Orientações Gerais Calculando um coeficiente de correlação
Obtenha a soma dos valores de x Σx 2. Obtenha a soma dos valores de y Σy 3. Multiplique cada valor x por seu valor y Σx.y 4. Eleve ao quadrado cada valor de x e obtenha sua soma Σx2 5. Eleve ao quadrado cada valor de y e obtenha sua soma Σy2 6. Use as cinco somas para calcular o coeficiente de variação 7. n é o número de pares de dados

93 Exemplo de cálculo do coeficiente de correlação
x y x y x.y

94 Exemplo de cálculo do coeficiente de correlação (cont.)
x y x y x.y Σx= Σy= Σx2= Σy2= Σx.y=

95 Exemplo de cálculo do coeficiente de correlação (cont.)
xy (x) . ( y) x2 _ (x)2 y2 _ (y)2 r = n. - . Σx= 15 Σy= 20 55 Σx2= Σy2= 110 Σx.y= 77 77 ( 15 ) . ( 20 ) 55 _ (15)2 110 _ (20)2 r = 5. - . = 0,98

96 Pergunta A resposta do coeficiente de correlação das variáveis abaixo é: x y a) 0,67 b) 0,75 c) 0,83 d) 0,32

97 Resolução xy (x) . ( y) x2 _ (x)2 y2 _ (y)2 r = n. - . x y x2 y2 x.y 74 ( 19 ) . ( 17 ) 87 _ (19)2 71 _ (17)2 r = 5. - . =0,67

98 Resposta a) 0,67

99 Regressão Linear Simples
Após ter verificado que a correlação entre duas variáveis é significante, o próximo passo é determinar a equação da reta que melhor modela os dados Essa reta é chamada de regressão e sua equação pode ser usada para prever o valor de y para um dado valor de x.

100 Regressão Linear Simples
Em álgebra, você aprendeu que pode escrever a equação da reta obtendo sua inclinação a e seu intercepto de y b. A equação tem a seguinte fórmula: y = ax + b Em álgebra você utiliza dois pontos para determinar a equação de uma reta. Em estatística você aproveita todos os dados disponíveis para determinar a equação de uma reta de regressão.

101 Equação de uma reta de Regressão
A equação de uma reta de regressão para uma variável independente x e uma variável dependente y é: y= ax + b Onde, y é o valor y previsto para um valor x dado. Coeficiente angular representa-se por a O valor do intercepto y, é representado por b

102 Equação de uma reta de Regressão
xy (x) . ( y) a = n. x2 _ (x)2 - b=  y n  x a.

103 y y= ax + b X

104 Número de Horas de prática de exercícios físicos
Exercício Resolvido Em uma clínica de Endocrinologia foi feita uma pesquisa com 50 mulheres de 50 anos de idade. Nesta pesquisa foram feitas duas Perguntas: Qual é o nível de HDL – Colesterol em seu sangue? Quantas horas por semana você pratica exercícios físicos? Tabela HDL – Colesterol em (mg/dl) e Número de Horas de prática de exercícios físicos HDL – Colesterol mg/dl Número de Horas de prática de exercícios físicos 40 50 2 55 3 60 4 65 6

105 Exercício Resolvido Determine a reta de regressão linear: x y 40 0

106 Exercício Resolvido a = xy (x) . ( y) n. x2 _ (x)2 - b=  y n  x
x y x x.y

107 Exercício Resolvido a = a = xy (x) . ( y) n. x2 _ (x)2 - 895
(270) . (15) a = 5. 14950 (270)2 - 4475 4050 74750 72900 425 1850 = 0,23 a = 0,23

108 Exercício Resolvido  y  x - a. b= n 15 270 - 0,23. b= 5 5

109 Exercício Resolvido a = 0,23 b= - 9,42 y= ax + b y= 0,23x – 9,42

110 Pergunta Suponha as seguintes observações da renda média e do consumo de pizza durante um mês, em oito cidades distintas Renda Pizzas vendidas ($1000) (em milhares)

111 Pergunta A equação da reta de regressão é: y = 2,9x + 14,6

112 Resposta a) y = 2,9x + 14,6

113 Tabela. Altura e peso de dez alunos da Academia “Boa Forma”.
Exercício Resolvido Suponha que um professor de Educação Física esteja interessado em observar a relação entre o peso e a altura dos alunos de uma academia. Para tal análise, ele colhe uma amostra de 10 alunos e obtém os seguintes resultados descritos na tabela. Tabela. Altura e peso de dez alunos da Academia “Boa Forma”. Altura (em cm) Peso (em kg) 160 165 168 169 170 171 173 174 176 180 70 71 80 82 85 86 88 90

114 Tabela. Altura e peso de dez alunos da Academia “Boa Forma”.
a-Determine o coeficiente de correlação linear. b- Encontre a reta de regressão linear. Tabela. Altura e peso de dez alunos da Academia “Boa Forma”. Altura (em cm) Peso (em kg) 160 165 168 169 170 171 173 174 176 180 70 71 80 82 85 86 88 90

115 coeficiente de correlação
Altura (em cm) x Peso (em kg) y X2 Y2 x.y 160 165 168 169 170 171 173 174 176 180 70 71 80 82 85 86 88 90 1602= =27 225 1682=28 224 1692=28 561 1702=28 900 1712=29 241 1732=29 929 1742=30 276 1762=30 976 1802=32 400

116 coeficiente de correlação
Altura (em cm) x Peso (em kg) y X2 Y2 x.y 160 165 168 169 170 171 173 174 176 180 70 71 80 82 85 86 88 90 28 224 28 561 28 900 29 241 29 929 30 276 30 976 32 400 702=4 900 712=5 041 802=6 400 822=6 724 852=7 225 862=7 396 882=7 744 902=8 100

117 coeficiente de correlação
Altura (em cm) x Peso (em kg) y X2 Y2 x.y 160 165 168 169 170 171 173 174 176 180 70 71 80 82 85 86 88 90 28 224 28 561 28 900 29 241 29 929 30 276 30 976 32 400 4 900 5 041 6 400 6 724 7 225 7 396 7 744 8 100 160x70=11 200 165x70=11 550 168x71=11 928 169x80=13 520 170x82=13 940 171x85=14 535 173x85=14 705 174x86=14 964 176x88=15 488 180x90=16 200

118 coeficiente de correlação
Altura (em cm) x Peso (em kg) y X2 Y2 x.y 160 165 168 169 170 171 173 174 176 180 70 71 80 82 85 86 88 90 28 224 28 561 28 900 29 241 29 929 30 276 30 976 32 400 4 900 5 041 6 400 6 724 7 225 7 396 7 744 8 100 11 200 11 550 11 928 13 520 13 940 14 535 14 705 14 964 15 488 16 200

119 coeficiente de correlação
x = y=807 x2= y2=  xy=138030 xy (x) . ( y) x2 _ (x)2 y2 _ (y)2 r = n. - . 10. 138030 - (1706) . (807) r = 10. _ (1706)2 . 10. 65655 _ (807)2

120 coeficiente de correlação
3558 r = 2884 . 5301 3558 r = 53,7 . 72,8 3558 r = = 0,91 3909,4

121 reta de regressão linear
x = y=807 x2= y2=65655 xy=138030 xy (x) . ( y) a = n. x2 _ (x)2 - 10. 138030 - (1706 ) . (807) a = 10. 291332 - (1706)2 - a = - 3552 a = = 1,23 2884

122 reta de regressão linear
x = y=807 x2= y2=65655 xy=138030 b=  y n  x a. - 807 1706 - 1,23. b= 10 10 b= -129,1

123 reta de regressão linear
y= ax + b y= 1,23x – 129,2

124 Exercício Resolvido

125 coeficiente de correlação

126 Diagrama de dispersão

127 coeficiente de correlação

128 reta de regressão linear

129 Gráfico da equação de regressão linear
Y = - 1,33x + 35,965 Interceptos p/ x=0 y=? Y = - 1,33.(0) + 35,965 Y = + 35,965 p/ y=0 x=? 0 = - 1,33.x+ 35,965 1,33.x = 35,965 35,965 X = 1,33 = 27,04

130 Pergunta Exercício: A Partir dos dados de alunos sobre nota da prova e tempo de estudo, calcule: a) Determine o coeficiente de correlação linear. b) Encontre a reta de regressão linear. r=0,38 y= -0,524x - 19,4 r=0,99 y= 0,524x + 2,9 r= 0,89 y= 0,30x + 17,3 r= 0,58 y= -0,30x + 17,4 Pares de observações (Xi , Yi) para cada estudante Tempo(X) Nota(Y) 3, ,5 7, ,5 2, ,7 1, ,0 12, ,3

131 Resolução Tempo(X) Nota(Y) 3,0 4,5 7,0 6,5 2,0 3,7 1,5 4,0 12,0 9,3
Pares de observações (Xi , Yi) para cada estudante Tempo(X) Nota(Y) 3, ,5 7, ,5 2, ,7 1, ,0 12, ,3 X : tempo de estudo (em horas) Y : nota da prova

132 Resolução (X) (Y) X Y X.Y 3, ,5 9,0 20,3 13,5 7, ,5 49,0 42,3 45,5 2, ,7 4,0 13,7 7,4 1, ,0 2,25 16,0 6,0 12, , ,5 111,6 x = 25,5 y= x2=208,6 y2= 178,8 xy=184

133 coeficiente de correlação
x = 25,5 y= x2=208,6 y2= 178,8 xy=184 xy (x) . ( y) x2 _ (x)2 y2 _ (y)2 r = n. - . 5. 184 - ( 25,5 ) . ( 28 ) r = =0,99 5. 208,6 (25,5)2 _ . 5.178,8 (28 )2 _

134 reta de regressão linear
x = 25,5 y= x2=208,6 y2= 178,8 xy=184 xy (x) . ( y) a = n. x2 _ (x)2 - 5. 184 - ( 25,5 ) . ( 28 ) a = 5. 208,6 - (25,5 )2 920 714 - a = - 206 a = = 0,524 393

135 reta de regressão linear
x = 25,5 y= x2=208,6 y2= 178,8 xy=184 b=  y n  x a. - 28 25,5 - 0,524. b= 5 5 b= – 5,6 2,7 b= 2,9

136 Tempo(X) Nota(Y) 3, ,5 7, ,5 2, ,7 1, ,0 12, ,3

137 Resposta b) Y = 0,524x +2,9