Computação Científica e Equações Diferenciais

Computação Científica e Equações Diferenciais
Hélio Lopes e Geovan Tavares PUC-Rio – Departamento de Matemática Laboratório Matmidia

Computação Científica e Eq. Diferenciais - Parte I
Introdução e terminologia Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem Equações Diferenciais Ordinárias de segunda ordem Métodos numéricos Hélio Lopes

Computação Científica
A Computação Científica é a disciplina que busca encontrar soluções computacionais para modelos matemáticos que resolvam problemas das engenharias e das ciências. Matemática Análise Numérica Problema Computação Científica Sistema Computacional Computação

Computação Científica
Formulação do Modelo Matemático Solução do modelo Modificação do Modelo Não Satisfatório Validação Satisfatório

Equações diferenciais e o problema de valor inicial
Equações contendo derivadas são chamadas de equações diferenciais. Uma equação diferencial junto com um conjunto de condições iniciais é chamada de problema de valor inicial. Uma equação diferencial, ou um problema de valor inicial que descreve algum processo físico é chamada, muitas vezes, de modelo matemático do processo.

Classificação das Equações Diferenciais
Uma das classificações mais óbvias é baseada em se descobrir se a função desconhecida depende de uma única variável dependente ou de diversas variáveis dependentes: No primeiro caso, aparecem apenas derivadas simples e ela é dita equação diferencial ordinária. No segundo caso, as derivadas são derivadas parciais e a equação é chamada de equação diferencial parcial.

Uma outra classificação de equações diferenciais depende do número de funções desconhecidas. Se existe uma única função a ser determinada, uma equação é suficiente. Se existem, no entanto, duas ou mais funções a serem determinadas, precisamos de um sistema de equações diferenciais.

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Abaixo, temos um exemplo de uma EDO de segunda ordem:

Uma classificação crucial de equações diferenciais é se elas são lineares ou não. A equação diferencial F(t,y,y’,y’’,...,y(n))=0 é linear se F é uma função linear das variáveis y,y’,y’’,...,y(n). Uma definição análoga se aplica às EDPs. Assim, uma EDO linear de ordem n é escrita na forma: a0(t)y(t)+a1(t)y’(t)+...+an(t)y(n)(t) = g(t) Uma equação que não é da forma acima é uma equação diferencial não-linear. Exemplo de uma equação não-linear: y2+y’=0

Solução de uma EDO Vamos supor que sempre é possível resolver uma equação diferencial ordinária dada para a maior derivada, obtendo y(n)=f(t,y,y’,y’’,..., y(n-1)). Uma solução para essa EDO no intervalo a<t<b é a função φ tal que φ’,φ’’,...,φ(n) existem e satisfazem φ(n)=f(t,φ,φ’,φ’’,..., φ(n-1)) para todo t em (a,b). A solução mais geral possível que admite uma Equação Diferencial é denominada solução geral, enquanto que outra solução é chamada uma solução particular.

Solução de uma EDO Exemplos:
1. y(t)=exp(-t) é uma solução particular de y'+y=0. 2. y(t)=C exp(-t) é a solução geral de y'+y=0. 3. y(t)=sen(t) é uma solução particular de y"+y=0. 4. y(t)=Asen(t)+Bcos(t) é a solução geral de y"+y=0 5. y(t)=99 é uma solução particular de y'''+3y'y"=0

Perguntas que não querem calar!
Uma equação na forma y(n)=f(t,y,y’,y’’,..., y(n-1)) tem sempre solução? A resposta é NÃO! Como podemos saber, então, se uma EDO tem solução? Isso é respondido por teoremas, que afirmam que sob certas condições sobre a função f a EDO tem sempre solução.

EDO de Primeira Ordem Vamos iniciar nossos estudos pelas EDO de primeira ordem, ou seja aquelas que podem ser escritas na forma: onde f é uma função de duas variáveis dada. Qualquer função y(t)=φ(t) que satisfaça essa equação para todo t num dado intervalo é dita uma solução para essa equação, e o nosso objetivo é determinar se tais funções existem e, caso existam, desenvolver um método para encontrá-las. Infelizmente, para uma função arbitrária f, não existe um método analítico geral para resolver a EDO usando funções elementares. Em vez disso, descreveremos vários métodos, cada um dos quais aplicável a uma determinada subclasse de EDO.

Teorema Fundamental do Cálculo

Primitivas elementares

EDO Linear de primeira ordem: método dos fatores integrantes
Escrevemos, em geral, uma EDO linear de primeira ordem na forma: onde p e g são funções da variável dependente t. O método a ser apresentado é devido a Leibniz, ele envolve multiplicar a EDO por uma determinada função μ(t), escolhida de tal forma que a equação resultante seja facilmente integrável. A função μ(t) é chamada de fator integrante, e a maior dificuldade do método é saber como encontrá-la.

Vamos entender o método com o seguinte exemplo: onde a é uma constante dada e g(t) é uma função dada. Assim, usando o fator integrante temos: Mas sabemos que Comparando as duas últimas equações temos: Substituindo o fator integrante temos: ou

Vamos agora voltar a EDO linear de primeira ordem na sua forma geral: onde p(t) e g(t) são funções dadas. Assim, usando o fator integrante temos: Mas sabemos que Comparando as duas últimas equações temos: Substituindo o fator integrante temos:

EDO Linear de primeira ordem: Teorema de Existência e Unicidade

EDO Linear de primeira ordem: método da variação de parâmetros
Vamos agora voltar a EDO linear de primeira ordem na sua forma geral: onde p(t) e g(t) são funções dadas. Note que se g(t)=0 para todo t, então é solução, onde A é constante. Mas, se g(t) não é identicamente nula, suponha que a solução é da forma onde A agora é uma função de t que deve satisfazer a condição:

EDO separável Vamos agora considerar as EDOs da seguinte forma:
onde M(x) e N(y) são funções dadas. Essa equação é dita separável porque se for escrita na forma diferencial ela fica: Se H1 e H2 são primitivas para M e N respectivamente, então Pela regra da cadeia, temos que Assim, conclui-se que

EDO exata Vamos agora considerar as EDOs da seguinte forma:
onde M(x,y) e N(x,y) são funções dadas. Suponha que possamos identificar uma função ψ tal que: e ψ(x,y)=c, nesse caso essa EDO é chamada de equação exata. Defina y=φ(x) implicitamente com uma função diferenciável de x. Então: As soluções são dadas implicitamente por: ψ(x,y)=c.

EDO exata

EDO exata As vezes é possível transformar uma equação que não é exata em um exata, multiplicando a equação por um fator integrante apropriado μ: e depois tentar escolher μ de modo que a equação resultante seja exata. Para que isso aconteça Como M e N são funções dadas. Então devemos encontrar uma μ que satisfaça: A solução da EDO multiplicada pelo fator integrante pode então ser obtida pelo método anterior. A solução encontrada dessa maneira também satisfaz a equação original, já que o fator integrante pode ser cancelado.

EDO exata Em geral, essa equação que determina o fator integrante é muito difícil de resolver. As situações mais importantes em que se consegue encontrar fatores integrantes simples ocorre quando μ só depende de uma das duas variáveis. Vamos determinar condições necessárias sobre M e N para que a a equação original tenha um fator integrante dependendo somente de x. Suponha que μ é uma função só de x, temos: (μM)y= μMy e (μN)x=μNx+Nμx. Assim, para que (μM)y= (μN)x é necessário que μx=μ(My-Nx)/N.

Teorema de Existência e Unicidade

Equações Lineares de Segunda Ordem
Uma EDO linear de segunda ordem tem a forma: y’’+p(t)y’+q(t)y=g(t). Um PVI, nesse caso, consiste em adicionar ao problema as condições iniciais: y(t0)=y0 e y’(t0)=y0’. Uma EDO linear de segunda ordem é homogênea se g(t)=0 para todo t.

EDO Lineares de Segunda Ordem Homogêneas com Coeficientes Constantes
Consideremos agora a EDO linear homogênea de segunda ordem na forma: ay’’+by’+cy=0, onde a,b e c são constantes. Suponha que y(t)=ert seja uma solução. Assim, substituindo na EDO temos: (ar2+br+c)ert =0. Como ert é sempre diferente de zero, então (ar2+br+c)=0. Essa última equação é chamada de equação característica da EDO que estamos estudando. Seu significado reside no fato de que, se r é uma raiz da equação polinomial, então y(t)=ert é solução da EDO.

Agora, precisamos entender a relação das raízes da equação característica com a solução geral da EDO. Sabemos que (ar2+br+c)=0 pode ter duas raízes reais distintas, duas raízes complexas conjugadas ou uma raíz com duplicidade. Supondo que as raízes da equação característica sejam reais e distintas, vamos denotá-las por r1 e r2, com r1≠r2. Então y1(t)=exp(r1t) e y1(t)=exp(r2t) são soluções da EDO, assim como qualquer combinação linear dessas duas y(t)=c1y1(t)+c2y2(t) também é solução. Vamos supor agora que queremos encontrar o elemento particular da família de soluções que satisfaz as condições iniciais: y(t0)=y0 e y’(t0)=y0’. Quais seriam os valores de c1 e c2?

EDO Lineares de Segunda Ordem

Teorema: Sejam y1 e y2 soluções da EDO y’’(t)+p(t)y’(t)+q(t)y(t)=0, onde p e q são funções contínuas em um intervalo aberto I. Então é equivalente dizer: As funções y1 e y2 geram o espaço das soluções para essa EDO sobre I. As funções y1 e y2 são linearmente independentes. W(y1,y2)(t0)≠0 para algum t0 em I. W(y1,y2)(t)≠0 para todo t em I.

Considerando a EDO linear de segunda ordem Homogênea com coeficientes constantes: ay’’+by’+cy=0, então as soluções dependendem das raízes do polinômia característico ar2+br+c=0. Sejam r1 e r2 as raízes desse polinômio, então: Se r1 e r2 são reais e distintas, então a solução da EDO é dada por: y(t)=c1exp(r1t) +c2exp(r2t). Se r1=λ+μi e r2 = λ-μi são complexas e conjugadas, então a solução da EDO é dada por: y(t)=c1exp(λt)sin(μt) +c2exp(λt)cos(μt). Se r1= r2 =r são reais e idênticas, então a solução da EDO é dada por: y(t)=c1exp(rt) +c2 t exp(rt).

EDO Lineares de Segunda Ordem : Método dos Coeficientes Indeterminados
Vamos retornar a equação não homogênea: L[y](t)=y’’(t)+p(t)y’(t)+q(t)y(t)=g(t), onde p,q, e g são funções contínuas dadas em um intervalo aberto I. A equação L[y](t)=y’’(t)+p(t)y’(t)+q(t)y(t)=0, onde g(t)=0 e as funções p e q são as mesmas da primeira EDO,é chamada de equação homogênea associada à primeira equação.

Teorema: Se Y1 e Y2 são duas soluções para L[y]=g, então a diferença Y1 - Y2 é uma solução da equação homogênea associada. Se além disso, y1 e y2 formam um conjunto fundamental para L[y] = 0, então: Y1(t)-Y2(t)=c1y1(t)+c2y2(t), onde c1 e c2 são constantes determinadas.

Teorema: A solução geral da equação L[y]=g pode ser escrita no forma y(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+Y(t), onde y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada (L[y]=0), c1 e c2 são constantes arbitrárias e Y é alguma solução específica da equação L[y]=g.

O Método de Euler

O Método de Euler Em matemática e ciência computacional, o método de Euler, cujo nome relaciona-se com Leonhard Euler, é um procedimento numérico de primeira ordem para solucionar equações diferenciais ordinárias com um valor inicial dado. É o tipo mais básico de método explícito para integração numérica para equações diferenciais ordinárias. Gostaríamos de obter a solução do PVI dado por: y'(t) = f(t,y(t)), y(t0)=y0, Usando os dois primeiros termos da expansão de Taylor de y, que representa a aproximação linear em torno do ponto (t0,y(t0)) . Um passo do método de Euler de tn to tn+1 = tn + h é yn+1 = yn + hf(tn,yn). O Método de Euler é explícito, i.e. a solução de yn + 1 é uma função explícita de yi para i ≤ n.

O Método de Euler A magnitude dos erros provenientes do método de Euler pode ser estimada usando a expansão de Taylor de y. Se assumirmos que f(t,y(t)) e y(t) são conhecidos exatamente no tempo t0, então o Método de Euler dá um solução aproximada para y em t0 + h como: y(t0 + h) = y(t0)+ hf (t0,y(t0))=y(t0)+ hy’(t0) Comparando com a expansão de Taylor sobre t0 , nos dá: y(t0 + h) = y(t0)+ hy’(t0) + h2 y’(t0) /2 +O(h3). O erro que o método de Euler comete é dado pela diferença entre essas duas equações. Para um h pequeno, o erro dominante é proporcional a h2. Para resolver sobre um intervalo em t, o número de passos necessários deve ser proporcional a 1 / h, assim o erro total esperado no final do intervalo vai ser proporcional a h. Por essa razão, o método de Euler é dito ser de primeira ordem.

O Método de Runge-Kutta
Em análise numérica, os métodos de Runge–Kutta formam uma família importante de metódos iterativos implícitos e explícitos para a resolução numérica (aproximação) de soluções de equações diferenciais ordinárias. Estas técnicas foram desenvolvidas por volta de 1900 pelos matemáticos C. Runge e M.W. Kutta. Um membro da família de métodos Runge–Kutta é usado com tanta frequência que costuma receber o nome de "RK4" ou simplesmente "o método Runge–Kutta". Seja um problema de valor inicial (PVI) especificado como segue: y’(t)=f(t,y); y(t0)=y0.

Então o método RK4 para este problema é dado pelas seguintes equações: yn+1 = yn + (h/6) (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) tn+1 = tn + h onde yn + 1 é a aproximação por RK4 de y(tn + 1), e k1 = f ( tn, yn ) k2 = f ( tn + h / 2, yn + (h/2) k1 ) k3 = f ( tn + h / 2, yn + (h/2) k2 ) k4 = f ( tn + h, yn + h k3 )

Então, o próximo valor (yn+1) é determinado pelo valor atual (yn) somado com o produto do tamanho do intervalo (h) e uma inclinação estimada. A inclinação é uma média ponderada de inclinações: k1 é a inclinação no início do intervalo; k2 é a inclinação no ponto médio do intervalo, usando a inclinação k1 para determinar o valor de y no ponto tn + h/2 através do método de Euler; k3 é novamente a inclinação no ponto médio do intervalo, mas agora usando a inclinação k2 para determinar o valor de y; k4 é a inclinação no final do intervalo, com seu valor y determinado usando k3. Ao fazer a média das quatro inclinações, um peso maior é dado para as inclinações no ponto médio: inclinação = (1/6) (k1 + 2k2 + 2k3 + k4). O método RK4 é um método de quarta ordem, significando que o erro por passo é da ordem de h5, enquanto o erro total acumulado tem ordem h4.

A família de métodos Runge–Kutta explícitos é uma generalização do método RK4 mencionado anteriormente. Ela é dada por: onde

Para especificar um método em particular, é necessário fornecer o inteiro s (número de estágios), e os coeficiêntes aij (para 1 ≤ j <i ≤ s), bi (para i = 1, 2, ..., s) e ci (para i = 2, 3, ..., s). Esses dados são geralmente dispostos de forma mnemônica, conhecida como matriz de Butcher (de John C. Butcher): O método Runge–Kutta é consistente se

RK4: Euler: Ponto Médio: O método de Heun (ou método do trapézio explícito) é um método de Runge-Kutta em dois estágios:

O Método de Runge-Kutta Implícito
Os métodos implícitos são mais gerais que os métodos implícitos. A distinção entre eles fica evidente na tabela de Butchner: para um método implícito a matriz dos coeficientes aij não necessariamente é triangular inferior. A solução aproximada do PVI reflete o grande número de coeficientes. , onde

O Método de Runge-Kutta Implícito
O exemplo mais simples de um método de Runge-Kutta implícito é o chamada método de Euler implícito, que consiste na seguinte formulação:

Métodos de Passos Múltiplos
Métodos de passos múltiplos são usados para resolver PVIs. Conceitualmente, um método numérico começa por um ponto inicial e anda um passo pequeno para frente no tempo para achar uma aproximação para o próximo ponto. O processo continua passo para obter uma aproximação total para a curva solução. Métodos de passos simples, como o método de Euler, referem-se somente ao ponto anterior e sua derivada para calcular o valor do ponto corrente. Métodos como o Runge-Kutta considera passos intermediários, como a metade do passo no RK4, para obter aproximações de ordem superior, mas depois ele descarta todas as informações obtidas previamente para obter um segundo passo. Métodos de passos múltiplos tentam ganhar eficiência guardando e usando informações de passos anteriores. Consequentemente, eles se referem a vários passos anteriores e suas respectivas derivadas. No caso específico de métodos lineares de passos múltiplos fazem uma combinação linear de passos anteriores e suas derivadas.

Métodos Lineares de Passos Múltiplos
Considere o PVI na forma: y' = f(t,y); y(t0) = y0. Um método linear de passos múltiplos tem a forma: onde h denota o tamanho do passo. Os coeficientes ai‘s e bi‘s determinam o método. O inventor do método decide quais são os valores desses coeficientes. Tipicamente, o inventor escolhe os coeficientes de forma que interpola exatamente y(t) quando ela for um polinômio de grau n. Se o valor de bs é diferente de zero, então o valor de yn + s depende do valor de f(tn + s,yn + s). Consequentemente, o método é explícito se bs = 0. Nesse caso, a fórumla acima pode calcular diretamente yn + s. Caso contrário, o método é implícito e a equação para yn + s precisa ser resolvida (métodos de Newton podem ser úteis aqui).

Passo simples: Euler Passo duplo: Two-Step Adams Bashforth

Os métodos de Adams–Bashforth são métodos explícitos. Os seus coeficientes são as − 1 = − 1 e as-2 = ...= a0 = 0, enquanto que os bj’s são escolhidos de forma que eles tenham ordem s, o que determina o método unicamente. Os métodos de Adams–Bashforth com s = 1, 2, 3, 4, 5 são:

Os coeficientes bj‘s podem ser determinados da seguinte forma. Use uma interpolação polinomial de grau s-1 para determinar os coeficientes do polinômio que satisfaz: A formula de Lagrange para interpolação polinomial nos dá: O polinômio p é uma boa aproximação para o lado direito da equação diferencial y' = f(t,y) que se tentar resolver. Portanto, considere a equação y' = p(t) ao invés. Essa equação pode ser resolvida exatamente; a solução é simplesmente a integral de p. O que sugere:

O método de Adams–Bashforth surge quando a fórmula para p é substituída. Os coeficientes bj’s pode ser calculados pela seguinte fórmula: Substituindo f(t, y) pelo seu interpolante p gera um erro de ordem hs, assim um método com s-passos de Adams–Bashforth possui ordem s.

Os métodos de Adams–Moulton são métodos implícitos. Os seus coeficientes são as − 1 = − 1 e as-2 = ...= a0 = 0, e novamentes os coeficientes bj’s são escolhidos de forma que se tenha a maior ordem possível para o método. A ordem de um método de Adams-Moulton com s-passos pode chegar a s+1. Os métodos de Adams–Moulton com s = 0,1, 2, 3, 4 são:

A determinação dos coeficientes bj’s para o método Adams-Moulton é bem parecida com a do Adams-Bashforth, Entretanto, nesse caso, o polinômio interpolador usa as informações não somente em tn−1, … tn−s, mas também as de tn. Assim os coeficientes bi’s podem ser calculados pela fórmula:

Computação Científica e Equações Diferenciais

Apresentações semelhantes

Apresentação em tema: "Computação Científica e Equações Diferenciais"— Transcrição da apresentação:

Apresentações semelhantes

Sobre projeto

Feedback

Login

Autorizar-se através da rede social:

Computação Científica e Equações Diferenciais

Apresentações semelhantes

Apresentação em tema: "Computação Científica e Equações Diferenciais"— Transcrição da apresentação:

Apresentações semelhantes

Sobre projeto

Feedback