UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS ME36L – TRANSMISSÃO DE CALOR I PROF.

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1 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS ME36L – TRANSMISSÃO DE CALOR I PROF. Msc. RUBENS GALLO

2 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 2 Considere o sólido longo e prismático no qual ocorre a condução de calor bidimensional, como mostra a figura abaixo. Com duas superfícies isoladas e as outras mantidas a diferentes temperaturas, T 1 >T 2.

3 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 3 De acordo com a lei de Fourier, ofluxo de calor local no s[olido [e um vetor que é, em qualquer ponto, perpendicular às linhas de temperatura constante (isotermas). Em qualquer análise de condução, existem dois objetivos principais: Determinara a distribuição de temperatura no sólido, e Determinar o fluxo de calor através do sólido. A distribuição de temperatura pode ser determinada através da equação da difusão de calor e de suas condições de contorno. Conhecendo-se a distribuição de temperatura, pode-se através da lei de Fourier, determinar o fluxo de calor através do sólido.

4 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 4 Para condições bidimensionais em regime estacionário e sem geração de calor e com condutividade térmica constante, a forma apropriada da equação da difusão de calor é dada por: Se a equação acima pode ser resolvida para T(x,y), através de lei de Fourier podemos encontrar os fluxos de calor nas direções x (q” x ) e y (q” y ). Métodos para a resolução da equação acima, icluem o uso de aproximações analítica, gráfica e numérica (diferenças finitas, elementos finitos). O método analítico envolve a elavoração de uma solução exata para a distribuição de temperatura, o que nem sempre é fácil, uma vez que, envolve uma equação diferencial parcial em vez de uma ordinária.

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6 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 6 Substituindo na equação da difusão de calor, a equação transformada é então:

7 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 7 Uma vez que a equação é de segunda ordem em x e y, são necessárias duas condições de contorno para cada uma das coordenadas. Aplicando agora a técnica de separação de variáveis considerando que a soolução desejada possa ser expressa como o produto de duas funções, uma que depende excluxivamente de x e a outra que depende unicamente de y. Ou seja, consideremos a existência de uma solução da forma:

8 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 8 Substituindo a solução na equação da difusão de calor e dividindo por X(x) e Y(y), obtemos:

9 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 9 Se fosse escolhido um valor nulo ou negativo para a constante de separação, seria impossível obter uma solução que satisfizesse as condições de contorno prescritas. As soluções gerais para as Eqs. 4.6 e 4.7 são, respectivamente: Forma geral da solução bidimensional:

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11 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 11 A solução desejada pode ser agora expressa como: Combinando constantes e sabendo que a nova constante pode depender de n, obtemos: Na forma acima já obtivemos um número infinito de soluções que satisfazem a equação diferencial e as condições de contorno. Conduto, uma vez que o problema é linear, uma solução mais geral pode ser obtida de uma super-posição da forma:

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14 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 14 Da equação acima podemos escrever: Da Eq. 4.14, podemos escreve:

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16 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 16 Comparando as Eqs. 4.12 e 4.17, obtemos: Substituindo a Eq. 4.18 na Eq. 4.11, obtemos então a solução final:

17 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 17 Métodos análiticos podem ser utilizados, em certos casos, para efetuar soluções matemáticas exatas para problemas de condução bidimensiona em regime estacionário. Essa soluções têm sido geradas para variedades de geometrias simples. Entretanto, é mais frequente nos depararmos com problemas bidimensionais que envolvem geometrias e/ou condições de contorno mais complexas, o que inviabiliza a solução análitica. Nesses casos, a melhor alternativa é frequentemente a que utiliza técnicas numéricas tais como diferenças finitas, elementos finitos ou o méodo de elementos de contorno.

18 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 18 A solução numércia, deferente da solução exata que permite a determinação da temperatura em qualquer ponto do corpo, permite apenas a determinação da temperatura em alguns pontos discretos. Portanto o primeiro passo em qualquer solução numérica deve ser, portanto, a seleção desses pontos. Isso é feito subdividindo-se o meio de interesse em um número de pequenas regiões e atribuindo-se a cada uma um ponto de referência que se localiza no seu centro, frequentemente denominado ponto nodal ou simplesmente nó, e o conjunto de pontos é denominado rede nodal, rede ou malha. Esses pontos saõ designados por um esquema numerado que, para um sistema bidimensinoal pode assumir a forma mostrada na figura abaixo.

19 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 19 As coordenas x e y são designadas pro índices m e n, respectivamente. Cada nó representa uma determinada região, e sua temperatura é uma medida da temperatura média da região.

20 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 20 A equação da difusão de calor pode ser escrita para cada um dos pontos nodais de temperatura desconhecia da malha. O conjunto de equações pode ser resolvido, deteminando-se a temperatura em cada um desses nós, obtendo com isso a distribuição de temperatura no corpo. Para simplificação dos cálculos envolvidos é necessário trabalharmos com uma forma mais apropriada da equação da difusão de calor, uma forma aproximada dessas equaçõs ou diferenças finitas. Uma equação de diferenças finitas que é conveniente para os nós internos de um sistema bidimensional pode ser deduzida diretamente da Eq. 4.1.

21 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 21 Os gradientes de temperatura podem por sua vez ser expressos com uma função das temperaturas nodais. Ou seja:

22 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 22 Substituindo as Eqs. 4.29 e 4.30 na 4.28, obtemos: De maneira semelhante:

23 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 23 Uma vez que a direção real do fluxo de calor (para dentro ou para fora do nó) é frequentemente desconhecida, torna-se conveniente formular o balanço de energia considerando-se que todo o fluxo de calor esteja no interior do nó. Para as condições de regime estacionário com geração de enrgia, a forma apropriada para a equação da conservação da energia é então:

24 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 24 Considere a aplicação da Eq. 4.34 em um volume de controle em torno do nó interno m,n da figura abaixo. Para condições bidimensionais, a troca de energia é influenciada pela condução entre m,n e seus quatro nós adjacentes, bem como pela geração. Dessa maneira, a Eq. 4.34 se reduz a:

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26 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 26 Formas simplificadas da Lei de Fourier podem, portanto, ser utilizadas. Por exemplo, a taxa na qual a energia é transferida por condução de um nó m-1,n para m,n pode ser expressa: De maneira semelhante para as demais direções:

27 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 27 Considere agora um nó colocado no vértice interno como mostra a figura.

28 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 28 As taxas de calor de condução podem ser expressas como: As condições na região nodal m,n também podem ser influenciada pela troca conectiva com o fluido, a taxa de transferência de calor por convecção total é:

29 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA LABORATÓRIO DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 29 Substituindo as Eqs. 4.40 a 4.44 no balanço de energia representado pela Eq. 4.34, obtemos:

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