Sistemas Lineares Prof. Dr. Cesar da Costa 7.a Aula: Transformada Z.

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1 Sistemas Lineares Prof. Dr. Cesar da Costa 7.a Aula: Transformada Z

2 Transformada Z  Introdução  A teoria de controle clássico utiliza o tempo contínuo e a transformada de Laplace para representar um sistema ou um sinal em frequência, pois até meados da década de 80, a maioria dos controladores era implementada utilizando eletrônica analógica.  Contudo, hoje a maioria dos sistemas de controle utiliza computadores digitais (usualmente microprocessadores ou microcontroladores) com a necessidade de hardware de entrada e saída de sinais analógicos e digitais.  Portanto é necessário avaliar como a teoria de controle pode ser ampliada para ser utilizada diretamente em computadores digitais.

3 Análise de Sistemas Discretos  Como se viu nas aulas anteriores os sistemas de tempo discreto são sistemas dinâmicos cujas variáveis mudam de estado, apenas em instantes discretos de tempo chamados kT, onde T é o período de tempo entre os instantes de amostragem ( k= 0, 1, 2, 3,...).  Estes sistemas, por exemplo, atualmente estão disponíveis em processadores embarcados. Neste caso as variáveis contínuas do sistema necessitam ser amostradas, para que o controlador possa realizar as operações de controle necessárias. Posteriormente é realizada a operação de reconstrução do sinal controlado.

4  Os sistemas que usam elementos digitais no controle de grandezas contínuas requerem a conversão dos respectivos sinais em valores, que representam a amplitude do sinal num dado instante no tempo.  Estes elementos são chamados genericamente de sample & hold, em sistemas controlados por computador esta operação é realizada por conversores analógico- digital (A/D).  Um sistema sample & hold convencional, apresentado na Figura 1, consiste de um interruptor, que se fecha para admitir um sinal de entrada x(t) a cada T segundos, convertendo-o numa série de impulsos. Análise de Sistemas Discretos

5 Figura 1 – Conjunto sample & hold. Análise de Sistemas Discretos

6  A conversão de um sinal analógico na sua correspondente versão amostrada é uma aproximação, que implica a substituição da variação contínua das variáveis, por um conjunto finito de valores. Este processo é chamado de quantização e, em geral, conduz a um pior desempenho do sistema de controle.  A operação inversa, ou seja, a reconstrução do sinal é realizada por elementos denominados de retentores (hold). Em sistemas controlados por computador é realizada por conversores digital-analógico (D/A).  Os retentores mais simples convertem o sinal amostrado num sinal com amplitude constante, entre dois instantes consecutivos de amostragem, este processo é conhecido como zero-order hold (retentor de ordem zero). A Figura 2 ilustra uma operação sample & hold aplicada a um sinal contínuo x(t). Análise de Sistemas Discretos

7 Figura 2 – Operação sample & hold em um sinal contínuo. Análise de Sistemas Discretos

8  A Fig. 3 é uma representação esquemática dos sinais de interface entre os algoritmos de controle digital e o processo contínuo. Fig. 3: Representação esquemática dos sinais de interface entre os elementos do controle digital.

9 Conversão Analógica Digital  Os sinais do processo são contínuos, entretanto o computador só pode trabalhar utilizando a informação do processo de forma digital. Por esta razão, os sinais do processo devem ser convertidos para um sinal digital utilizando um conversor analógico-digital (A/D).  Assim como os sinais gerados pelo controle digital devem ser convertidos utilizando um conversor digital-analógico (D/A).  A conversão do sinal y(t) é uma operação que consiste de dois estágios:  Amostragem;  Quantização.

10 1. Amostragem: A leitura de um sinal contínuo num determinado período de amostragem (h) converte num sinal discreto. O período de amostragem entre duas amostragens sucessivas é usualmente constante e determina a frequência de amostragem. O sinal amostrado pode ser representado por (1). Conversao Analógica Digital (1)  Onde y(t<0) = 0 e representa um impulso de área unitária que ocorre no tempo t = kh.

11  A Figura 4 mostra uma implementação em Simulink, onde é gerado um sinal contínuo e outro sinal amostrado. O efeito da amostragem pode ser verificado na Figura 5. Fig.4: Sinal contínuo e sinal amostrado. Fig. 5: Efeito da amostragem do sinal contínuo.

12 2. Quantização: O sinal discreto obtido pela amostragem deve der convertido para uma informação digital. Devido a estrutura digital, a informação é armazenada numa palavra de N bits (normalmente 8, 10, 12 e 16 bits ).  Quanto maior o numero de bits, menor será o erro de quantização. Por exemplo, um conversor A/D de 8 bits pode representar 256 valores distintos e um conversor A/D de 12 bits pode representar 4096 valores distintos.  Considerando que o maior valor representado (max) por ambos conversores igual a 100, o erro máximo de quantização para o conversor de 8 bits é de 0.3906 e para o conversor de 12 bits o erro é de 0.0244. Portanto o conversor de 12 bits apresenta um erro de quantização 16 vezes menor que o de 8 bits. O erro de quantização (E) é definido por: (2)

13 Exercício 1: Qual o erro máximo de quantizacao para um conversor de 8 bits, utilizando uma tensão máxma de 5 V? Se o conversor for substituído por um de 12 bits. Solucao: a) Para 8 bits: b) Para 12 bits:

14 Efeitos do Erro de Quantizacao Fig. 6: Efeito da resolução do conversor A/D. Fig. 7: Erro devido à quantização do sinal.

15 Sistemas Discretos  Um sinal variante no tempo pode ser amostrado com um intervalo de tempo “T”, formando uma sequência de valores discretos. Aplicando esta sequência discreta num sistema dinâmico contínuo, teremos uma resposta que será definida apenas nos instantes de amostragem, como ilustrado abaixo. Figura 8. Sistema de amostragem de um sinal e(t)

16 Sistemas Discretos  O trem de impulsos é composto de vários impulsos definido por:  A área do impulso é igual a 1, o que expressa a magnitude do impulso.  O sinal amostrado e*(t) pode ser descrito pela seguinte relação:  Portanto, o sinal discreto e*(t) será definido apenas nos instantes de amostragens

17 Exemplo de um Controle Discreto: Guiagem de um Sistema Intercep tor  O sistema de guiagem direciona o vôo de um míssil no espaço para interceptar o veículo aeroespacial inimigo. A defesa usa mísseis com o objetivo de interceptar e destruir o bombardeiro antes que ele lance as bombas. Uma ilustração é mostrada na figura abaixo. Figura 9. Sistema de guiagem de um míssil

18  O radar detecta a posição do alvo e o rastreia, fornecendo informações discretas necessárias para a determinação das variações angulares e de deslocamento do alvo.  Estas informações (dados) são enviadas interruptamente ao computador que estima (calcula) a trajetória do alvo. O radar também rastreia o míssil fornecendo informações discretas ao computador de calcula sua trajetória.  O computador compara as duas trajetórias e determina a correção necessária na trajetória do míssil para produzir uma rota de colisão. As informações discretas sobre a correção da trajetória são enviadas ao míssil pelo rádio de comando.  O sistema de controle do míssil (controlador digital) converte essas informações em deslocamentos mecânicos das suas superfícies de controle, modificando sua trajetória de vôo, fazendo-se entrar na rota de colisão.

19 O diagrama de blocos deste sistema de controle está mostrado na figura abaixo (parte A). Figura 10. Diagrama em bloco de um sistema de guiagem de um míssil

20  O projeto destes sistemas requer conhecimentos nas áreas: comunicação, processamento digital de sinais, engenharia de computação e teoria de controle digital. Figura 10. Sistema Radar + Computador Digital + Telemetria

21 Transformada – Z  A transformada de Laplace é uma transformada muito útil para a engenharia de controle. Para analisar sistemas de controle discretos, vamos aplicar a transformada de Laplace em um sinal discreto e veremos que o resultado será a transformada Z. Considere o sinal discreto (amostrado) e*(t) mostrado na figura 8, aplicando-se a transformada de Laplace na equação 1.1, teremos:

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24 A equação (2.7) mostra a transformada de Laplace do sinal amostrado e*(t). Por motivo de simplicidade, define-se a variável Z da seguinte maneira: Logo, a equação (2.7) torna-se: Desta forma, chega-se ao domínio da variável Z, e a equação (2.9) é denominada como transformada Z de e(kT), ou seja:

25 O aluno poderá chegar ao mesmo resultado, utilizando qualquer caminho da figura abaixo, porém o caminho da transformada Z é o mais indicado.

26 Observação: Sendo “s” uma variável complexa,, a variável z também é complexa: A equação (2.10) é uma progressão geométrica (P.G.) logo, para determinar a transformada Z de sinais amostrados, é importante relembrar que a soma de uma P.G. Infinita com o primeiro termo a1 e razão q, q < 1, é dada pela Eq. (2.11):

27 Exemplo 1: Suponha que um sinal exponencial tenha sido amostrado com um período de amostragem T, conforme mostrado abaixo: Sendo a > 0. A transformada Z deste sinal amostrado será dada por:

28 Ou ainda, Expandindo o somatório, teremos: Verifica-se que é uma P.G. com razão: E o termo inicial:

29 Logo, supondo q <1, temos: Ainda: Desta forma, a transformada Z do sinal exponencial amostrado é dada pela equação (2.18).

30 Considere o sinal amostrado y(kT) dado abaixo: Exemplo 2: A transformada Z deste sinal é dada por:

31 Logo, Substituindo, teremos: Logo, Ou ainda,

32  Sendo a transformada Z uma função de variável complexa, é conveniente representa-la no plano Z complexo. Neste, plano, a região |Z| = 1 corresponde ao círculo de raio unitário. Transformada Z  Os valores de Z para os quais a transformada Z existe (ou a série converge) definem uma região chamada Região de Convergência (ROC).

33  Assim, é possível que a transformada Z convirja mesmo que a transformada de Fourier não convergir. Para a transformada de Fourier convergir, a ROC da transformada Z deve conter o círculo unitário. Uma transformada Z só está completamente definida se sua ROC estiver determinada. Exercício 1: Determine a transformada Z da sequência x[n] da Tabela 1

34 Solução: Exercício 2:

35 Solução: Aplicando a definição da transformada: Como T=1s, tem-se:

36 Transformada Z Inversa  O resultado final de um projeto de controlador digital (discreto) é expresso em Z, para verificar o resultado do projeto, é necessário determinar a sua resposta no tempo.  A transformada Z inversa permite obter x[n] de X(z). A transformada Z inversa é definida matematicamente pela Equação 2.24. (2.24)  A Equação 2.24 mapeia uma função no domínio da variável contínua e complexa z, para o domínio da variável discreta n.

37  O modo mais simples de obter a transformada Z inversa é a partir da combinação das propriedades da transformada z com pares transformados conhecidos. Se não for possível encontrar uma equivalência a partir deste procedimento, então é necessário utilizar um método analítico como, por exemplo:  Método dos resíduos;  Expansão em frações parciais;  Divisão polinomial;  Expansão em séries.

38 Tabela de Transformada Z

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40 Exercício 3: Obtenha a transformada inversa Z da função dada. Utilizando o MATLAB. Solucao: a) Coloque a função na forma: b) Na janela Command Window do MATLAB, introduza dois vetores referentes aos coeficientes do numerador e denominador de : >>B=[1]; >>A= [1 -3 2];

41 c) Utilize a função residue para obter os resíduos (r), polos (p) e termos diretos (k) da expansão em frações parciais, como mostrado na Figura.

42 d) Sabendo-se que resíduos, polos e termos diretos de uma expansão parcial da razão entre dois polinômios representada pela função é dada por: e) Com os dados obtidos no MATLAB de, obtém-se a expansão: f) Aplicando a transformada Z inversa tabelada, obtém-se:

43 Exercício 4: Obter a representação no domínio do tempo discreto para a função, utilizando o MATLAB. a) Como a função é do tipo ; b) Na janela Command Window do MATLAB, introduza dois vetores referentes aos coeficientes do numerador e denominador de : >>num=18; >>den=[18 3 -4 -1]; c) Utilize a função residuez para obter os resíduos (r), polos (p) e termos diretos (k) da expansão em frações parciais usando o método. Solucao:

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45 d) Sabendo-se que os resíduos, polos e termos diretos de uma expansão parcial da razão entre dois polinômios representada pela função é dada por : e) Com os dados obtidos, no MATLAB, obtém-se a expansão de : f) Aplicando a transformada Z inversa tabelada, obtém-se:

46 Exercício 5: Dado:. Determinar a transformada Z inversa. Solução: Colocando na forma Utilizando a função residue do MATLAB para obter os resíduos (r), polos (p) e termos diretos (k) da expansão em frações parciais.

47 Reescrevendo com os dados obtidos no MATLAB:

48 Logo: Aplicando a transformada Z inversa da Tabela, tem-se:

49 Equações as Diferenças  A equação as diferenças é um conjunto de valores que representa um sistema discreto no domínio do tempo contínuo. `  Aplicando-se uma convolução entre a equação as diferenças e um sinal de entrada no domínio do tempo contínuo, resulta em um sinal de saída, também no domínio do tempo contínuo.  Isso significa, que a partir de um sistema discreto descrito por um vetor de números, representando um sistema no domínio discreto (Z) e um outro vetor, representando um sinal amostrado no domínio do tempo (t) é possível calcular a saída do sistema.  Isto é realizado, por meio de um processo que permite calcular a equação as diferenças, através da função de transferência do sistema no plano Z.

50 Solução de Equações as Diferenças Usando Transformada Z  A Figura a seguir ilustra o diagrama de blocos de um sistema discreto, cuja dinâmica pode ser descrita por uma equação as diferenças, onde x[n] é a entrada e y [n] é a saída. Normalmente, a entrada é conhecida e as condições da saída, isto é,, etc. também são conhecidas.  O número de condições iniciais para resolver a equação às diferenças é a ordem da própria equação as diferenças, que é a ordem do sistema. Assim, se for de 1ª ordem precisa-se de y[-1] ; se for de 2ª ordem precisa de y[-1] e y[-2].

51  Em geral um sistema dinâmico discreto com entrada x(k) e saída y(k) pode ser descrito por uma equação às diferenças linear. A Equação 2.25 apresenta a forma genérica de uma equação às diferenças. (2.25)  Aplicando-se a propriedade de translação (time shift) da transformada Z na Equação 2.25, esta se transforma numa equação algébrica em z.  A aplicação do método da transformada Z é útil para a solução das equações as diferenças, de forma semelhante ao uso da transformada de Laplace na solução das equações diferenciais ordinárias.

52 Dada a equação às diferenças de 1ª ordem, com condições iniciais nulas,. Utilize a transformada Z e resolva a equação. Exercício 5: Solução: Aplicando-se a transformada Z a cada termo da equação dada, e a propriedade da translação, tem-se: Colocando-se em evidência, obtém-se:

53 Logo: A solução do problema consiste em achar a transformada inversa de, ou seja: Se é um impulso unitário discreto, por exemplo, tem-se. Logo a transformada inversa Z é dada por: Ou seja:

54 Dada a equação às diferenças, com as seguintes condições iniciais y[0] = 0 e y[1] = 1. Utilize a transformada Z e resolva a equação. Exercício 6: Solução: Aplicando o método da transformada Z a equação dada, obtém-se: Substituindo-se pelas condições iniciais y[0]=0 e y[1]=1, tem-se: Logo:

55 Calculando-se a transformada inversa, obtém-se:, para Resolvendo-se para