Postulado de de Broglie

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1 Postulado de de Broglie
Propriedades ondulatórias da partícula

2 A hipótese de de Broglie
Assim como os fótons são guiados por uma onda “de luz” que governa o seu movimento; então deve-se admitir que uma onda “de matéria” governa o movimento da partícula (elétrons). Tese de Doutorado (1924) Estudo sobre a Teoria dos Quanta Faculdade de Ciências da Universidade de Paris Energia total da partícula E= h (cinética + mrepouso) Momento da partícula p= h/ Relação de de Broglie: B= h/p Dualidade onda-partícula generalizada para a matéria. Relação entre as propriedades corpusculares e as ondulatórias.

3 Experimento de Davisson e Germer
Esquema do aparato Resultados Elétrons com Ec=eV , incidem no cristal C e são espalhados em um ângulo θ Com o coletor (D) em θ = 50° observa-se um intenso feixe para potencial acelerador V= 54V

4 Experimento de Davisson e Germer
Análise experimental Difração de onda por um cristal – como raios-x Cristal de Ni: d= 0,91 Å para n=1 → = 1,65 Å Para elétrons do feixe: Ec= eV → ½mv2= 54 eV p= mv → p= 4,0 x Kg.m/s Segundo de Broglie: B= h/p B= 1,65 Å Difração de Bragg: nλ= 2d.sen φ Sendo φ= 90° - θ/2 ; φ = 65° Resultados independentes obtidos por G.P. Thomson (Escócia) confirmaram a hipótese de de Broglie.

5 A dualidade onda-partícula Interpretaão probabilística
Radiação – “Luz” Teoria ondulatória Campo elétrico Ԑ(x,t)= Ԑ.sen 2π(x/ - t) I = (1/μ0c).<Ԑ2> Proposta corpuscular – Einstein I = N.h → <Ԑ2>  N N é o Nº médio de fótons que atravessa área unitária por unidade de tempo. <Ԑ2> é a probabilidade de se encontrar um fóton por volume unitário em determinada posição e instante de tempo. Partícula material Onda de de Broglie Função de onda Ψ(x,t)= A.sen 2π(x/ - t) Interpretação probabilítica Proposta por Max Born <Ψ2> possui interpretação análogo à de Einstein. <Ψ2> é a probabilidade de se encontrar a partícula por volume unitário em determinada posição e instante de tempo. Ԑ(x,t) representa a onda radiante associada ao fóton. Ψ(x,t) representa a onda material associada à partícula.

6 Propriedades das Ondas Materiais
Onda material de de Broglie Serve de guia e controla o movimento da partícula. Velocidade da onda: ω= λ. Partícula livre (Etotal: cinética) Momento: p= mv Energia (cinética): Ec= mv2/2 De Broglie-Einstein p= h/λ E= h Assim: ω= λ.= E/p e: ω= v/2 Argumentos Partícula movendo-se na direção x, livre da influência de forças. Instantâneos da onda ψ(x,t) ao longo de x, no instante t= 0, deve mostrar qualitativamente uma onda da seguinte forma: Aparente paradoxo – A onda material não acompanha a partícula !? Onda com amplitude modulada. Grupo de ondas - velocidade g difere das componentes individuais.

7 Propriedades das Ondas Materiais
O Grupo de ondas Deve acompanhar a partícula com a mesma velocidade (g= v) Consideremos ondas senoidais: Ψ(x,t)= A.sen 2π(k.x - .t) Onde: k = 1/λ e A= 1 (simplificando) Possui velocidade : ω= /k = λ Construção do Grupo Soma de ondas do tipo ψi(x,t) O caso simples de duas ondas: Ψ(x,t)= Ψ1(x,t) + Ψ2(x,t) Com diferenças infinitesimais de frequência e comprimento de onda. Resultado 2º termo: é a própria Ψ1(x,t) Mas com amplitude modulada pelo 1º termo em pacotes que se repetem periodicamente Ψ1(x,t)= sen 2π(k.x – ν.t) Ψ2(x,t)= sen 2π[(k+dk).x – (ν+dν).t] Ψ1 e Ψ2 interferem de modo a formar grupos de ondas que também se deslocam na direção positiva de x.

8 Propriedades das Ondas Materiais
Calculando velocidades Das componentes 2º termo: ω= /k Dos grupos 1º termo: g= d/dk A combinação de um número infinitamente grande de componentes do tipo Ψ1 e Ψ2 leva à formação de um único grupo. Mas a dependência de ω e g não se alteram com relação a , k, d e dk. De Broglie-Einstein k= p/h = E/h Tem-se: g= d/dk= dE/dp= v Análise de situação limite Onda Ψ(x,t) associada à partícula Ψ(x,t)= A.cos 2π(k.x - .t) Momento px exatamente definido: um único λ=cte. (Δλ= Δk= 0) Se estendendo por todos valores de x. Δpx= 0 e Ψ2= cte. para todo x. Partícula com mesma probabilidade de estar em qualquer x ! O grupo se desloca com a velocidade da partícula (g= v)! Coerente com o postulado de de Broglie. Ou seja, se Δpx= 0  Δx=  Mostra que há um limite indeterminado para o produto ΔpxΔx.

9 Propriedades das Ondas Materiais
Construção de Grupo único Com extensão finita Δx no espaço É necessário superpor ondas do tipo: Ψk= Ak.cos 2π(kx – νt) com um espectro contínuo em λ dentro de um intervalo finito Δλ (ou Δk). A amplitude do grupo terá valor nulo em qualquer lugar fora de uma região específica de extensão Δx. Visualizando um exemplo finito 7 componentes Ψk (t= 0) com valores inteiros para k (9 a 15). Amplitudes: A12=1, A13=A11=1/2, A14=A10=1/3 e A15=A9=1/4. Resultado: Ψ = Ψ9+ Ψ Ψ15 A largura do grupo: Δx≈ 2π/12 Maior o nº de componentes no mesmo intervalo Δk, maior a separação. Contudo Δx permanece praticamente inalterado, para mesma faixa Δk. Com infinitas componentes: grupo único

10 O Princípio da Incerteza de Heisemberg
Para infinitas componentes Num intervalo finito Δλ (ou Δk) Um único grupo de extensão finita Δx. Veja que se Δk aumenta, Δx diminui. O produto: Δk .Δx = cte. O valor exato da cte depende das amplitudes relativas das componentes e da forma do grupo. Cálculo matemático exato Processo de integrais de Fourier Tem um limite inferior: 1/4π. De modo que: Δk .Δx ≥ 1/4π E para o grupo (pulso) que passa por um ponto de observação no intervalo Δt; tem-se, analogamente: Δ.Δt ≥ 1/4π Princípio da Incerteza De Broglie-Einstein Δp= h.Δk ΔE= h.Δ Assim: Δpx.Δx ≥ ћ/2 ΔE.Δt ≥ ћ/2 Onde, ћ= h/2π