Área do Losango L L A = d1 . d2 2 d2 L L d1.

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1 Área do Losango L L A = d1 . d2 2 d2 L L d1

2 Área do Triângulo h base (b) A = b . h 2

3 Área do Triângulo Eqüilátero
h L√3 h = 2 L A = L2√3 4

4 Área do Hexágono regular
4

5 Definição Observe a animação. r  
O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado prisma.

6 Elementos principais do prisma
B C D E F A’ B’ C’ D’ E’ F’ O prisma tem dois tipos de faces bases (polígonos congruentes). faces laterais (paralelogramos). Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as duas bases do prisma.

7 Elementos principais do prisma
B C D E F A’ B’ C’ D’ E’ F’ O prisma tem dois tipos de arestas arestas das bases (AB, A’B’, ..., FA, F’A’). arestas laterais (AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).

8 Elementos principais do prisma
B C D E F A’ B’ C’ D’ E’ F’ h A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.

9 Classificação dos prismas
Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que constitui suas bases. Polígonos das bases Prisma triângulo P. triangular quadrado P. quadrangular pentágono P. pentagonal hexágono P. hexagonal

10 Veja alguns desses prismas
Prisma triangular Prisma Pentagonal

11 Classificação dos prismas
h h Prisma triangular reto Prisma Pentagonal oblíquo

12 Prisma regular Todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares é chamado de prisma regular. A B C O prisma é reto e ABC é triângulo eqüilátero O prisma é reto e a Base é hexágono regular ⇒ ⇒ Prisma triangular regular Prisma hexagonal regular

13 Prismas quadrangulares
Se as bases de um paralelepípedo reto são retângulos, ele é chamado paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo. Paralelepípedo retângulo ou ortoedro

14 Prismas quadrangulares
Se todas as arestas de um paralelepípedo retângulo são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou hexaedro regular. Cubo ou hexaedro regular

15 Estudo do cubo O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um prisma quadrangular regular, cujas faces são quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas faces pode ser considerada como base. a → medida de cada uma das arestas a a a

16 Diagonais no cubo Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais.
a → medida de cada uma das arestas D d → diagonal da face d D → diagonal do cubo

17 Diagonais no cubo Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta. a d D d2 = a2 + a2 ⇒ d = 2a2 ⇒ d = a√2 a

18 Diagonais no cubo Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta. D2 = a2 + d2 D a ⇒ D = a2 + 2a2 a ⇒ D = 3a2 d a ⇒ D = a√3 a

19 Área da superfície total do cubo
Planificando a superfície total de um cubo de aresta a, obtemos a figura. a a a a a AT = 6a2

20 Volume do cubo a a a a a V = a³

21 Estudo do paralelepípedo retângulo
O paralelepípedo retângulo é um prisma quadrangular. Suas faces são duas a duas congruentes. a, b e c → As dimensões do paralelepípedo. b c a Suas doze arestas são quatro a quatro congruentes. As medidas dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.

22 Diagonal do paralelepípedo
Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento cujos extremos são dois vértices não-pertencentes a uma mesma face. D c d b a d → diagonal da face inferior D → diagonal do paralelepípedo

23 Cálculo da diagonal do paralelepípedo
Obtendo o valor de D em função das dimensões a, b e c do paralelepípedo. c D b d a d2 = a2 + b2 e D2 = d2 + c2 D2 = a2 + b2 + c2 ⇒ D = √a2 + b2 + c2

24 Exemplo O comprimento e a largura de um paralelepípedo medem 12 cm e 4 cm. Uma de suas diagonais mede 13. Obter a medida de sua altura? D = √a2 + b2 + c2 ⇒ 13 = √ c2 ⇒ = c2 ⇒ c2 = 169 – 160 ⇒ c2 = 9 ⇒ c = 3

25 Área da superfície total do paralelepípedo
Planificando a superfície total de um paralelepípedo de dimensões a, b e c obtemos a figura. a ab b c bc ac bc b c ab a AT = 2ab + 2ac + 2bc ac AT = 2(ab + ac + bc)

26 Volume do paralelepípedo retângulo
Analise as duas figuras a seguir. 4 u cubo unitário V = 1 u3 3 u 5 u V = = 60 u3 De modo geral, o volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é dado por V = a.b.c

27 Estudo geral do prisma Vamos aprender a calcular áreas e volumes em prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar prismas retos em que As arestas laterais são alturas; As faces laterais são retângulos; A B C

28 Áreas no prisma No prisma as áreas.
Área Lateral (AL) – Soma das áreas dos retângulos; Área da base (AB) – Área do polígono da base; Área total (AT) – Soma da área lateral com as bases AT = AL + 2AB

29 Exemplo A figura a seguir mostra um prisma triangular reto, com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e a área total desse prisma. AL = AL = = 72 AB = (3.4)/2 = 6 6 4 3 AT = AL + 2.AB 5 AT = = 84

30 Exemplo Num prisma hexagonal regular, a altura mede 6 m e a área de cada base é 24√3 m2. Achar sua área lateral. 6x2√3 A = 24√3 ⇒ = 24√3 4 ⇒ x2 = 16 ⇒ x = 4 6 Af = b.h ⇒ Af = 4.6 = 24 AL = 6.Af ⇒ AL = 6.24 = 192 m2 x

31 Volume do prisma Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo do volume do prisma. Para isso, vamos aplicar o princípio de Cavalieri. V = AB.h

32 PIRÂMIDE A pirâmide tem dois tipos de faces F E A D B C V A base
(polígono ABCDEF). Faces laterais (triângulos). Superfície total da pirâmide é a união da base com a superfície lateral.

33 Elementos principais da pirâmide
V A B C D E F A pirâmide tem dois tipos de arestas arestas da base (AB, BC, CD, DE, EF e FA). arestas laterais (VA, VB, VC, VD, VE e VF ).

34 Elementos principais da pirâmide
V A B C D E F h  A distância h do vértice ao plano da base é a altura da pirâmide.

35 Classificação Uma pirâmide é classificado pelo tipo de polígono que constitui sua base. Polígono da base Pirâmide triângulo P. triangular quadrado P. quadrangular pentágono P. pentagonal hexágono P. hexagonal

36 Veja algumas dessas pirâmides
Pirâmide triangular Pirâmide Pentagonal

37 Pirâmides regulares A base da pirâmide é um quadrado
V h O V h O A base da pirâmide é um quadrado A base da pirâmide é um hexágono regular ⇒ ⇒ Pirâmide quadrangular regular Pirâmide hexagonal regular

38 Apótema da pirâmide VM é o apótema (p) da pirâmide BM = MC V p D ⇒ C M

39 Segmentos notáveis na pirâmide regular
B A M O a h m r p b VO = h, altura; VA = a, aresta lateral; AB = b, aresta da base;

40 Segmentos notáveis na pirâmide regular
OM = m, apótema da base; OA = r, raio da base; VM = p, apótema pirâmide; h p a B m O M b r A

41 A pirâmide e o teorema de Pitágoras
V p2 = h2 + m2 h p B O m M A

42 Volume da pirâmide Se um prisma e uma pirâmide têm alturas iguais e suas bases têm a mesma área, então o volume da pirâmide é a terça parte do volume do prisma. AB.h V = 3 1