RIDO / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES

Apresentação em tema: "RIDO / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES"— Transcrição da apresentação:

1 RIDO / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES
ÂNGULOS SALVADOR GARCIA GIL / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES ACERVO DO AUTOR / ARQUIVO DA EDITORA RIDO / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES

2 A ideia de ângulo Ângulo é a figura formada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas são seus lados, e o ponto de origem das duas semirretas é seu vértice. Exemplo: P R M USELMAN / F1 ONLINE / DIOMEDIA PETR JILEK / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES Ângulo: ou ou . Lados: e Vértice: R

3 Tipos de ângulos Ângulo raso Ângulo reto Ângulo nulo Ângulo agudo
B C Ângulo raso Ângulo reto A B Ângulo nulo CASA DE TIPOS / ARQUIVO DA EDITORA P Ângulo agudo R Ângulo obtuso E R P A Q B B O F

4 Medida de ângulos Para medir um ângulo, escolhemos outro como unidade de medida e verificamos quantas vezes ele “cabe” no ângulo a ser medido. A unidade de medida mais usada para ângulos é o grau, cujo símbolo é °. O ângulo de 1 volta tem 360 graus (360°). Obtemos o ângulo de 1° dividindo o ângulo de 1 volta em 360 ângulos de mesma medida.

5 de volta de volta de volta 1 volta completa volta de volta Ao dividirmos a circunferência em 360 partes iguais, dizemos que a medida da abertura desse ângulo é de um grau e indicamos essa medida por 1º.

6 Como registramos a medida de um ângulo?
Observe a ilustração abaixo para lembrar como posicionamos o transferidor para medir um ângulo. A medida do ângulo 𝐴 𝑂 𝐵 é 60°. Escrevemos: 𝑚𝑒𝑑 𝐴 𝑂 𝐵 =60° ou 𝑚𝑒𝑑 𝐴 =60°.

7 Submúltiplos do grau: minuto e segundo
1 minuto corresponde a do grau. Representamos 1’. 1 segundo corresponde a do minuto. Representamos 1’’. 1º = 60’ Portanto: 1’ = 60’’

8 Operações com medidas de ângulos
Adição de medidas de ângulos: Exemplos: 28º 11’ 35’’ º 40’ 21’’ 3º 11’ 5’’ º 55’ 57’’ 38º 51’ 56” 8º 66’ 62” 8º 67’ 2’’ Trocamos 60’’ por 1’ 9º 7’ 2’’ Trocamos 60’ por 1º Subtração de medidas de ângulos: Exemplos: 89º 60’ 12º 54’ 59’’ – º 2’ 30’’ 90º – (2º 10’) 90º 0’ – º 10’ 5º 52’ 29” 87º 50’

9 Multiplicação de número natural por medida de ângulo:
Exemplos: 7º 2’ 20’’ × 2 2º 30’ 32’’ × 14º 4’ 40’’ 4º 60’ 64’’ 4º 61’ 4’’ 5º 1’ 4’’ Divisão de medida de ângulo por um número natural diferente de zero: Exemplos: (34º 3’ 15’’) : 3 (12º 54’ 50’’) : 2 = 6º 27’ 25’’ Como 34 não é múltiplo de 3, fazemos 34º 3’ 15’’ = 33º 63’ 15’’ (33º 63’ 15’’) : 3 = 11º 21’ 5’’

10 Ângulos congruentes Dizemos que dois ângulos são congruentes quando eles têm a mesma medida. B G C A F Dizemos: E m( ) = 20º m( ) = 20º

11 Ângulos adjacentes A Dizemos que eles são adjacentes, pois têm um lado comum 𝑂𝐵 , e as regiões determinadas por eles não têm mais pontos comuns. O B C

12 Ângulos complementares e ângulos suplementares
50º A 40º B Quando a soma das medidas de dois ângulos é 90º, dizemos que eles são ângulos complementares. 40º + 50º = 90º 70º D 110º C Quando a soma das medidas de dois ângulos é 180º, dizemos que eles são ângulos suplementares. 70º + 110º = 180º

13 Ângulos adjacentes e suplementares
Ângulos adjacentes e suplementares têm um lado comum e os outros dois lados são semirretas opostas, ou seja, formam uma reta. C A B O Adjacentes pela posição de um em relação ao outro. Suplementares porque a soma de suas medidas é 180º.

14 Ângulos opostos pelo vértice
= = CASA DE TIPOS / ARQUIVO DA EDITORA Conclusão: duas retas com um só ponto comum formam dois pares de ângulos opostos pelo vértice. Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.

15 Bissetriz de um ângulo Bissetriz de um ângulo é a semirreta de origem no vértice que determina, com os lados do ângulo, dois ângulos congruentes, ou seja, de medidas iguais. A A B C M B C M

16 CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS

17 Construir um ângulo congruente a um ângulo dado usando o compasso
Usando o compasso, construir um ângulo 𝐴 𝐵 𝐶 dado.

18 1º Passo: Com centro no vértice B e uma abertura qualquer, traçamos um arco que corta o lado 𝐵𝐴 no ponto 𝐴 1 , e o lado 𝐵𝐶 no ponto 𝐶 1 . 2º Passo: Traçamos uma semirreta de origem O, que será um dos lados do ângulo a ser construído. Com centro no ponto O e a mesma abertura anterior, traçamos um arco que corta a semirreta no ponto D.

19 Os ângulos 𝑨 𝑩 𝑪 e 𝑫 𝑶 𝑬 são congruentes: 𝑨 𝑩 𝑪 ≅𝑫 𝑶 𝑬.
3º Passo: Com centro em D e uma abertura igual à medida de 𝐴 1 𝐶 1 traçamos um novo arco que corta o primeiro no ponto E. 4º Passo: Traçamos a semirreta 𝑂𝐸 , que é o outro lado do ângulo. Os ângulos 𝑨 𝑩 𝑪 e 𝑫 𝑶 𝑬 são congruentes: 𝑨 𝑩 𝑪 ≅𝑫 𝑶 𝑬.

20 Traçar a bissetriz de um ângulo dado
Traçar a bissetriz do ângulo 𝐴 𝑂 𝐵 dado.

21 1º Passo: Com centro no vértice O e uma abertura qualquer, traçamos um arco que corta os lados do ângulo nos pontos 𝐴 1 e 𝐵 1 . 2º Passo: Com centro no ponto 𝐴 1 e abertura conveniente, traçamos um novo arco.

22 3º Passo: Com centro no ponto 𝐵 1 e mesma abertura, traçamos outro arco que corta o anterior no ponto C. 4º Passo: Traçamos a semirreta 𝑂𝐶 , que é a bissetriz procurada. 𝑨 𝑶 𝑪≅𝑩 𝑶 𝑪

23 quatro partes congruentes
Dividir um ângulo em quatro partes congruentes Dividir o ângulo 𝐴 𝑂 𝐵 em quatro partes congruentes.

24 1º Passo: Traçamos a bissetriz do ângulo 𝐴 𝑂 𝐵 e obtemos a semirreta 𝑂𝐶 .
2º Passo: Traçamos a bissetriz do ângulo 𝐴 𝑂 𝐶 e a do ângulo 𝐵 𝑂 𝐶. Os quatro ângulos obtidos são a solução do problema, pois todos são congruentes. 𝑨 𝑶 𝑫≅𝑫 𝑶 𝑪≅𝑪 𝑶 𝑬≅𝑬 𝑶 𝑩

25 O ângulo 𝑩 𝑨 𝑪 assim obtido é reto.
Construir um ângulo reto usando o prolongamento 1º Passo: Traçamos uma semirreta qualquer de origem A, que será um dos lados do ângulo procurado. 2º Passo: Prolongamos a semirreta, a partir da origem A, para a esquerda. 3º Passo: Pelo ponto A traçamos uma semirreta perpendicular à semirreta já traçada. O ângulo 𝑩 𝑨 𝑪 assim obtido é reto.

26 O ângulo 𝑩 𝑨 𝑬 assim obtido é reto.
Construir um ângulo reto sem usar o prolongamento 1º Passo: Traçamos uma semirreta, com origem no ponto A, que será um dos lados do ângulo procurado. 2º Passo: Pelo ponto A, traçamos uma semirreta que seja perpendicular à semirreta já traçada, sem prolongá-la. O ângulo 𝑩 𝑨 𝑬 assim obtido é reto.

27 Construir um ângulo de 45°
1º Passo: Construímos um ângulo reto. 2º Passo: Traçamos a bissetriz desse ângulo e obtemos um ângulo cuja medida é 45°.

28 Construir um ângulo de 22° 30’
1º Passo: Construímos um ângulo de 45°. 2º Passo: Traçamos a bissetriz desse ângulo e obtemos um ângulo cuja medida é 22° 30’.

29 Construir um ângulo de 60°
1º Passo: Traçamos uma semirreta 𝑂𝐴 , que será um dos lados do ângulo pedido. 2º Passo: Com centro no ponto O e uma abertura qualquer, traçamos um arco que corta 𝑂𝐴 no ponto 𝐴 1 .

30 3º Passo: Com centro no ponto 𝐴 1 , e mesma abertura, traçamos um arco que corta o anterior no ponto B. 4º Passo: Traçamos a semirreta 𝑂𝐵 , que será o outro lado do ângulo.

31 Construir um ângulo de 30°
1º Passo: Construímos um ângulo de 60°. 2º Passo: Traçamos a bissetriz do ângulo de 60° e obtemos um ângulo cuja medida é 30°.

32 Construir um ângulo cuja medida seja igual
a soma das medidas de dois ângulos dados Construir um ângulo de 105° sabendo que 105° = 60° + 45°. 1º Passo: Construímos, separadamente, um ângulo de 60° e um ângulo de 45°.

33 2º Passo: Construímos dois ângulos consecutivos transportando os ângulos construídos.

34 Construir um ângulo oposto pelo vértice (o.p.v.) a um ângulo dado
Construir um ângulo oposto pelo vértice (o.p.v.) ao ângulo 𝐴 𝑂 𝐵 dado.

35 1º Passo: Traçamos a partir do vértice O, a semirreta 𝑂𝐶 oposta à semirreta 𝑂𝐴 .
2º Passo: Traçamos, desde o vértice O, a semirreta 𝑂𝐷 oposta à semirreta 𝑂𝐵 . O ângulo 𝐶 𝑂 𝐷 obtido é o.p.v. ao ângulo 𝐴 𝑂 𝐵, e estes são congruentes.

36 Professor Rubens