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Sistemas Lineares e Invariantes: Tempo Contínuo e Tempo Discreto
Prof. José Maurício Neto 1
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Definição de Sistemas Um sistema pode ser definido como um processo que realiza a transformação de sinais (Entrada/Saída) por uma Função de Transformação T{.} x(t) y(t) x[n] y[n] Sistema no Tempo Contínuo Sistema no Tempo Discreto 2
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Sistemas Lineares e Invariantes de Tempo Contínuo
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Sistemas Lineares de Tempo Contínuo
Um sistema Linear satisfaz o Princípio da Superposição, ou seja, satisfaz as propriedades de: Aditividade Homogeneidade. O princípio de superposição é a base para o estudo aproximado de sistemas em diversas áreas da engenharia: Sistemas de Controle, Sistemas Preditores, Modelagem, etc. 4
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Propriedade da Aditividade
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Propriedade da Homogeneidade
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Sistemas Invariantes de Tempo Contínuo
Um sistema é invariante no tempo se para um deslocamento no tempo do sinal de entrada, este causa um deslocamento no tempo na sinal de saída Deslocamento na saída Deslocamento na entrada 7
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Representação de Sistemas Lineares e Invariantes
Os sistemas lineares e invariantes (LIT) no tempo contínuo são descritos utilizando equações diferenciais com coeficientes constantes. Para comprovar que um sistema LIT é linear e invariante pode se aplicar as provas de linearidade ou de invariância no tempo em cada operação. 8
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Exemplo – Sistema Mecânico
Equação Diferencial É um sistema Invariante no tempo 9
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O sistema mecânico é Linear?
Aditividade Homogeneidade É um sistema Não Linear 10
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Exemplo - Circuito Elétrico Linear Invariante no Tempo
Não Linear Variante no Tempo 11
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Características de Sistemas Lineares e Invariantes
A aplicação da superposição em sistemas lineares constitui a base para a análise de sistemas, tais como: A representação de um sinal arbitrário x(t) como uma soma ponderada de impulsos, é a base para o método de convolução. A representação de um sinal x(t) como uma combinação linear de sinais harmônicos é a base para as séries de Fourier. A representação de um sinal x(t) como uma série ponderada de exponenciais complexas é a base para as transformadas de Fourier e de Laplace. 12
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Características de Sistemas Lineares e Invariantes
Os sistemas lineares e invariantes no tempo contínuo podem ser analisados através de equações diferenciais. Para sistemas LIT é possível realizar o cálculo das respostas usando superposição mesmo tendo condições iniciais diferentes de zero. A desvantagem é que a medida que se incrementa a ordem do sistema, a formulação das equações diferenciais e a avaliação das condições iniciais torna-se muito complexa. 13
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Características de Sistemas Lineares e Invariantes
A representação de um sinal x[n] como uma soma ponderada de impulsos deslocados, é a base para o método de convolução discreta. A representação de um sinal x[n] como uma combinação linear de harmônicas ou exponenciais complexas, é a base da transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) e a transformada z. 14
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Sistemas Lineares e Invariantes de Tempo Discreto
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Sistemas Lineares de Tempo Discreto
Um sistema linear satisfaz o teorema da superposição e implica que o sistema tem condições iniciais iguais a zero e que a equação do sistema envolva apenas operadores lineares. Pode–se utilizar a superposição para um sistema com condições iniciais distintas de zero, se o sistema for linear. Neste caso, deve-se considerar o sistema como tendo entradas múltiplas e as condições iniciais como entradas adicionais. 16
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Sistemas Lineares de Tempo Discreto
Como resultado, a resposta de um sistema pode ser obtida a partir da soma de uma resposta de entrada zero (devido apenas às condições iniciais) e uma resposta de estado zero (devido apenas à entrada). Este princípio de decomposição, permite analisar sistemas lineares na presença de condições iniciais distintas de zero. Tanto a entrada quanto a resposta de estado zero obedecem à superposição. 17
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Sistemas Invariante de Tempo Discreto
Em um sistema invariante de tempo discreto a forma da resposta y[n] depende unicamente da forma da entrada x[n] e não do instante de tempo que é aplicada. Deslocamento na saída duas unidades de tempo na entrada duas unidades de tempo 18
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Causalidade de um Sistema LIT
A saída de um sistema causal somente depende dos valores atuais e passados da entrada . Para que um sistema LIT seja causal, y[n] não deve depender de x[k], para k>n: então, os coeficientes h[n-k] que multiplicam a x[k] para k>n devem ser zero, portanto h[n]=0 para n<0 19
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Causalidade de um Sistema LIT
Para um sistema LIT discreto causal, como h[n]=0, para n<0: Ou de forma equivalente: 20
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Representação de Sistemas Lineares e Invariantes
Para saber se um sistema é linear ou invariante no tempo discreto, deve-se considerar que: Os termos que contêm produtos da entrada e/ou saída trazem como consequência a não linearidade do sistema. Um termo constante também torna não linear o sistema. Os coeficientes da entrada ou da saída que são funções explícitas de “n” tornam o sistema variante no tempo. As entradas ou saídas multiplicadas no tempo por um escalar, por exemplo y[2n], também tornam o sistema variante no tempo. 21
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Representação de Sistemas Lineares e Invariantes
Uma sequência discreta x[n] pode ser expressa em termos de uma somatória de impulsos unitários escalados e deslocados no tempo. 22
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Representação de Sistemas Lineares e Invariantes
x[n]= …+ 7[n+2] [n+1] [n] [n1] +... x[n]= …+x[2][n+2] + x[1][n+1] + x[0][n] + x[1][n1] +... 23
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Representação de Sistemas Lineares e Invariantes
A resposta ao impulso é a resposta de um Sistema Linear a um impulso localizado no instante k Sendo o sistema invariante no tempo: 24
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Representação de Sistemas Lineares e Invariantes
Se a entrada x[n] é uma sequência representada por uma somatória de impulsos 25
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Representação de Sistemas Lineares e Invariantes
Somatoria da Convolução Conhecida a resposta ao impulso h[n], é possível calcular a resposta a qualquer sinal de entrada, através da somatória da Convolução. 26
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