X SAIR Engenharia Civil – FESP - 2013 Abertura: Conjuntos: uma noção que organiza… Capítulo 1: Noções de conjuntos Capítulo 2: Operações com conjuntos.

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1 X SAIR Engenharia Civil – FESP - 2013 Abertura: Conjuntos: uma noção que organiza… Capítulo 1: Noções de conjuntos Capítulo 2: Operações com conjuntos Resolução dos exercícios Slides X SAIR CONJUNTOS E NÚMEROS Capítulo 3: Conjuntos numéricos Capítulo 4: Intervalos e produto cartesiano Prof. Luciano Soares Pedroso

2 X SAIR Esfriamento da Terra e primeiras c é lulas: 3 bilhões de anos X SAIR Conjuntos: uma noção que organiza…

3 X SAIR Símbolos

4 X SAIR Capítulo 1 Noções de conjuntos X SAIR THE BRIDGEMAN/KEYSTONE

5 X SAIR Noções básicas Conjunto  agrupamento, coleção Conjunto dos times de futebol para os quais os alunos de uma classe torcem: Corinthians, Santos, Cruzeiro finito Conjunto dos dias em que uma pessoa pratica natação: segunda-feira, quarta-feira, sexta-feira  finito Conjunto dos números pares: 0, 2, 4, 6, 8...  infinito 1 Noções de conjuntos

6 X SAIR Explicitando os elementos de um conjunto por meio de uma lista A = {1, 3, 5, 7, 9} ou A = {5, 1, 3, 9, 7} B = {0, 2, 4, 6, 8,...} 1 Noções de conjuntos

7 X SAIR Uma propriedade dos elementos A = x | x é um número ímpar positivo menor que 10 A =  1, 3, 5, 7, 9  1  A 2  A 1 Noções de conjuntos Diagrama de Venn

8 X SAIR Igualdade de conjuntos Conjunto A dos números naturais menores que 5 B = {0, 1, 2, 3, 4} A = B, pois ambos têm os mesmos elementos. Conjunto vazio  C =  ou C = { } Conjunto unitário  D = {capital do Brasil} Conjunto universo  U = {população do Brasil}, no estudo da migração 1 Noções de conjuntos

9 X SAIR Subconjuntos de um conjunto A é subconjunto de B se, e somente se, todos os elementos de A pertencerem a B. 1 Noções de conjuntos

10 X SAIR Subconjuntos de um conjunto C = {xx é um número primo par} D = {xx é um número primo menor que 10} P = {xx é um número primo} C  P D  C 1 Noções de conjuntos

11 X SAIR Complementar de um conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} B = {0, 2, 4, 6, 8, 10,...} Complementar do conjunto A em relação a B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. 1 Noções de conjuntos

12 X SAIR Conjunto das Partes P(A) ou P A A = {1, 3, 5} P(A) = {,{1}, {3}, {5},{1,3}, {1,5}, {3,5}, {1,3,5} } O número de elementos do conjunto de partes de A é sempre maior que o número de elementos de A, mesmo no caso de A ter um número infinito de elementos. Como se determina o número de elementos de partes de um conjunto?

13 X SAIR X SAIR THE BRIDGEMAN/KEYSTONE Capítulo 2 Operações com conjuntos

14 X SAIR União de conjuntos 2 Operações com conjuntos Dados os conjuntos A e B, a união de A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. A  B = {x | x  A ou x  B}

15 X SAIR Intersecção de conjuntos Dados os conjuntos A e B, a intersecção de A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. A  B = {x | x  A e x  B} 2 Operações com conjuntos

16 X SAIR Diferença de conjuntos Dados os conjuntos A e B, a diferença de A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, mas não a B. A − B = {x | x  A e x  B} 2 Operações com conjuntos

17 X SAIR Problemas com operações de conjuntos Numa sala de aula:  15 alunos jogam basquete como única atividade esportiva;  25 jogam futebol, também como única atividade esportiva;  7 praticam duas atividades: basquete e futebol. Quantos alunos foram pesquisados, sabendo-se que todos optaram pelo menos por um dos dois esportes? 2 Operações com conjuntos

18 X SAIR Num supermercado:  150 pessoas compraram o refrigerante C;  75 compraram o refrigerante P. Quantas compraram os dois refrigerantes, sabendo que foram pesquisadas 200 pessoas? CP 2 Operações com conjuntos Problemas com operações de conjuntos

19 X SAIR Uma lanchonete vendeu 1.500 hambúrgueres. Sabendo-se que 725 deles foram pedidos com queijo, quantos hambúrgueres sem queijo foram vendidos? 2 Operações com conjuntos Hambúrguer (H) Problemas com operações de conjuntos

20 X SAIR X SAIR THE BRIDGEMAN/KEYSTONE Capítulo 3 Conjuntos numéricos

21 X SAIR Conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3,...} N * = {1, 2, 3,...} 3 Conjuntos numéricos Medida unitária

22 X SAIR Propriedades dos Nº Naturais 1) A soma de dois números naturais é um número natural. 2) A multiplicação de dois números naturais é um número natural. 3) Se n é um número natural, então n+1 é o sucessor de n e n é o antecessor de n+1

23 X SAIR Conjunto dos números inteiros Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,...} Inteiros não nulos: * = {..., − 2, − 1, 1, 2,...}  Inteiros não negativos: + = {0, 1, 2, 3,...}  Inteiros não positivos: — = {..., − 3, − 2, − 1, 0} 3 Conjuntos numéricos Números opostos ou simétricos

24 X SAIR Propriedades dos Nº Inteiros 1) Todo número natural é um número inteiro. 2) A soma e a diferença entre dois números inteiros resulta em um outro número inteiro. 3) A multiplicação (produto) entre dois números inteiros é um número inteiro.

25 X SAIR Conjunto dos números racionais 3 Conjuntos numéricos = 0 .. 8 25 = –2 – 2 1 .. = 0,333… 1313 .. 0 10 ..

26 X SAIR Propriedades dos Nº Racionais 1) Todo número natural e todo número inteiro é um número racional. 2) A soma ou a diferença entre dois números racionais resulta em um outro número racional. 3) O produto entre dois números racionais é um número racional. 4) O quociente entre dois número racionais, sendo o divisor diferente de zero, é um número racional.

27 X SAIR Conjunto dos números irracionais Exemplo A medida da diagonal (d) de um quadrado de lado 1 = 1,414213562... é um número cuja representação decimal tem infinitas casas não periódicas depois da vírgula. 3 Conjuntos numéricos

28 X SAIR Propriedades dos Nº Irracionais 1) Um número irracional não é um número racional. 2) A soma ou a diferença entre um número irracional com um número racional é um número irracional. 3) A produto entre um número irracional e um número racional é um número irracional. 4) O quociente entre um número irracional e número racional, diferente de zero, é um número irracional.

29 X SAIR Conjunto dos números reais Reunião do conjunto dos números racionais com o dos irracionais = conjunto dos números reais 3 Conjuntos numéricos (Conjunto dos números irracionais)

30 X SAIR E os números Complexos?

31 X SAIR X SAIR THE BRIDGEMAN/KEYSTONE Capítulo 4 Intervalos e produto cartesiano

32 X SAIR Intervalo aberto 4 Intervalos e produto cartesiano {x   a < x < b} ou a, b {x   −4 < x < 0} ou −4, 0

33 X SAIR Intervalo fechado {x   a  x  b} ou a, b {x   − 4  x  0} ou  − 4, 0 4 Intervalos e produto cartesiano −

34 X SAIR Intervalo fechado à esquerda Intervalo fechado à direita 4 Intervalos e produto cartesiano

35 X SAIR Intervalos Observe as representações gráficas e algébricas: {x  x > a} ou ]a, +∞[ {x   x ≥ a} ou [a, +∞[ {x  x < a} ou ]−∞, a[ {x   x  a} ou ]−∞, a] 4 Intervalos e produto cartesiano

36 X SAIR Operações com intervalos A  B A  B = {x  –3  x  8} ou [–3, 8] 4 Intervalos e produto cartesiano

37 X SAIR Operações com intervalos A  BA  B A  B = {x   0 < x < 2} ou ]0, 2[ 4 Intervalos e produto cartesiano

38 X SAIR Operações com intervalos A – B A – B = {x   –3  x  0} ou [–3, 0] 4 Intervalos e produto cartesiano

39 X SAIR Operações com intervalos B – AB – A B – A = {x   2  x  8} ou [2, 8] 4 Intervalos e produto cartesiano

40 X SAIR Produto cartesiano A = {1, 2, 3} B = {4, 5} A x B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5) }. 4 Intervalos e produto cartesiano

41 X SAIR Produto cartesiano A = {1, 2, 3} B = {4, 5} B x A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3) } 4 Intervalos e produto cartesiano

42 X SAIR X SAIR THE BRIDGEMAN/KEYSTONE Navegando no módulo

43 X SAIR CONJUNTOS SUBCONJUNTOSOPERAÇÕES COM CONJUNTOS PRODUTO CARTESIANO COMPLEMENTAR UNIÃO DIFERENÇA INTERSECÇÃO Navegando no módulo CONJUNTOS NUMÉRICOS

44 X SAIR Por enquanto é só!