2 cm 1,5 cm A = 1,5 · 2 2 = 1,5 cm² 11 V = 1,5 · 11 = 16,5 cm³ Prof.ª Juliana Schivani Geometria Espacial - áreas e volumes.

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3 2 cm 1,5 cm A = 1,5 · 2 2 = 1,5 cm² 11 V = 1,5 · 11 = 16,5 cm³ Prof.ª Juliana Schivani Geometria Espacial - áreas e volumes

4 20 cm 30 cm A = 20 x 30 = 600 cm² h = 60 cm V = 60 x 600 = 3600 cm³ Prof.ª Juliana Schivani Geometria Espacial - áreas e volumes

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6 Volume de um cilindro A base = π ∙ r² Vol cil = π ∙ r² ∙ h Prof.ª Juliana Schivani Geometria Espacial - áreas e volumes

7 Princípio de Cavalieri Bonaventura Francesco Cavalieri (1598 - 1647) Este princípio consiste em estabelecer que dois sólidos com a mesma altura têm volumes iguais se as secções planas possuírem a mesma área. Prof.ª Juliana Schivani Geometria Espacial - áreas e volumes

8 4m 3m 75 cm 3m 1,5m 2m V = 4 · 3 · 0,75 = 9 cm³ V = 3 · 1,5 · 2 = 9 cm³ Prof.ª Juliana Schivani Geometria Espacial - áreas e volumes

9 8cm 11 cm 3 cm 3 cm 6 cm 6 cm 3 cm 3 cm R$ 2,50 R$ 2,50 R$ ??? R$ ??? Prof.ª Juliana Schivani Geometria Espacial - áreas e volumes

10 8cm 11 cm 3 cm 3 cm 6 cm 6 cm 3 cm 3 cm R$ 2,50 R$ 2,50 R$ 2,19 R$ 2,19 Prof.ª Juliana Schivani Geometria Espacial - áreas e volumes

11 V prisma = A base ∙ h b b h h 3 vezes V pirâmide = A base ∙ h 3 Volume de uma pirâmide Prof.ª Juliana Schivani Geometria Espacial - áreas e volumes

12 Volume de cones e esferas 2 vezes 3 vezes V cil = ∏ R² h V cone = ∏ R² h 3 V cone = ∏ R² h 3 4 vezes V esf = 4 ∏ R² h 3 V esf = 4 ∏ R² h 3 V esf = 4 ∏ R³ 3 V esf = 4 ∏ R³ 3 Prof.ª Juliana Schivani Geometria Espacial - áreas e volumes

13 R R h 2ΠR2ΠR Área do cilindro Prof.ª Juliana Schivani Geometria Espacial - áreas e volumes

14 R g 2∏R2∏R2∏R2∏R Área do cone Prof.ª Juliana Schivani Geometria Espacial - áreas e volumes

15 Área da superfície esférica Prof.ª Juliana Schivani Geometria Espacial - áreas e volumes

16 Apótema da base Apótema da pirâmide a b → apótema da base a p → apótema da pirâmide s → semiperímetro da base Área de pirâmides regulares Prof.ª Juliana Schivani Geometria Espacial - áreas e volumes

17 Relação entre área e volume Ao seccionarmos uma pirâmide, a razão entre a área da base maior e a área da base menor será igual ao quadrado de suas alturas. A razão entre os volumes será igual ao cubo de suas alturas. Também se aplica nos cones! Prof.ª Juliana Schivani Geometria Espacial - áreas e volumes

18 Qual volume desse tronco? h h + 6 4 10 = h h + 6 => h = 4 cm Prof.ª Juliana Schivani Geometria Espacial - áreas e volumes

19 Qual volume desse tronco? 4 10 = h h + 6 => h = 4 cm 4 10 V t = V p g – V p p A B ∙H - A b ∙ h 3 3 = 100 16 100∙10 - 16 ∙ 4 3 3 = 312 cm³ = Prof.ª Juliana Schivani Geometria Espacial - áreas e volumes

20 Qual a área desse tronco? Note que todo tronco de pirâmide tem as faces laterais trapézios isósceles, congruentes entre si e suas bases, também congruentes entre si. A tronco = A B + A b + A l 100 16 4 10 3 3 6 3 h h² = 3² + 6² h = √45 = 100 + 16 + 4 ∙ (10 + 4)√45 2 = 116 + 28√45 ≈ 304 Prof.ª Juliana Schivani Geometria Espacial - áreas e volumes

21 Prisma s Pirâmides Cones Cilindr os Esfera s 3x V prisma = Ab · h V pirâmide = Ab · h 3 3x 4x h = r A pirâmide = s · (a b + a p )

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