Cálculo Numérico Computacional Prof. Linder Cândido da Silva.

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1 Cálculo Numérico Computacional Prof. Linder Cândido da Silva

2 Critérios de Avaliação Avaliação – 2 provas teóricas (70% da nota final) – Trabalhos de implementação (30% da nota final) Linguagem de programação que lhe for mais conveniente. Mostrarei exemplos em linguagem C. – Os trabalhos são individuais e devem ser apresentados para serem aceitos.

3 Ementa do Curso Erros nas Aproximações Numéricas. Métodos Numéricos para Cálculo de Raízes de Equações. Métodos Numéricos para Solução de Sistemas Lineares. Interpolação Polinomial. Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados. Derivação e Integração Numérica.

4 Pré-requisitos Álgebra linear e Cálculo. Conhecimentos sobre programação de computadores (para os trabalhos).

5 Bibliografia RUGGIERO,M.A.G.; LOPES,V.L.R. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais, Makron Books, 2a Edição, 1997.

6 Contextualização do curso Porque estudamos cálculo numérico? – Estudamos métodos numéricos para resolver problemas matemáticos que NÃO conseguimos resolver analiticamente. Por exemplo, quais são as raízes das equações abaixo? Nenhuma delas possui solução analítica e, portanto, precisamos aplicar algum método numérico para obtê-las. Os resultados serão APROXIMAÇÕES dos valores exatos.

7 Noções Básicas Sobre Erros Tipos de erros: – Erros inerentes aos dados Ocorrem devido a imprecisão dos equipamentos de medida. – Erros oriundos da representação dos números na máquina utilizada. Ocorrem devido a conversões de valores entre bases numéricas ou por impossibilidade de representar a precisão necessária. – Erros oriundos das operações numéricas efetuadas. Erros de arredondamento e truncamento.

8 Zeros reais de funções reais

9 Introdução Nas mais variadas áreas ocorrem situações onde precisamos resolver equações da forma f(x)=0. Exemplo: Encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função como f(x)=x 6 +3x 5 +2x 4 +6 requer resolver a equação f ´ (x)=0.

10 As raízes de uma equação Um numero real a é raiz de uma função f(x) (ou zero da equação f(x)=0) se f(a)=0 Exemplo:

11 As raízes de uma equação (cont...) Os métodos que veremos a seguir partem de uma aproximação inicial para a raiz e em seguida refinam essa aproximação a partir de um processo iterativo. Deste modo, os métodos constam de duas fases: 1.Localização e isolamento de raízes 2.Refinamento, isto é, melhoras sucessivas na aproximação a fim de deixá-la dentro de uma precisão prefixada.

12 Fase 1: Isolamento de raízes Antes de tudo, nesta fase precisamos fazer uma análise teórica para ter uma noção do comportamento da função. Para isso, usamos as técnicas aprendidas no curso de cálculo. É importante ressaltar que o “chute” inicial para a raiz é muito importante e, se mal feito, pode comprometer seriamente os resultados. Na análise teórica usamos frequentemente o seguinte teorema:

13 Fase 1: Isolamento de raízes (cont...) Tendo o teorema anterior em mente, se f´(x) existir e preservar o sinal no intervalo considerado, então este intervalo contém um único zero de f(x).

14 Fase 1: Isolamento de raízes: (força bruta) Para isolar as raízes de f(x) podemos apelar para a força bruta e tabelar os valores da função. Para checar os intervalos aplicamos o teorema anterior.

15 Fase 1: Isolamento de raízes (cont...) Exercício: Considere a função f(x)=x 1/2 - 5e -x. Encontre possíveis intervalos para os zeros de f(x).

16 Fase 2: refinamento Estudaremos neste item vários métodos iterativos para refinamento de raiz. A cada iteração (ou ciclo) buscamos uma aproximação melhor para o resultado, sendo que a entrada para uma iteração n é o resultado da iteração anterior (n-1). Ao final de cada iteração checamos se o resultado alcançado está próximo o suficiente do resultado esperado, isto é, dentro do erro permitido. Começaremos com um método chamado de “Método da Bissecção”.

17 Fase 2: refinamento (cont...)

18 Critério de parada para as iterações:

19 Método da Bissecção

20 Descrição do método (cont...)

21 O método da bissecção consiste em, uma vez conhecido tal intervalo [a, b], determinar uma sequência de intervalos de amplitude sucessivamente menores, dentro dos quais existe a raiz x 0 procurada. Se o último intervalo considerado for de amplitude inferior a ε, qualquer dos extremos desse intervalo pode ser considerado uma raiz aproximada de F(x) = 0, com um erro não superior a ε. Em geral escolhemos o ponto médio do último intervalo.

22 Descrição do método (cont...) Para o cálculo de cada novo intervalo é calculado um ponto c, que vai ser o ponto médio do intervalo [a,b]. A raiz da função F(x), ou seja, o ponto x 0, vai estar contido num dos intervalos [a,c] ou [c,b]. No caso de F(c)=0 (exatamente zero) será o próprio ponto c.

23 Descrição do método (cont...) O intervalo que contiver o ponto x 0, vai ser o novo intervalo a,b. O processo descrito vai ser repetido tantas vezes quantas forem necessárias para a obtenção de um erro não superior a ε.

24 Descrição do método (cont...) As iterações são realizadas da seguinte forma:

25 Exemplo Seja F(x) = x 2 − 2x −1 ⇒ ]−1,0[ ou ]2,3[ Vamos escolher para o nosso exemplo o cálculo da raiz contida no intervalo ]2,3[ com precisão 0.05.

26 Exemplo (cont...) Podemos considerar qualquer um dos extremos do intervalo ]2.40625, 2.4375[ como solução aproximada da equação F(x) = 0, com um erro não superior a 0.05.

27 Exercícios Encontrar a raiz da função f(x) = xlog(x) – 1. Encontra a raiz positiva da função f(x)=x 2 – 4.

28 Algoritmo Seja f(x) contínua em [a,b] tal que f(a).f(b)<0. 1) Dados iniciais 2) Intervalo inicial [a,b] 3) Precisão ɛ 4) k=0 5) ENQUANTO |b-a| >= ɛ FAÇA 6) x=(a+b)/2 7) SE f(a)*f(x)>0 ENTÃO 8) a=x 9) SENÃO 10) b=x 11)FIM-SE 12) k=k+1 13)FIM-ENQUANTO 14) escolha para x 0 qualquer x em [a,b] 15) O número de iterações é dado por k. FIM

29 Exercício I=[0,1] Dados a função f, o intervalo para a raiz e a precisão desejada ε, qual o número de iterações necessárias para aproximar f(x)=0?