Universidade Federal de Campina Grande – UFCG Centro de Ciências e Tecnologias – CCT Unidade Acadêmica de Engenharia Química - UAEQ Universidade Federal.

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1 Universidade Federal de Campina Grande – UFCG Centro de Ciências e Tecnologias – CCT Unidade Acadêmica de Engenharia Química - UAEQ Universidade Federal de Campina Grande – UFCG Centro de Ciências e Tecnologias – CCT Unidade Acadêmica de Engenharia Química - UAEQ Métodos Numéricos para Engenharia Química Métodos Numéricos para Engenharia Química Prof. Nilton Silva Aula 05

2 Raízes de equações não lineares Introdução Reízes de equações Métodos aplicados a determinação numérica de raízes de equações não lineares: – Método da Bissecção – Falsa posição – Método de Newton – Método da Secante Introdução Reízes de equações Métodos aplicados a determinação numérica de raízes de equações não lineares: – Método da Bissecção – Falsa posição – Método de Newton – Método da Secante

3 Raízes de equações não lineares Definições Uma função dada por y = f ( x ) é ALGÉBRICA, se somente se, pode ser expressa na formato: Onde f i = a n i-ésima-ordem polinominal em x. Ex.: Polinômios são umas das classes simples de equações algébricas. Definições Uma função dada por y = f ( x ) é ALGÉBRICA, se somente se, pode ser expressa na formato: Onde f i = a n i-ésima-ordem polinominal em x. Ex.: Polinômios são umas das classes simples de equações algébricas.

4 Raízes de equações não lineares Definições Uma função NÃO-ALGÉBRICA, pode ser dita TRASNCENDENTAL, inclui as trigonométricas, exponenciais, logarítmicas, entre outras funções menos familiares. Ex.: Definições Uma função NÃO-ALGÉBRICA, pode ser dita TRASNCENDENTAL, inclui as trigonométricas, exponenciais, logarítmicas, entre outras funções menos familiares. Ex.:

5 Raízes de equações não lineares As raízes das equações podem ser real ou complexa. Os métodos padrão para localização de raízes podem ser divididos em dois tipos: 1.Determinação de raízes reais de equações algébricas e de equações transcendentais; 2.Determinação das raízes real e complexa de polinômios. As raízes das equações podem ser real ou complexa. Os métodos padrão para localização de raízes podem ser divididos em dois tipos: 1.Determinação de raízes reais de equações algébricas e de equações transcendentais; 2.Determinação das raízes real e complexa de polinômios.

6 Raízes de equações não lineares As raízes de uma equação podem ser visualizadas pelo método gráfico:

7 Método gráfico Problema 01 - Use a abordagem gráfica para determinar o coeficiente de arrasto c necessário para um paraquedista de massa m = 68,1 kg para ter uma velocidade de 40 m/s, após queda livre para o tempo t = 10 s. Nota: A aceleração da gravidade é de 9,8 m/s 2. Problema 01 - Use a abordagem gráfica para determinar o coeficiente de arrasto c necessário para um paraquedista de massa m = 68,1 kg para ter uma velocidade de 40 m/s, após queda livre para o tempo t = 10 s. Nota: A aceleração da gravidade é de 9,8 m/s 2. Solução A função que expressa o coeficiente de arrasto pode ser expressa por: Solução A função que expressa o coeficiente de arrasto pode ser expressa por: Usar o Excel!!! Usar o Matlab!!!

8 Método gráfico As técnicas gráficas tem limitação prática devido a não precisão. Mas, podem ser utilizado para estimativas das raízes. Podem ser empregadas como entrada do método numérico. As técnicas gráficas tem limitação prática devido a não precisão. Mas, podem ser utilizado para estimativas das raízes. Podem ser empregadas como entrada do método numérico. Estratégias especiais devem ser utilizadas para determinação das raízes para estes casos.

9 Método gráfico - Exemplos 1 – A função, tem várias raízes no range de x = 0 a x = 5. Use o método gráfico para avaliar o comportamento da função. (Excel, Matlab). Usar o Excel!!! Usar o Matlab!!!

10 Método da BISSEÇÃO O método de bissecção (redução binário, redução intervalo, Bolzano), é um tipo de método de pesquisa incremental em que o intervalo é sempre dividida ao meio. Etapas do método: 1 – Escolha um valor inferior x l e um superior x u e verificar se reside no intervalo a raiz de tal forma que a função muda durante o intervalo. Isto pode ser verificado, garantindo que f(x i )f(x u ) < 0. 2 – Uma estimativa para a raiz x r é determinado por: 3 – Fazer as seguinte avaliações para determinar em que intervalo reside a raiz: 3.1 – se f(x i )f(x r ) < 0, a raiz reside no intervalo abaixo. Assumir x u = x r e voltar para o passo 2. 3.2 – se f(x i )f(x r ) > 0, a raiz reside no intervalo acima. Assumir x i = x r e voltar para o passo 2. 3.3 – se f(x i )f(x r ) = 0, a raiz é igual a x r, a raiz numérica. O método de bissecção (redução binário, redução intervalo, Bolzano), é um tipo de método de pesquisa incremental em que o intervalo é sempre dividida ao meio. Etapas do método: 1 – Escolha um valor inferior x l e um superior x u e verificar se reside no intervalo a raiz de tal forma que a função muda durante o intervalo. Isto pode ser verificado, garantindo que f(x i )f(x u ) < 0. 2 – Uma estimativa para a raiz x r é determinado por: 3 – Fazer as seguinte avaliações para determinar em que intervalo reside a raiz: 3.1 – se f(x i )f(x r ) < 0, a raiz reside no intervalo abaixo. Assumir x u = x r e voltar para o passo 2. 3.2 – se f(x i )f(x r ) > 0, a raiz reside no intervalo acima. Assumir x i = x r e voltar para o passo 2. 3.3 – se f(x i )f(x r ) = 0, a raiz é igual a x r, a raiz numérica.

11 Método da BISSEÇÃO O método de bissecção (redução binário, redução intervalo, Bolzano), é um tipo de método de pesquisa incremental em que o intervalo é sempre dividida ao meio. Etapas do método: O método de bissecção (redução binário, redução intervalo, Bolzano), é um tipo de método de pesquisa incremental em que o intervalo é sempre dividida ao meio. Etapas do método:

12 Método da BISSEÇÃO Problema 01 - Use o método da bisseção para determinar o coeficiente de arrasto c necessário para um paraquedista de massa m = 68,1 kg para ter uma velocidade de 40 m/s, após queda livre para o tempo t = 10 s. Nota: A aceleração da gravidade é de 9,8 m/s 2. Problema 01 - Use o método da bisseção para determinar o coeficiente de arrasto c necessário para um paraquedista de massa m = 68,1 kg para ter uma velocidade de 40 m/s, após queda livre para o tempo t = 10 s. Nota: A aceleração da gravidade é de 9,8 m/s 2. Usar o Excel!!! Usar o Matlab!!!

13 Método da BISSEÇÃO Critério de parada e estimativa de erros Uma aproximação do ERRO RELATIVO PERCENTUAL pode ser calculado por: Onde x r new é a raiz para a nova iteração e x r old a raiz da iteração anterior. Logo, um CRITÉRIO DE PARADA será para quando  a se torna menor valor. Critério de parada e estimativa de erros Uma aproximação do ERRO RELATIVO PERCENTUAL pode ser calculado por: Onde x r new é a raiz para a nova iteração e x r old a raiz da iteração anterior. Logo, um CRITÉRIO DE PARADA será para quando  a se torna menor valor.

14 Método da BISSEÇÃO Use o método da bisseção para determinar o coeficiente de arrasto c necessário para um paraquedista de massa m = 68,1 kg para ter uma velocidade de 40 m/s, após queda livre para o tempo t = 10 s. Considerar um critério de parada  a = 0.5(%). Nota: A aceleração da gravidade é de 9,8 m/s 2. Use o método da bisseção para determinar o coeficiente de arrasto c necessário para um paraquedista de massa m = 68,1 kg para ter uma velocidade de 40 m/s, após queda livre para o tempo t = 10 s. Considerar um critério de parada  a = 0.5(%). Nota: A aceleração da gravidade é de 9,8 m/s 2. Usar o Excel!!! Usar o Matlab!!!

15 Método da BISSEÇÃO FUNCTION Bisect(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea) iter 0 DO xrold = xr xr = (xl + xu) / 2 iter = iter 1 IF xr ≠ 0 THEN ea = ABS((xr - xrold) / xr) * 100 END IF test = f(xl) * f(xr) IF test < 0 THEN xu = xr ELSE IF test > 0 THEN xl = xr ELSE ea = 0 END IF IF ea = imax EXIT END DO Bisect xr END Bisect FUNCTION Bisect(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea) iter 0 DO xrold = xr xr = (xl + xu) / 2 iter = iter 1 IF xr ≠ 0 THEN ea = ABS((xr - xrold) / xr) * 100 END IF test = f(xl) * f(xr) IF test < 0 THEN xu = xr ELSE IF test > 0 THEN xl = xr ELSE ea = 0 END IF IF ea = imax EXIT END DO Bisect xr END Bisect Construir o algoritmo em fluxograma!! %Impletmentar no matlab!!