Trigonometria no triângulo qualquer

Apresentação em tema: "Trigonometria no triângulo qualquer"— Transcrição da apresentação:

1 Trigonometria no triângulo qualquer
Professora Juliana Schivani Trigonometria no triângulo qualquer

2 E quando o triângulo não é retângulo?
Trigonometria do triângulo qualquer E quando o triângulo não é retângulo? Profª Juliana Schivani

3 Trigonometria do triângulo qualquer
A prefeitura de uma cidade está estudando a viabilidade de construir uma passarela sobre a rodovia, ligando os bairros A e B diretamente. O acesso atual é feito pelas passarelas 1 e 2 que ligam os bairros A e B, respectivamente, ao posto. Profª Juliana Schivani

4 Trigonometria do triângulo qualquer
Medições feitas pelas empresa contratada mostram que as passarelas 1 e 2 medes, respectivamente, 220 m e 130 m. O ângulo formado por 1 e 2 mede 60°. Se o projeto for aprovado, quantos metros de extensão terá a passarela que ligará diretamente os dois bairros? Profª Juliana Schivani

5 Trigonometria do triângulo qualquer
LEI DOS COSSENOS Em todo o triângulo, o quadrado da medida de qualquer um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, subtraído pelo dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado. 220 m x m 60° 130 m Profª Juliana Schivani

6 Trigonometria do triângulo qualquer
LEI DOS COSSENOS Em todo o triângulo, o quadrado da medida de qualquer um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, subtraído pelo dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado. Profª Juliana Schivani

7 Trigonometria do triângulo qualquer
LEI DOS COSSENOS 220 m x m 60° 130 m x² = 130² + 220² - 2·130·220·cos60° x ≈ 191 metros Profª Juliana Schivani

8 Demonstração da lei dos cossenos
No triângulo acutângulo c = m + n => m = c – n (1) C a² = m² + h² (2) a b h b² = n² + h² => h² = b² - n² (3) α A B m D n Substituir (3) em (2) a² = m² + (b² - n²) (4) c Substituir (1) em (4) a² = (c – n)² + b² - n² => a² = c² - 2cn + n² + b² - n²

9 Demonstração da lei dos cossenos
No triângulo acutângulo a² = b² + c² - 2cn (5) C n b = cos α a b h => n = b ∙ cos α (6) α A B m D n Substituir (6) em (5) c a² = b² + c² - 2 ∙ c ∙ b ∙ cos α

10 Trigonometria do triângulo qualquer
Do entroncamento (E) de um rodovia saem dois pequenos trechos retilíneos de estrada, que levam às entradas de dois condomínios A e B. Deseja-se determinar a distância entre A e B, mas a medição direta é difícil, pois há uma região alagadiça entre eles. Um topografo mediu o ângulo em E e A, obtendo 65° e 38°, respectivamente. Sabendo-se que a distância entre o condomínio A e o entroncamento é de 600, quanto mede a distância entre os dois condomínios? Profª Juliana Schivani

11 Trigonometria do triângulo qualquer
LEI DOS SENOS Em todo triângulo, a medida dos seus lados são proporcionais aos senos dos respectivos ângulos opostos. A constante de proporcionalidade é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita no triangulo. Profª Juliana Schivani

12 LEI DOS SENOS = X 600 sen 65° sen 77°
Trigonometria do triângulo qualquer LEI DOS SENOS X 600 sen 65° sen 77° = X·sen77°= 600·sen 65° X ≈ 558 metros Profª Juliana Schivani

13 Demonstração da lei dos senos

14 Demonstração da lei dos senos
b c B a C

15 Demonstração da lei dos senos
a 2r sen D = b c D a 2r 2r sen A = B a C a sen A 2r =

16 Demonstração da lei dos senos
b 2r sen D = b c b 2r 2r sen B = B a C b sen B 2r = D

17 Demonstração da lei dos senos
c 2r sen D = b c c 2r 2r sen C = B a C c sen C 2r = D

18 Demonstração da lei dos senos
b c B a C a sen A b sen B c sen C = = = 2r

19 Dois pontos, A e B, estão localizados em margens opostas de um lago
Dois pontos, A e B, estão localizados em margens opostas de um lago. Para calcular a distância entre A e B, um topógrafo caminhou em linha reta 250m de A até um ponto C. A seguir, ele mediu os ângulos A e C encontrando 75º e 60º, respectivamente. Com esses dados, obteve a distância AB. Qual é essa distância? 62,5 raiz 6

20 Para calcular a distância entre um ponto A de uma praia e uma ilhota B, um observador afastou-se 30m de A, sobre a reta AB até o ponto C, e depois caminhou 100m em linha reta até ponto D, conforme mostra a figura. A seguir, mediu os ângulos C e D obtendo, respectivamente, 40º e 110º. Adotando-se a aproximação sen110º = 0,94, qual é a distância entre A e B? 1850 m

21 No mapeamento de uma região, uma topógrafa posicionou-se em um ponto A e visou um ponto B, a 4km de A; a seguir visou um ponto C, a 8km de A, tal que o ângulo A mede 60º. Calcule a distância entre os pontos B e C. 4 raiz de 3

22 Um construtor fez um esquema de localização de seu terreno, a fim de calcular a distância do terreno T ao ponto A, onde se cruzam duas estradas, e também a menor distância entre o terreno e a estrada principal AB. Como o terreno é visível dos pontos A e B, ele mediu os ângulos de visão nesses dois pontos e mediu também a distância entre A e B. Com esses dados, como deve proceder o construtor para calcular as distâncias? b = 213 m e d = 181m

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24 Dois navios, A e B, estão ancorados nas proximidades de um cais
Dois navios, A e B, estão ancorados nas proximidades de um cais. De um ponto C do cais é possível ver os dois navios de modo que o ângulo C mede 60º, CA=5km e CB=8km. Calcule a distância entre os dois navios. 7km

25 REFERÊNCIAS IEZZI, Gelson; [et al.]. Matemática: ciência e aplicações, 2: ensino médio. São Paulo: Saraiva,